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高中数学校本课程(整理)

江阴一中校本课程(数学)

1 竞赛讲座一 函数的性质

第一讲 函数的单调性

一.学习目标

会判断较复杂的函数的单调区间,能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。

二.知识要点

单调性的定义,复合函数的单调性,抽象函数的单调性

三.例题讲解

例1.已知⎩⎨⎧>≤+-=1)(x

log )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1)

(B )1(0,)3 (C )11[,)73

(D )1[,1)7 【答案】C

【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数,所以10<

)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数,所以013<-a ②,且当1=x 时,1lo g 41)13(a a a ≥-⨯- ③,由①②③得答案为C.

例2 已知函数x x x f -+=

1)(,判断该函数在区间[),0∞+上的单调性,并说明理由.

【讲解】用定义判断。 设0≤1x <2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x

=11212

1+++-x x x x +1

212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −1

21x x +) ∵1121+++x x >12x x +>0,∴11121+++x x <1

21x x + 又∵1x <2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −1

21x x +)>0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。

例3. 已知f ( x )=-x 2 + 2x + 8,g ( x ) = f ( 2-x 2 ),求g ( x )的单调增区间.

【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数

t =-x 2+2 ① y = f ( t ) =-t 2 + 2t + 8 ②

对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数,当),1(+∞∈t 时是减函数。

对于①由t =-x 2+2>1得11<<-x ,当)0,1(-∈x 时是增函数,当)1,0(∈x 时是减函数。

由t =-x 2+2<1得1>x 或1-

例 4. 已知函数a y x x =+有如下性质:如果常数0a >

,那么该函数在(

上是减函数,在

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