负二项分布(研究生)
负二项分布（Negative Binomial Regression）福建医科大学流行病与统计教研室
负二项分布（Negative Binomial Regression）Introduction
Scott Long notes that the Poisson
regression model rarely fits in
practice since in most applications the variance of the count data is greater than the mean
NB Distribution
One, the variance of the NB distribution exceeds the variance of the Poisson distribution for a given mean
Two, the increased variance of the NB regression model results in substantially larger probabilities for small counts
Finally, in the NB distribution there are slightly larger probabilities for larger counts
.
负二项分布的概念
常用于描述生物的群聚性，如钉螺在土壤的
分布、昆虫的空间分布等。医学上可用于描述传染性疾病的分布和致病生物的分布，在毒理学上
显性致死试验或致癌试验。
独立重复试验次数n 不固定，n=X+k ，k 为大于0的常数。
若要求X+K 次试验，出现“阳性”的次数恰为X
次的概率分布为负二项分布：k
-?
??
??
???? ??-+ππ111
递推公式
X=0
X≥1负二项分布均数和方差
()()()()111
0---+=
=X P X
X k X P P k
ππ()()π
μππσππμ=-=-=
2
2
11k k
若令P=μ/k,q=1+P 则
X=0
X≥1
也可变为
()()()()
110--+==-X P Xq
p X k X P q
P k
k
kp 2
2μμσμ+
==7张
负二项分布的参数估计
负二项分布有两个参数即μ和k 。
K 为聚集指数：其大小用来衡量分布的离散程度
即聚信趋向的程度。按公式（6-30）
k
k
μ
μσμ
μσ
+=?
+
=122
2
矩法
K 的估计：
X
S X k X k k
-=?-=
+
=2
2
2
2
2
2
??σ
μμ
μσ
5张
计算
例---矩法
在研究某种毒物的致死作用时，对60
只小白鼠进行了显性致死试验,得到资
料见表.若服从负二项分布,试估计参
数μ和K.
下一张
表6-14 不同胚胎死亡数的雌鼠数分布情况胚胎死亡数X 0123456合计观察雌鼠数f
30
14
8
4
2
2
60
()032.1033
.1067.2033.1?067
.21
6060
/621861
/033
.160
62186
62 (11403062)
62 (1140302)
2
2
2
2
2
2
2
2
=-==--=--=
====?++?+?==?++?+?=∑∑∑∑∑k N N
fX fX S
N fX X fX fX 题
公零
零频数法
利用样本计数X=0时,所对应的频数f 0占观察单位总数的比例即(f 0/N)来估计K 。
条件;
(1)(f 0/N)>1/3(2)当
:
???? ??=???
?
??+0lg 1lg f N k X k 10 ) 20 .032.017.00>?? ? ??-+N f X 表 计算 零频数法 找两个满足以下条件的K1和K2一个，利用插入法计算K 。 插入法计算公式 ???? ??>???? ? ?+???? ?? ??+022 011lg 1lg lg 1lg f N k X k f N k X k ?? ? ? ???????? ??+-???? ?????? ? ?+-???? ??+-+ =22022112 121lg lg 1lg 1lg ?k X k f N k X k k X k k k k k 表6-14 不同胚胎死亡数的雌鼠数分布情况胚胎死亡数X 0123456合计观察雌鼠数f 30 14 8 4 2 2 60 检验条件: (1) f 0/N=30/60=0.5>1/3 (2)( ) 20 .0217.032.017.00>=?? ? ??-+N f X 10 033.1<=X 均数条件 零频数法 先尝试K1=0.90 K2取1.1计算K 301.03060lg lg 299.090.0033.11lg 90.01lg 011=??? ??=???? ??<=??? ??+=???? ? ?+f N k X k 301.03060lg lg 316.01.1033.11lg 1.11lg 022=??? ??=???? ??<=??? ??+=???? ? ?+f N k X k []924.0316.0301.0316 .0299.01.190.01.1?=---+=k 最大似然法 满足下面式子的z=0的K 值: m=X max ------样本计数X 取得到最大值 在例中是最大死胎数为6 ----样本计数大于X 的频数和 ??? ? ??+-+= ∑ =k X N X k A z m X X 1ln 0 ∑+== m X i i X f A 1 最大似然法 取两个K,使一个K 对应的Z 大于0,一个对应的Z 小于0 插入法计算公式 Z1与Z2在0的左右两侧相距越近,K 估计越精确,比两种方法精确 21 2122 ?z z z k k k k ?---= 最大似然法 先尝试K1=0.90 K2取1.0 计算K ()971.0171.0420.0171.09.00.10.1?212122=-?---+=---=z z z k k k k 0 420.09.0033.11ln 609.001>=??? ?? +-+=∑=m X X X A z 0 171.00.1033.11ln 600.102<-=??? ?? +-+=∑=m X X X A z 回表 负二项分布应用 1.