高中数学“极限的四则运算”教案三
课 题：极限的四则运算(三)
教学目的：
1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．
2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．
3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想
4. 掌握无穷等比数列各项的和公式.
教学重点：使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件 教学难点：使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入： 1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限.记作lim n n a a →∞
=．
2.几个重要极限： （1）01
lim
=∞→n
n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）
（3）无穷等比数列}{n
q （1 →q q n n 3.函数极限的定义: (1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作： +∞ →x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a . (2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作 -∞ →x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a . (3)如果 +∞ →x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函 数f (x )的极限是a ，记作：∞ →x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a . 4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞ →x lim f (x )=c . ∞ →x lim f (x )存在，表示+∞ →x lim f (x )和-∞ →x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞ →x lim f (x ) 中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞ →x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x a →=特别地，C C x x =→0lim ；00 lim x x x x =→ 6. 0 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中0 lim ()x x f x a - →=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0 lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 7. 对于函数极限有如下的运算法则： 如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f o x x +=+→)]()([lim , B A x g x f o x x ?=?→)]()([lim , )0()()(lim ≠=→B B A x g x f o x x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=,n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用 8 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞→那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(l i m B A b a n n n .).(lim =∞→ 0(l i m ≠=∞→B B A b a n n n 二、讲解范例： （一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 例1 求100 )21(lim x x +∞→.(利用公式法，∞→x lim ［f (x )］n =［∞→x lim f (x )］n .) 解：11)]2 1(lim [)21(lim 100100100==+=+ ∞→∞ →x x x x 例2 1 1 lim 22+++∞→x x x x .(利用n x x 1lim ∞→=0) 解：11 1111lim 11 lim 2 2 22 =+++ =+++∞→∞→x x x x x x x x 例3 x x x 1 1lim 0-+→.(分子有理化法.) 解：2 1 111lim )11(lim 11lim 000 =++=++?=-+→→→x x x x x x x x x 例4 )11(lim 22--+∞ →x x x x .