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高一数学(必修2)综合测试题

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一、填空题(14小题,共70分)

1.用符号表示“点A 在直线l 上,l 在平面α

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2

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3则这个棱柱的侧面积为 ▲ 。

4.a ,b ,c 分别表示三条直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b ?M ,a ∥b ,则a ∥M ;③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中不正确命题的有 ▲ (填序号) 5.已知正方体外接球的体积是

32

3

π,那么正方体的棱长等于 ▲ 6的倾斜角为

7.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是________▲___. 8.若A(-2,3),B(3,-2),C(0,m)三点共线,则m的值为 ▲

9.两圆相交于点A (1,

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3)、B (m ,-1),两圆的圆心均在直线x -y +c=0上,则m+c 的值为 ▲ 10.两圆(x ―2)2

+(y+1)2

= 4与(x+2)2

+(y ―2)2

=16的公切线有 ▲ 条 11.经过点M (1,1)且在两轴上截距相等....

的直线是 ▲ 。 12.光线从点(―1,3)射向x 轴,经过x 轴反射后过点(4,6),则反射光线所在的直线方程一般式是 ▲ 13.若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点,则k 的取值范围是 ▲

14.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ▲

二、解答题(6大题,共90分)

15. (本题14分)已知ABC ?三个顶点是)4,1(A -,)1,2(B --,)3,2(C . (1)求BC 边中线AD 所在直线方程; (2)求点A到BC边的距离.

16. (本题14分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形 的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗? 请用你的计算数据说明理由.

x

17.(本题15分)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,

PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.

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求证:(1)PA∥平面BDE ;

(2)平面PAC ⊥平面BDE .

18.(本题15分) 已知直线l 过点P (1,1), 并与直线l 1:x -y+3=0和l 2:2x+y -6=0分别交于点A 、B ,若线段AB 被点P 平分,求:

(Ⅰ)直线l 的方程;

(Ⅱ)以O 为圆心且被l 截得的弦长为

5

5

8的圆的方程.

19.(本题16分)已知实数a 满足0

-4=0与两坐标轴围成一个四边形。 (1)求证:无论实数a 如何变化,直线l 2必过定点. (2)画出直线l 1和l 2在平面坐标系上的大致位置. (3)求实数a 取何值时,所围成的四边形面积最小?

20.(本题16分)如图,在正三棱柱ABC A B C -111中,AB =2,AA 12=,由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M ,

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求:(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长 (2)该最短路线的长及

A M

AM

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1的值 (3)平面C MB 1与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小

1

D

A

A 1

M

高一数学试题参考答案

一、填空题(14小题,共70分)

1.A l ∈ ,l α? 2. 4 3. 72

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4.①②③ 5.

3

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6. 120° 7. 3x+6y-2=0 8. 1 9. 3

10. 2 11.x+y=2或y=x 12.9x-5y-6=0 13.)4

3,1[-- 14.

6

5 二、解答题(6大题,共90分)

15. (本题14分) 解:(1)3x+y-1=0 ………………7分 (2)22 ………………7分 16. (本题14分)解:因为)(13443

4

213421333cm R V ≈??=?=

ππ半球 ………………5分 )(20112431

31322cm h r V ≈??==ππ圆锥 ………………10分

因为圆锥半球V V <

所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子. ………………14分

17.(本题15分)证明(1)∵O 是AC 的中点,E 是PC 的中点, ∴OE∥AP, ………………4分 又∵OE ?平面BDE ,PA ?平面BDE ,

∴PA∥平面BDE . ………………7分 (2)∵PO ⊥底面ABCD ,

∴PO ⊥BD , ………………10分 又∵AC ⊥BD ,且AC PO=O

∴BD ⊥平面PAC ,而BD ?平面BDE , ………………13分 ∴平面PAC ⊥平面BDE . ………………15分 18.(本题15分)解:(Ⅰ)依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --,则

???=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m , ?

?

?=+=-0n m 23

n m ,解得1m -=,2n =. ………………6分

即)2,1(A -,又l 过点P )1,1(,易得AB 方程为03y 2x =-+. ………………9分

(Ⅱ)设圆的半径为R ,则222)554(

d R +=,其中d 为弦心距,5

3

d =,可得5R 2=,故所求圆的方程为5y x 22=+. ………………6分

19.(本题16分) (1)证明:由l 2:2x +a 2

y -2a 2

-4=0变形得a 2

(y -2)+ 2x -4=0 …………3分

所以当y=2时,x=2 …………………………………………………4分 即直线l 2

5分

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(2)如图

…………………8分

(3)直线l 1与y 轴交点为A(0,2-a ),直线

l 2与x 轴交点为B(a 2

+2,0),如下图

由直线l 1:ax -2y -2a +4=0知,直线l 1也过定点C(2,2) …………10分 过C 点作x 轴垂线,垂足为D ,于是

S 四过形AOBC

=S 梯形AODC +S △BCD …………………11分

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=22

12)22(212

?+?+-a a

=42

+-a a ………………………13分

∴当a =21

时,S 四过形AOBC 最小.………………15分

故当a =2

1

时,所围成的四边形面积最小。……16分

20.(本题16分)解:(1)正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为

6221022+= ………3分

(2)如图,将侧面AA B B 11绕棱AA 1旋转120

使其与侧面AA C C 11在同一平面上,点B 运动到点D 的位置,连接DC 1交AA 1于M ,则DC 1就是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线,其长为

DC CC 2

12

224225+=

+= ………………………6分

DMA ? ≌11MA C ?, ∴=AM A M 1

A M

AM

11= ………………………………………………9分 (3)连接DB ,C B 1,则DB 就是平面C MB 1与平面ABC 的交线

在?DCB 中 603090DBC CBA ABD CB DB ∠=∠+∠=+=∴⊥

…12分 又C C CBD 1⊥平面 ∴CC 1⊥DB ∴DB ⊥面BCC 1 ∴C B DB 1⊥

∴∠C BC 1就是平面C MB 1与平面ABC 所成二面角的平面角(锐角) …………14分

侧面C B BC 11是正方形 ∴∠=C BC 145

故平面C MB 1与平面ABC 所成的二面角(锐角)为45

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………16分

1

D