似合优度检验 用上例计算: 按下式计算P(X) P=μ/k=1.033/0.971=1.064q=1+P =1+1.064=2.064 ()()()()1 (110) ..................................0≥--+===-X X P Xq p X k X P X q P k 下一张 表6-3负二项分布的拟合优度检验结果 胚胎死亡数观察雌鼠数f 累计频数A X 理论概率P(X)理论 频数T (T-f)2/T 030 300.49478529.690.00330114160.24766714.860.049772880.1258227.550.02690 3440.064235 3.854220.032875 1.970.001275020.016848 1.016 2 0.017770 1.07 合计 60— 1.00000060.00.08124 8 7.90上一张 K T=NP(X)=60P(X) ()()()() ()()()247666741 .00064 .21064 .1971.011064 .21064 .111971.01114947854.0064.20971 .0=??=-?-+=--+====--P P X P Xq p X k P q P k 假设检验过程 1.建立假设： H0：不同胚胎死亡数的雌鼠分布服从负二项分布 H1：不同胚胎死亡数的雌鼠分布不服从负二项分布 2.确定显著性水平，α取0.10。 3.计算统计量：ν=组数-3=4-3=1,χ2=0.08 4.确定P值：P＞0.10 5.做出推论：按α水准,不拒绝H0,即尚不能拒绝不同胚胎 死亡数的雌鼠分布服从负二项分布 泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质 命名原因 泊松分布实例 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示： 例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： …… 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。 推导 泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。 负二项分布（Negative Binomial Regression）福建医科大学流行病与统计教研室 负二项分布（Negative Binomial Regression）Introduction Scott Long notes that the Poisson regression model rarely fits in practice since in most applications the variance of the count data is greater than the mean NB Distribution One, the variance of the NB distribution exceeds the variance of the Poisson distribution for a given mean Two, the increased variance of the NB regression model results in substantially larger probabilities for small counts Finally, in the NB distribution there are slightly larger probabilities for larger counts . 负二项分布的概念 常用于描述生物的群聚性，如钉螺在土壤的 分布、昆虫的空间分布等。医学上可用于描述传染性疾病的分布和致病生物的分布，在毒理学上 显性致死试验或致癌试验。 独立重复试验次数n 不固定，n=X+k ，k 为大于0的常数。 若要求X+K 次试验，出现“阳性”的次数恰为X 次的概率分布为负二项分布：k -? ?? ?? ???? ??-+ππ111 二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k == k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2 . （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且 规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投 篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮互不 影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ， 试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。 【模块标题】二项分布 【模块目标】★★★★★☆ 迁移 【模块讲解】 知识回顾： 1.定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n ???， 并且()() 1n k k k n P k C p p ξ?==?（其中0,1,2,,k n =???），即分布列为 ()n p B ，2.二项分布的期望与方差：若()n p B ξ ，，则()=E np ξ，()()1D np p ξ=? 【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星) <讲解指南> 一.题型分类： 1.二项分布基本概念题型； 2.根据二项分布求某一事件的概率； 3.根据二项分布求某一范围的概率； 4.根据二项分布求EX 、DX 及其变形； 5.根据EX 求概率 p 及某一事件的概率 6.根据EX 和DX 求np 二.方法步骤： 1.根据条件判断是否服从二项分布； 2.根据二项分布的性质列出相应的分布列 3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差； 三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。 <题目讲解> 例1. 下列随机变量ξ服从二项分布的是（ ）。 （1）随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； （2）某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； （3）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数 ()M N ＜； （4）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜ A. ()2 ()3 B. ()1 ()4 C. ()3 ()4 D. ()1 ()3 练1. 下面随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A 、据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65，设 在这一周内，某电脑从该网站下载数据n 次中被感染这种病毒的次数为 X B 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次 数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)： 离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布 第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验)·关于总体成数的检验 一、填空 1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（）分布。 2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( )，它决定了否定域的大小。 3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（），原假设为真而被拒绝的概率越（）。 4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p)视为（)查表进行计算。 5．已知连续型随机变量X～N(0,1)，若概率P{X ≥λ}=0.10，则常数λ=（）。 6．已知连续型随机变量X～N(2,9)，函数值 9772 .0 )2( = Φ ，则概率 }8 {< X P= （）。 二、单项选择 1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（）。 A 要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差σ 2．二项分布的数学期望为（）。 A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（）。 A 大于0.5 B －0.5 C 1 D 0.5。 ●Bernoulli 试验（Bernoulli T est）： 将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”，事件A不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验 ●二项分布（binomial distribution）： 是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。 ●Poisson分布（Poisson distribution）： 随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为 …的分布。 ★二项分布成立的条件： ①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。 ★二项分布的图形： 当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。 ★二项分布的应用 总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较 ★Poisson 分布的应用 总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。 ★Poisson 分布成立的条件： ①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。 Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ，X的标准差σX ★Poisson分布的性质 1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。 2、当n增大，而∏很小，且n∏=λ总体均数时，二项分布近似泊松分布。 3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。 4、泊松分布具有可加性。 ★泊松分布的图形 当总体均数越小，分布就越偏态，当总体均数越大，泊松分布就越趋近正态分布。当总体均数小于等于1时，随X取值的变大，P(X)值反而变小；当总体均数大于1时，P(X)值先增大而后变小，若总体均数取整数时，则P(X)在X=总体均数，和X=总体均数—1取得最大值。 ★二项分布和泊松分布的特性 1．可加性 二项分布和Poisson 分布都具有可加性。 如果X1，X2，?Xk 相互独立，且它们分别服从以ni，p（i=1,2, ?,k）为参数的二项分 布，则X=X1＋X2＋?＋Xk 服从以n，p（n=n1+n2+?+nk）为参数的二项分布。如果X1，X2，?，Xk相互独立，且它们分别服从以μi（i=1,2, ?,k）为参数的Poisson 分布，则X=X1＋X2＋?＋Xk服从以μ（μ=μ1+μ2+?+μk）为参数的Poisson 分布。 2．