(分子有理化法) 解：1 12lim )11( lim 2 2 22-++=--+∞ →∞ →x x x x x x x x 11 12 11112lim 2 2=+= -++ =∞ →x x x 例5 求下列有限：（1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母 都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用 解：（1）111 2lim(2)lim 2lim 212lim lim 111313 3lim(3)lim3lim n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞ →∞→∞→∞→∞→∞→∞+ +++====++++ （2）22211 lim lim lim 011 11lim(1) n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞===--- （二）先求和再求极限 例6 求下列极限： （1） )11 2171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n ；（2）)39312421( lim 11--∞→++++++++n n n 解：（1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞→n n n n n n 2 2222 2[3(21)] 1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++（2）11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123 n n n n n n n n n n n n n --→∞→∞→∞→∞-++++--====++++--- （三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限 公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为 q a S -= 11 )1( 0.31 10.13 =- 例8 将无限循环小数。 。92.0化为分数. 解：0.290.290.00290.000029=++ + ＝2246 21111291029( )291 10101099110 +++==- 三、课堂练习： 1．求下列极限: （1）)32(lim 2 1 -→ x x ；（2）)132(lim 2 2+-→x x x ；（3）)]3)(12[(lim 4 +-→x x x ； （4）14312lim 221-++→x x x x ；（5）11lim 21+--→x x x ；（6）96 5lim 223-+-→x x x x ； （7）13322lim 232+--+∞→x x x x x ；（8）5 32-→y y 答案：⑴-2 ⑵3 ⑶49 ⑷2/3 ⑸-2 ⑹1/6 ⑺0 ⑻0 2. 已知∞ →n lim a n =2，∞ →n lim b n =－ 3 1 ，求下列极限. (1) ∞ →n lim (2a n +3b n －1) (2)n n n n n b a b a +-∞→lim 解：(1)∞ →n lim (2a n +3b n －1)=∞ →n lim (2a n )+∞ →n lim (3b n )－∞ →n lim 1 =2∞ →n lim a n +3∞ →n lim b n －1=2·2+3·(－ 3 1 )－1=2. (2)57)3 1(2)31(2lim lim lim lim )(lim )(lim lim =-+--=+-=+-=+-∞ →∞→∞ →∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a 3.求下列极限:(1))15(lim 2n n -∞→; (2)n n n n n 231 23lim 22+-++∞→; 解：(1).5051 lim 5lim )15(lim 22=-=-=- ∞→∞→∞ →n n n n n (2)1030032lim )3(lim 1lim 2lim 3lim 23123lim 23123lim 2 222 -=+-++=+-++=+-++=+-++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . 4.求下列无穷等比数列各项的和： （1）； ,83,21,32,98-- （2） ，，，，75 4154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.化循环小数为分数：（1）。 。72.0 （2）。 。 603.0 答案：(1)3/11 (2)34/111 四、小结 ： 在函数或数列的极限都是存在的前提下，才能运用极限的运算法则进行计算；当n 无限增大（或x 无限的趋向于某值）时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限（分式的分子、分母都趋向于0）, 则极限运算法则不能直接运用；无穷等比数列各项的和公式；化循环小数为分数的方法 五、课后作业： 1. 13）13lim 243+++∞→x x x x x ;（14）323121lim()32x x x →+- ;（15）3 526 113lim 221--+-→x x x x x ; （16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x ;（17）3 23203526lim x x x x x x x ----→;（18）323 2352x x x x --→ ⒀0 ⒁9 ⒂1/3 ⒃3/2 ⒄1/2 ⒅2 2.求下列无穷等比数列各项的和： （1） ，， ，1 31311 313+--+（2）)1(,,,,132<--x x x x ， 答案：5 2= (2) 11x +．（当x=0时，原式＝1,否则 原式＝1 1x +） 六、板书设计（略） 七、课后记： 《四则运算、运算定律》教学设计 ---------宜良县北墩子小学李刚【教学内容】第一、三单元 【课型】复习课 【教学目标】 1、引导学生运用比较、分类的方法自主整理四则运算知识。 2、在整理和复习的过程中，引导学生自主发现计算过程中的问题，进一步掌握含有两级运算的运算顺序以及巩固括号在四则混合运算中的作用，提高运算技能。 3、能运用加法、乘法的运算定律以及减法、除法的运算性质进行简便计算，在观察、比较中会灵活地选择定律与性质进行简算。 【教学重点】四则运算的意义、含有括号的四则混合运算、运用运算定律和性质进行简算。 【教学难点】乘法分配律、减法以及除法的运算性质，会运用定律与性质进行简算。 【教具学具】多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境 同学们玩过扑克吗？老师在玩扑克时遇到了一个问题，想请大家帮帮忙，好吗？那好(多媒体出示扑克牌：2、3、4、6)，如果要使4张牌面上的数字经过运算得到24，你能想出几种不同的算法？ 1、小组合作 2、交流汇报 3、设疑导入 刚才算24点，我们用到了哪方面的知识？(板书课题：四则运算) 二、知识梳理 1、什么叫做四则运算？ 2、四则混合运算顺序 ①、谁来说说这几道算式的运算顺序？（多媒体出示） ②、师生交流后明确：括号的作用是改变运算顺序。 ③、小结(板书) 3、运算定律 谁来说说我们学过的运算定律和运算性质？你能用字母表示这些定律吗？（板书） 三、知识闯关 1、第一关：填空，并说明根据什么运算定律或性质 2、第二关：数学诊断室 3、第三关：火眼金睛识简便 四、全课总结 同学们，通过本节课的复习，相信你有很大的收获，谈谈你的收获吧！ 通过复习：①、加深了对四则运算定义的理解；②、系统地掌握了加法和乘法的运算定律，以及它们之间的联系和区别；③、能熟练地应用运算定律进行简便计算，提高了计算能力。 板书设计： 四则运算 ＋、－（第一级运算） 从左到右 ×、÷（第二级运算） 运算顺序含有两级运算：＋、－、×、÷从高到低 有括号：（）、〔〕从里到外 四则交换律：a+b=b+a 混合运算加法 结合律：（a+b）+c=a+(b+c) 交换律：a×b＝b×a 运算定律乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c) 分配律：（a±b）×c＝a×c±b×c 减法性质：a-b-c=a-(b+c) 除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c) 2.4 极限的四则运算（一） 古浪五中---姚祺鹏 【教学目标】 （一）知识与技能 1．掌握函数极限四则运算法则； 2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限； 3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系； （二）过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”. （三）情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释： 高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法 【教学重点与难点】 重点：掌握函数极限的四则运算法则； 难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）． 【教学过程】 1．提问复习，引入新课 对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极 限．如 1lim ,2121lim 1 1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim 1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算??? ? ?+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律 考察x x x 212lim 21+→完成下表： 根据计算（用计算器）和极限概念，得出2 3212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=??? ? ?+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0 0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0 []b a x g x f x x ?=?→)()(lim 0 )0()()(lim 0≠=??????→b b a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0 0x f C x f C x x x x →→?=?（C 为常数） （2）[])N ()(lim )(lim *00∈??????=→→n x f x f n x x n x x 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- 整数四则混合运算教学设计 一、教学目标 1.