近似分布 两参数广义负二项分布的参数估计 摘 要：讨论了在两参数场合下广义负二项分布的矩估计和极大似然估计问题，构造了矩方程和极大似然方程，得出了矩估计和极大似然估计。 关键词：广义负二项分布；矩估计；极大似然估计； 1.引言 文献[1]求出了单参数广义负二项分布的最小方差无偏估计并对其做出了区间估计。本文在此文的基础上结合构造样本矩的方法对广义负二项分布做出了矩估计和极大似然估计。 2.基本知识 设离散型随机变量X 的分布函数为 0000(,)(1)m x x x x m x m P m x x ββθβθθβ+-+??=- ?+?? （1.1.1） 0,1,2,3,x = ，其中,θβ为参数且01,0θβ<<=或11βθ-≤≤，0m 为常数且00m >。当0β=时，概率模型（1.1.1）即为二项分布； 当1β=时，概率模型（1.1.1）即为负二项分布。 由概率的正则性公理可得： (,)1x x P θβ∞==∑ 即00000(1)1m x x x x m x m m x x ββθθβ∞+-=+??-= ?+??∑ 00(1)10000[(1)](1)(1)m x x m x xm EX m m x x ββθθθθθββ∞--=+??∴=--=- ?+? ?∑ （1.1.2） 同理可求得：222232 00003(1)m m m m EX θθθθβθβ-+-=- 2230()(1)(1)VarX EX EX m θθθβ-∴=-=-- （1.1.3） 3.构造矩方程 设随机变量X 服从（1.1.1）定义的广义负二项分布，12,,,n x x x 是取自于总体X 的一 个容量大小为n 的样本，1n i i x x =∴=∑为样本均值，样本方差为：2 211()1n i i S x x n ==--∑ 2,EX x VarX S == 10(1)m x θθβ-∴-= （1.1.4） 320(1)(1)m S θθθβ---= （1.1.5） 二项分布与正态分布的特点及他们的联系 2008-05-23 09:22:10| 分类：数学|举报|字号订阅 正态分布的特点如下： 1．正态分布的形式是对称的，它的对称轴是过平均数点的垂直线，即关于x=u对称。 2．曲线在Z=0处为最高点，向左右延伸时，在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。从正负1个标准差开始，既向下又向外弯。拐点位于正负一个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸和接近，但不相交。 3．正态分布下的面积为1，过平均数的垂直线将面积分为左右各0.50的部分。正态曲线下的每一面积都可以被看成是概率，即对应着横坐标值的随机变量出现的概率。 4．正态分布是一族分布，它随着随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。但是所有的正态分布都可以通过公式Z＝(Xl—M)／S，转换成标准正态分布，即平均数为0，标准差为1的正态分布。 5．在正态分布曲线中，标准差与概率(面积)有一定的关系。 二项分布的特点如下： 1、二项分布的均值为np，方差为npq。 2、以事件A出现的次数为横坐标，以概率为纵坐标，画出二项分布的图象，可以看出： （1）、二项分布是一种离散性分布 （2）、当p=q=0.5时，图象对称；当p不等于q时，图形是偏斜的。p>q 时，呈负偏态； 一般1/2np>=5且nq>=5时，二项分布就非常接近正态分布。 二项分布函数在教育中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限，例如，求测验猜测行为的判断标准：在选择题测验中，通过二项分布计算得出被试凭猜测答对N道以上的概率。 阅读(744)|评论(0) 目录 1定义 ?统计学定义 ?医学定义 2概念 3性质 4图形特点 5应用条件 6应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为 的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。 所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。 概念 二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望： 学年论文 题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系 学生： 学号： 院（系）：理学院 专业：信息与计算科学 指导教师：安晓钢 2013 年11月25日 浅析二项分布与泊松分布之间的关系 信息121班; 指导教师：安晓钢 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。它们有着密切的关系。泊松分布是二项分布的特例。某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。 关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似 The Application of Asignment Poblem ABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality. KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate 第四周常见随机变量 这一周我们介绍几种常见的随机变量。我们希望能够从各种随机变量产生的机理角度进行说明，从而使它们的性质展开更加自然，同时也能更深入地理解它们之所以常见的内在原因。本周学习的分布包括：二项分布，负二项分布，泊松分布，几何分布，指数分布，正态分布。 ************************************************************ 4.1二项分布与负二项分布 伯努利（Bernoulli）试验 一个随机试验只有“成功”和“失败”两种可能的结果，其中出现“成功”的概率为()01p p <<，则称此随机试验为一个参数为p 的伯努利试验。 由参数为p 的伯努利试验定义一个随机变量X ， ,, 10X ?=??伯努利试验成功否则则称X 是参数为p 的伯努利随机变量，或称X 服从参数为p 的伯努利分布。************************************************************ 例4.1.1抛一颗均匀色子，如果出现偶数点称为试验“成功”，出现奇数点为试验“失败”，则随机变量 ,,,10X ?=??抛出的点数为偶数抛出的点数为奇数.是一个参数为12 p =的伯努利随机变量。************************************************************************二项分布 将参数为p 的伯努利试验独立地重复n 次，定义随机变量X 为试验成功的次数，则X 的 分布律为: ???? ??n k p p p p p n k 210210，其中()k p P X k ==k n C =()1n k k p p --,0,1,,k n = 。 此分布即称为二项分布，记为()~,X B n p ，也称X 服从参数为(),n p 的二项分布。 利用二项式定理可验证：() ()00111n n n n k k k k n k k p C p p p p -===-=+-=????∑∑， ************************************************************ 例4.1.2甲、乙两棋手约定进行10局比赛，每局棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率为0.4。如果各局比赛独立进行，试问甲获胜、战平和失败的概率？ X 表示甲获胜的局数，则() 6.0,10~b X ()()101010650.60.40.6330k k k k P P X C -==>==∑甲胜, ()()41010050.60.40.1663k k k k P P X C -==<==∑乙胜, ()()5551050.60.40.2007P P X C ====战平。 ************************************************************ 例4.1.3一个通讯系统由n 个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p ，如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的。试问当p 取何值时，由5个部件组成的系统要比由3个部件组成的系统更有效？解设n 个部件能正常运行的数目为随机变量n X ，则() ~,n X B n p 由5个部件组成的系统是“有效”的概率为：() 52P X >()()()()332445555555552345(1)(1)P X P X P X P X C p p C p p C p >==+=+==-+-+由3个部件组成的系统是“有效”的概率为：() 31P X > 华中师范大学学报(自然科学版) Vol. 53 No. 3 JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY(Nat . Sci. ) Jun. 2019 第53卷第3期2019年6月 DOI ： 10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2019. 03. 001 文章编号：1000-1190(2019)03-0319-05 负二项分布参数估计的MM 算法 刘寅* *收稿日期：2018-10-02. 基金项目：国家自然科学基金项目（11601524.61773401）；中南财经政法大学青年教师资助项目（31721811206）.* 通讯联系人.E-mail ： yliu_1031@https://www.wendangku.net/doc/223887441.html, . （中南财经政法大学统计与数学学院，武汉430073） 摘 要：同时求解负二项分布的参数的极大似然估计并不是一件容易的事情，该文利用 Tian, Huang 和Xu 提出的组装分解技术来导出负二项分布中关于未知参数（r,p ）的极大似然估 计的MM 算法迭代式.并给出该方法的收敛率的计算公式.随机模拟的结果表明的MM 迭代结果收敛到其极大似然估计.并且随着样本容量的增加，估计的准确性和精确性以及估计的 速度均有显著提高. 关键词：负二项分布；极大似然估计；组装分解技术；MM 算法；收敛率 中图分类号：C81 文献标识码：A 负二项分布又称为Pascal 分布，是概率统计 中的一种非常重要的离散分布.该分布与Poisson 具有相同的观测数据类型，但能够有效克服 Poisson 分布要求总体均值与总体方差相等这一局 限，因此可以更好的模拟实际计数数据中可能存在 的过离散现象. 令 X ?NBinomiaKr, />）（;-〉0,0< p < 1）, 则其相应的概率质量函数为 iid 假设 X,?NBinomiaKr,p ）异=1,…皿,{x. }?=i 为 其相应的观测值.令丫必、={工】，…，无”},则 （厂,P ）的观测数据似然函数为 灯）=口 巩黑和（,'（1-以P n 口 r （x ；+r ）/r （r ）, 1 = 1 其中& = 2L x '/n -故相应的对数似然函数为 0（厂，p | Y 必）=c * + zzrlog （p ） + log （l — p ） + n 工 iog ［『a + 厂）］—wiog ［r （r ）］, （1） 其中，「为与o ，p ）无关的标准化常数. 在对负二项分布的参数进行估计时，普遍做法 主要有以下几种： 1）将r 当做常数仅对进行估计⑴；2） 用矩方法估计r.即 r = jc 2/（52 — x ）, 其中，孑为样本方差図，再基于;?估计p ； 3） 求解方程组 3Kr,p I Y,a , ）/3r = 「0（心 + r ） np （r'） + nlog （ 1 — />） = 0 , df （r,p I Y i A s ~）/ap = （工：=］Xi/p ）— Ttr/{ \ — p ） =0, 其中,0（_r ） = r （x ）/r （a:）称为 digamma 函数. 