知识与技能：认识并掌握不含括号的三步计算混合运算的运算顺序，能说明算式的运算顺序，并正确计算得数;初步学习列综合算式解决三步计算的实际问题。 2.过程与方法：能联系实际问题说明解决间题的计算过程，联系计算过程归纳运算顺序，发展归纳思维，提高运算能力。 3.情感态度与价值观：进一步发展认真严谨、细致计算的学习习惯，树立数学规则意识，培养按规则办事的良好品质。 二、教学重难点 1.重点：不含括号的三步计算混合运算的运算顺序。 2.难点：不含括号的三步计算混合运算的运算顺序。 三、教学过程 (一)导入新课 1.说说下面每组题的运算顺序。 提问1：第(1)组题按怎样的顺序算?指出：只含有加、减法或乘、除法的运算式，从左往右依次计算。 提问2：第(2)组、第(3)组、第(4)组题按怎样的顺序算?指出：乘法和加、减法的混合运算，除法和加、减法的混合运算，要先算乘法或除法，再算加、减法。 2.引人新课。 谈话：我们已经学习过不含括号的两步计算混合运算，并且掌握了运算顺序。今天，就以原来的知识为基础，学习新的混合运算规律。 (二)探究新知，深化新知 1.学习例题。 (l)一位同学到体育用品商店购买象棋和围棋，我们一起来看看在体育用品商店里能知道些什么。 提问：知道哪些条件，要求什么问题?解决这个问题应该先算什么?为什么? 让学生列式解答，教师巡视，指名分步列式的学生板演在黑板上。 检查：解答过程对不对?前两步先算的什么? 指出：要求一共要付多少元，要把3副中国象棋的钱加4副围棋的钱，所以应该先用乘法算中国象棋和围棋各需要多少钱，再用加法算出一共要多少元。 (2)混合运算，学习新知。 加、减法的定义及各部分间的关系 一、教学目标 （一）知识与技能 结合具体情境通过对算式变换的比较，理解和掌握加、减法的意义和各部分之间的关系。 （二）过程与方法 在探索加、减法各部分之间的关系的过程中，发展抽象、概况的能力，进一步建立代数的思想。 （三）情感态度和价值观 在用抽象文字表示加、减法各部分间的关系的过程中，感受数学的内在逻辑性，体会数学的价值。 二、教学重难点 教学重点：理解和掌握加减法各部分之间的关系。 教学难点：表示加、减法各部分间的关系。 三、教学准备 课件、学习单。 四、教学过程 （一）创设情境，提出问题 1．师：同学们，你们知道中国新世纪四大工程之一，被誉为“天路”的工程是什么吗？ 预设： 生：青藏铁路 2．师：青藏铁路的建设创造了很多高海拔地区铁路建设的奇迹，今天这节课我们就从数学的角度一起走近青藏铁路。 （出示主题图） 3．师：你能根据图中的信息提出什么数学问题吗？ 预设： 生1：西宁到拉萨的铁路长多少千米？ 生2：格力木到拉萨的铁路长多少千米？ 生3：西宁到格里木的铁路长多少千米？ （随着学生提出问题，课件随机显示） 【设计意图】课程标准中指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”。在课的开始，引导学生自主提出数学问题，在激发学生研究兴趣的同时，引出研究问题。 （二）自主探究，加减定义 1．师：同学们提出的问题能够解决吗？我们先来看看第一个问题，请每个同学自己动手试一试。 2．学生独立解题 3．汇报交流，展示解题过程： 预设：814+1142=1956 4．师：为什么用加法计算？ 预设： 生：把两段合在一起计算。 5．师：你还能提出什么用加法计算的问题吗？ （学生提出数学问题） 6．师：用你自己的话说一说什么是加法？ 预设： 生：把两个数合并成一个数的运算叫加法。 （板书：加法定义） 7．师：你知道加法算式中这些数都叫什么名字吗？ 介绍加法算式各部分名称（加数+加数=和） 8．师：刚才同学们还提出了两个问题，他们能解决吗？请大家试一试，看看谁的速度快。 9．学生列式计算。 （2）1956-814=1142 （3）1956-1142=814 10．师：同学们计算的真快，没看到大家列竖式呀，你们是怎样计算的？ 预设： 生：参考加法算式解可以。 11．师：为什么用减法计算？ 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 四则运算教案及活动设计配数学小故事 学生提出问题小组交流，然后在班上交流。 （2）出示例 1 “四则混合计算式题”教学设计（一） 教学内容：课本第11页例1 、例2 教学目标： 通过学习使学生进一步掌握四则混合计算式题的计算顺序，提升学生的计算水平。 教学重点：四则混合计算式题的计算顺序。 教学关键：良好的计算习惯。 教学用具：小黑板 教学过程： 一、准备练习 1、说出下运算各题的运算顺序 ⑴120－144÷18＋35 （158＋37）÷（64－45） 第1题由学生说教师标运算顺序；第2题由学生自己标运算顺序。 2、指名讲运算顺序：先乘除后加减，有小括号的先算小括号里面的。 二、学习新课 1、教学例1 ⑴出示尝试题347＋45×2－4160÷52 学生同桌互说运算顺序 ⑵学生尝试练习 ⑶学生反馈做的快的同学板演在黑板上。 ＝347＋90－8 ＝437－8 学生互相评价 ＝429 2、教学例2 ⑴出示尝试题（58＋37）÷（69－9×5） 学生同桌互说运算顺序哪两步能够同时计算，为什 么？ ⑵学生尝试练习 ⑶学生反馈做的快的同学板演在黑板上。 ＝95÷（64－45） ＝95÷19 学生互相评价 ＝5 3、集体练习 1515－15×（94＋54÷9）1420＋580－64×21÷28 ⑴让学生说说运算顺序 ⑵学生独立运算 ⑶学生反馈 三、文字题练习 1、280减去320除以20的商，差是多少？ 学生读题并说明数量关系 280－商＝差算式280－320÷20 2、52加65的和，除以13，商是多少？ 学生读题并说明数量关系 和÷13＝商算式（52＋65）÷13 3、比较 为什么第2题要添小括号而第1题却不需要？4、你能把他们改写成文字题的形式。 65－345÷23 56×（33－21） 课题：2.4极限的四则运算(二) 教学目的:掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限。 教学难点:数列极限法则的运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1。数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限。记作lim n n a a →∞ =． 2。几个重要极限: (1）01lim =∞→n n （2)C C n =∞ →lim (C 是常数) （3)无穷等比数列}{n q （1 记作：+∞→x lim f （x ）=a ,或者当x →+∞时，f (x ）→a . (2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f （x ）的极限是a . 记作-∞→x lim f （x )=a 或者当x →－∞时,f （x ）→a 。 （3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x ）→a . 4.常数函数f (x )=c 。（x ∈R ），有∞ →x lim f (x ）=c 。 ∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f （x )和-∞→x lim f （x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞ →x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一 四则混合运算教案设计 第一课时 【教学内容】 四年级（下）第1~2页例1、例2，课堂活动第1~2题，练习一第1~3题。 【教学目标】 1．经历探索四则混合运算的运算顺序的过程，理解小括号在四则混合运算中的作用，能正确进行三步计算的四则混合运算。 2．感受两步混合运算和三步混合运算之间的联系与区别，掌握没有括号和带有小括号的四则混合运算顺序。 【教学重点】 经历探索三步混合运算的运算顺序，并掌握这个运算顺序。 【教具、学具准备】 挂图。 【教学过程】 一、复习引入 1．计算下面各题 85-26+7318÷9×8200-17×724×5+12 说一说没有括号的混合运算算式里，应该先算什么，再算什么？ 教师随学生的回答板书： 混合运算既有乘除法又有加减法——先乘除，后加减 只有乘除法或只有加减法——从左到右依次计算 2．计算下面各题 185-（51+49）35×（107-79）819÷（108-99） 说一说有小括号的算式，应该先算什么，再算什么？ 教师随学生的回答再次形成新的板书：混合运算没有括号的既有乘除法 又有加减法——先乘除、后加减 只有乘除法 或只有加减法——从左到右依次计算 有括号的——先算括号里面的，再算括号外面的 教师：这节课我们就在掌握了这些知识的基础上继续研究四则混合运算（板书课题）。 二、进行新课 1．教学例1 出示教科书例1的情景图，将图中的对话框改为“我们一共要做200个灯笼”，“每天做20个，照这样计算，做了7天，还剩多少个”。 教师引导学生理解图意后，问学生：怎样求还剩多少个，能用原来学习的知识来解决这个问题吗？ 学生讨论后回答。 教师指导学生这样想，要求还剩多少个，应该用200个减去做了的个数；要求做了的个数，应该用20×7；算式列成200-20×7。 教师：200-20×7这个算式应该先算什么，再算什么？ 学生：应该先算20×7，再用200减去它们的乘积。 教师：算式的运算顺序与解决问题的顺序相同。 同学们能计算出来吗？ 学生解答后，重点就运算顺序再让学生说一说为什么要先算乘，再算减。 教师：同学们对前面的知识掌握得不错。 下面我们看这个问题要发生什么变化？ 看教科书上的对话框。 让学生观察后发现，“每天做20个”变成“4天做了80个”。 教师：题目这样变化以后，又该怎样解答呢？ （第一单元） 2018年春学期 第一单元四则运算 一、【教学内容】 四则运算意义及其运算顺序 二、【教材分析】 这一单元是这册书中一个重点单元。本单元主要教学并梳理混合运算的顺序。混合运算前面学生已经学会按从左往右的顺序计算两步式题，并且知道括号的作用，这里主要教学含有两级运算的运算顺序，并对所学的混合运算的顺序进行整理。其主要内容有：整理同级运算的顺序，教学并整理含两级运算的顺序及含有小括号的运算顺序、有关0的运算。 三、【教学目标】 1、进一步掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式题。 2、经历探索和交流解决实际问题的过程中，感受解决问题的一些策略和方法，学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题。 3、在解决实际问题的过程中，养成认真审题、独立思考等学习习惯。 四、【教学重、难点】 重点：熟练掌握四则混合运算顺序加带有括号的混合运算顺序。 难点：四则混合运算顺序的学习。 五、【教学措施】 本单元中一个新的亮点就是整理混合运算的顺序是结合解决问题进行的。目标中学生既要掌握运算顺序，又要理解解决问题的基本策略和步骤。从学生的角度看，学生已经有了一定的运算基础，因此建议： 1、以应用题型为经，以运算顺序为纬。