然而上述方法在实际应用中存在一定的局 限性： 1） 实际中往往并不知道确切的r 是多少，因此 将其当做常数并不合适； 2） 尽管一般对于单参数指数分布族来说.矩 估计和极大似然估计相等，但是对于双参数指数分 布族而言，极大似然估计往往要优于矩估计； 3） 理论上使得a 心p | Y “,）/"= 0的解广存 在，但是求解包含digamma 函数的方程往往并不 容易.虽然牛顿二分法是一个不错的逼近方法，但 找到一个符合二分法使用条件的求解区间可能存 在困难. Adamids 通过将负二项分布看成是对数级数 随机变量的Poisson 和，并借助于对数级数随机变 量与定义在（0,1）上的截断的指数分布随机变量 的符合来构造负二项分布参数估计的EM 算法⑶， 但是该算法较为复杂，对于初学者来说理解上较为 二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用 【摘要】给出了负二项分布的分解定理，进一步研究了负二项分布的有关性质及参数的无偏一致估计，以及在流行病学该分布的生物学意义。 【关键词】负二项分布；无偏一致估计；应用 负二项分布是概率论中常用的重要的离散型随机分布，它在医学中主要用于聚集性疾病及生物、微生物、寄生虫分布模型等的研究。具体地说，当个体间发病概率不相等可以拟合负二项分布，如单位人数内某传染病的发病人数，某地方病、遗传病的发病人数等，这些均可通过负二项分布进行处理。本文从概率论的角度阐述负二项分布的性质及参数的最小方差无偏估计，并且以该分布在流行病学中应用为例证讨论了其生物学意义。 1 负二项分布的概率模型 负二项分布又称帕斯卡分布（Pascal）,它有两种基本模型［1］： 模型Ⅰ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，直到恰好出现r（指定的一个自然数）次成功所需试验次数X,则X的概率分布为： p(X=K)=πCr-1k-1πk-1(1-π)k-r=Cr-1k-1π-(1-π)k-r k=r,r+1 (1) 模型Ⅱ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，试验进行到r次成功为止，记X为试验共进行的次数,则X 的概率分布为［3］： p(X=k)=Cr-1k+r-1πk(1-π)k k=0,1,2, (2) 此分布的概率是πr(1-(1-π))-r 的幂级数展开式的项，负二项分布由此而得名记作 X～f(k,r,π) ，或 X～NB(r,π) 一个重要的特例是 r=1。这时（2）成为 p(X=k)=π(1-π)k k=0,1,2, (3) 称为几何分布。 2 性质特征 为研究负二项分布的性质，我们先给出一个重要的结论： 引理：设X～NB(r,π)，则其特征函数为ψx(t)=πr(1-(1-π)eit)-r 证明：ψx(t)=E（eitx)=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr(1-π)i eitr =∑∞i=0Cr-1i+r-1πr((1-π) e)rti =πr∑∞i=0Cr-1i+r-1((1-π) ert)i =πr(1-(1-π)eit)-r 定理1 设: X1,X2,…,Xr（3）的iid样本，如果 X=∑ri=1Xi, 则X=∑ri=1Xi～NB(r,π) 证明：因为X1，X2，…，Xr独立同分布，又有引理知X=∑ri=1Xi的特征函数为：φ(t)=πr(1-(1-π) eit)-r =πr∑∞k=0(-r)(-r01)…(-r-k+1)k! ((1-π) eit)k(-1)keitr =πr∑∞k=0(r+k-1)!(r-1)!k! (1-π)k eit(k+1) =∑∞k=0πr(1-π)k eit(k+r) Cr-1r+k-1 这正是 p(X=k)=Cr-1r+k-1(1-π)k 的概率分布 则X=∑ri=1Xi～NB(r,π) 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望： 二项分布性质研究 二项分布定义：二项分布（Binomial Distribution ），即重复n 次的伯努利试验（Bernoulli Experiment ），用ξ表示随机试验的结果。 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ，N 次独立重复试验中发生K 次的概率是 P(ξ=k)=, 其中k=1,2,···，n.= 那么就说这个分布属于二项分布。 二项分布也属于自然指数分布族 设X~b （n ，θ），其概率函数为 P(x)= (X=x)= = exp() = exp[x ] 其中 θ= 二项分布数字特征. （1） 二项分布的数学期望为E ξ=np 证明：设随机变量),(~p n B ，则 应用组合公式 得 （2） 二项分布的方差D ξ=npq 证明 故Dξ=npq 二项分布图像 以事件A出现的次数为横坐标，以概率为纵坐标，画出二项分布的图象，可以看出： （1）、二项分布是一种离散性分布 （2）、当p=q=0.5时，图象对称；当p不等于q时，图形是偏斜的．当p<0.5时右偏,当p>0.5时左偏. (3) 二项分布的形状取决于p和n的大小，高峰在前面研究的最大可能值m 处 (4)、n→∞时，只要p不太靠近0或1,它趋近于正态分布N(np,npq）,一般认为1/2np>=5且nq>=5时，二项分布就非常接近正态分布． 二项分布性质 （1）我们来看看概率b(k;n,p)如何随着k的变化而变化的规律．写q=1-p,对k≥1，我们有 b(k;n,p) b(k-1;n,p)= (n-k+1)p kq = 1+(n+1)p-k kq 所以，当k<(n+1)p时，有b(k;n,p)> b(k-1;n,p);而当k>(n+1)p时，则有b(k;n,p)< b(k-1;n,p).这就是说，在分布律b(n,p)中，概率b(k;n,p)的值先随着k的增大而增泊松分布的概念及表和查表方法
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