视学生情况，各有侧重。 2、加强基础运算，保证计算的正确率。 在本单元的教学中，我们应该尝试给学生提供探索的机会，让学生经历创造的过程，从中体会运算顺序的合理性和小括号的意义。在探索过程中，学生的思维是自主的，学生的选择是开放的，学生的表述也是多样的。 西江中心小学集体备课专用纸 西江中心小学集体备课专用纸学科：数学教学时间：年月日（第周星期） 第一单元四则运算 第一课时：只含有同一级运算的混合运算 教学内容： 义务教育课程标准实验教科书《小学数学》（人教版）四年级下册第2～5页例1、例2及做一做，处理练习一第2～4题。 学习目标： 知识：进一步掌握没有括号的加减混合或乘除混合的运算顺序。 方法：经历探索和交流解决实际问题的过程，感受解决问题的一些策略和方法。情感：在解决实际问题的过程中，养成认真审题、独立思考等学习习惯。 学习重难点： 掌握没有括号的加减混合或乘除混合的运算顺序。 教学准备：小黑板 教学流程： 一、开门见山，引出课题 1．今天我们学习什么？迅速打开课本第2页，齐读课题。（同时板书课题）2．今天我们学习第一课时。首先来了解一下今天的学习目标。 （出示学习目标齐读：）进一步掌握没有括号的加减混合或乘除混合的运算顺序。 二、阅读质疑，自主探究 1．观察2～3页主题图， 提示： （1）说一说图中的人们在干什么？“冰雪天地”分成几个活动区？每个区有多少人？ （2）根据图中提出的信息，你能提出哪些问题？（要补充条件） 师:咱们提了这么多的问题，有些问题我们要留到课下或以后解决，今天我们主要解决俩个问题，请你大声地阅读课本4～5页的内容，看我们要解决哪两个问题？（生阅读） 1.解决例1。 ①独立解答：列出综合算式并进行脱式计算。 ②同桌交流是怎样解答的？教师巡视并对学生的叙述进行指导。 ③汇报：（根据汇报板书） 2.（小黑板出示练习：） 图书室原有故事书98本，学校又买来25本，今天就借出46本，现在图书室有故事书多少本？（过程同上） 3. 引导学生发现： 这两个算式都没有括号，只有加法和减法运算，计算时从左往右按顺序计算。 4.解决例2。 ①（指名板演）其他学生在练习本上列出综合算式并进行脱式计算。 课 题：2.4极限的四则运算(一) 教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞ =． 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 《四则混合运算》教学设计执教人：袁清莲授课班级：四年级（2）班时间：2015年3月18日课型：公开课 一、教材内容分析 本单元在整理混合运算顺序时，是结合解决现实的数学问题进行的。教学目的是是学生在解决实际数学问题的过程中，进一步掌握分析解决问题的策略和方法，同时体会、理解运算法则的必要性和重要性，从而系统地掌握四则混合运算的算法规则。 二、学情分析 学生已经积累了关于四则混合运算中先算什么，再算什么，最后算什么的运算规则，因此在四则混合运算教学时，采用老师教导运算法则，学生采用自主探索和小组合作相结合的学习方式来开展教学活动。 三、教学目标 1.使学生进一步掌握含有两级运算的运算顺序，学会并能正确计算三步混合运算式题。 2.强化学生对于小括号的概念，提高学生的计算能力。 3.使所有学生明确掌握四则混合运算的运算法则。 4.在自主探索与合作交流的过程中，增强学生自主探索与合作的意识；培养学生良好的学习习惯和认真的学习态度． 四、教学重点： 理解并掌握四则混合运算的运算顺序，并能正确地进行计算。 五、教学难点： 掌握带有小括号的混合运算顺序，脱式过程中避免出现遗漏和不等式。 六、教具准备：小黑板、数字和运算符卡片 七、教学过程 （一）复习混合运算的运算顺序，引入课题。 口算：(卡片) 81÷9×3 20＋3×4 3×9÷3 100÷4－21 18－2×7 24÷6×3 7×3＋2×3 40－5×7 18÷3－4 64÷8－2 20－30÷5 7×4－10 （二）呈疑 引导学生提出问题。 (三)学习新课 出示例1：计算 68－100÷5×2 出示例2：计算 74＋100÷5×3，并根据下面问题进行思考： (1)这道题包括几级运算？ (2)先算什么？再算什么？最后算什么？ 在个人独立思考的基础上，同桌同学互相讨论一下，然后在各自的练习本上试做。在学生回答的基础上，老师给予具体指导。 出示例3： 计算：（1）35+7×（11-8） （2）35+7×11-8 让学生计算出答案后，教师提出问题：上面的两道题的数字、运算符号和数字的顺序都没有改变，为什么两题的计算结果却不一样？让学生就此问题展开讨论。 四则混合运算法则： 只有加、减法混合的运算，从左到右，谁在前先算谁； 只有乘、除法混合的运算，也是从左到右，谁在前先算谁； 加、减、乘、除法混合的运算，先算乘除，再算加减； 《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】： 一、 问题情景： 问题1： 由初中学习我们可以知道： （2+3x ）+(1-4x)=3-x 猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？ 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？ (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么： z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有： z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b 由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见： 两个复数相加(减)就是把实部与实部， 四年级（下）数学教学设计 第一单元四则运算 教材分析：本单元主要教学并梳理混合运算的顺序和方法。教材主题图创设了“冰雪天地”为学生展示了雪地里活动的才场景。从活动区域指示牌上可以看出滑雪区、滑冰区和冰雕区，场景中还给出了三条信息：滑冰区有72人，滑雪区有36人，冰雕区有180人。这些信息给学生提出问题提供了数据，由此引出相应的例题。每个例题都呈现了学生交流不同的解题思路以及整理混合运算的画面，以鼓励学生在已有知识的基础上，积极思考，主动解决问题。学生通过实例概括出四则运算的意义和运算法则等知识，把所学的理论知识应用于实际问题的解决中。 学情分析：运算顺序学生以前接触过，简单的脱式计算也涉及到，但在实际操作中问题却很大，有相当多的孩子写完算式接着就开始按从左到右的顺序计算，甚至遇到不够减的时候还把被减数和减数颠倒位置。学生在学习上还存在着一些困难，对脱式计算的格式的书写问题也很多，主要是把先算的部分写在等号后面，不计算的把它扔在一边，什么时候需要了再写出来，出现了上下算式不相等的情况；还有的把先算的部分写前面，任意颠倒数字以及运算符号的顺序，导致计算结果出错。 第一课时 只含有同一级运算的混合运算 教学内容：课本1－5页例1、例2，练习一1、2、3题 教学目标：知识与能力：通过例题的教学使学生掌握同级运算的运算顺序;初步培养学生用综合算式解决问题的能力。 过程与方法：自主探索，交流讨论 情感态度与价值观：通过自主探索，发现学习的乐趣。 教学重点难点及突破： 掌握四则运算的计算方法，运用综合算式解应用题 教学准备：主题挂图 教学设计： 一、课前自学，预习要求 1、看：课本P1-5，例1‘例2 2、想：图中人们在干什么？“冰天雪地”分成几个活动区？每个区多少人？你是怎么知道的？ 根据图中提供的信息，你能提出哪些问题？怎么解决？ “照这样计算”是什么意思？ 3、做：列式计算，并说明运算顺序 246＋83－157 357÷3×59 尝试做第5页做一做 二、自学反馈 1、检查预习作业 2、提出不懂的问题 3、交流讨论 三、关键点拨 4 四则运算教学目标： 知识与能力： 四舍五入法凑整，大数的正确读写。 过程与方法： 将四舍五入法与进一法、去尾法比较，强化凑整方法。情感态度价值观： 培养学生良好的学习习惯，热爱祖国的大好河山。 教学重点： 将四舍五入法与进一法、去尾法比较，强化凑整方法。教学难点： 将四舍五入法与进一法、去尾法比较，强化凑整方法。教学准备： 学生练习本。 教学过程： 一、口算 二、创设情境 三、四舍五入凑整组织学生进行口算。 集体校对答案。 你了解我国的四大名山吗？今天 让我们一起去登一登黄山。 出示题目： 把下列各数四舍五入到万位。 45678 3454321 76328067 1032009 集体交流反馈 改写成用“万”作单位的数 再用“进一法、去尾法”到万位。 把下列各数四舍五入到亿位。 630008214 7860700431 629980679821 30927816782 集体交流反馈 改写成用“亿”作单位的数 再用“进一法、去尾法”到亿位 板书： 独立口算。 指名交流。 指名回答。 划分数级。 同桌读数。 独立完成。 说说改写的方法。 指名口答。 划分数级。 同桌读数。 独立完成。 说说改写的方法 指名口答 学习任务教师指导学生活动 四、读出下面的数，再用线连一连。 五、综合练习30000052 350002000 30500200 30052000 30005200 30000520 30000502 3500200000 集体交流反馈 1．把下列各数四舍五入到万位。 200489 190489 5958760 6949987 2．把下列各数四舍五入到亿位。 516895200 695823255 2643322541 7952146839 先划分数级 同桌读数 连一连 同桌配合反馈交流 学生独立完成 提醒：数字抄正确。 板书设计 四则运算（二） 把下列各数四舍五入到万位。约等号的写法：≈45678 3454321 76328067 1032009 《加、减法的定义及各部分间的关系》教学设计 【教学目标】 （一）知识与技能 结合具体情境通过对算式变换的比较，理解和掌握加、减法的意义和各部分之间的关系。 （二）过程与方法 在探索加、减法各部分之间的关系的过程中，发展抽象、概况的能力，进一步建立代数的思想。 （三）情感态度和价值观 在用抽象文字表示加、减法各部分间的关系的过程中，感受数学的内在逻辑性，体会数学的价值。 【教学重点】 教学重点：理解和掌握加减法各部分之间的关系。 【教学难点】 表示加、减法各部分间的关系 【教学准备】 课件、学习单。 【教学过程】 （一）创设情境，提出问题 1.师：同学们，你们知道中国新世纪四大工程之一，被誉为“天路”的工程是什么吗？ 预设： 生：青藏铁路 2.师：青藏铁路的建设创造了很多高海拔地区铁路建设的奇迹，今天这节课我们就从数学的角度一起走近青藏铁路。 （出示主题图） 3.师：你能根据图中的信息提出什么数学问题吗？ 预设： 生1：西宁到拉萨的铁路长多少千米？ 生2：格力木到拉萨的铁路长多少千米？ 生3：西宁到格里木的铁路长多少千米？ （随着学生提出问题，课件随机显示） 【设计意图】课程标准中指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”。在课的开始，引导学生自主提出数学问题，在激发学生研究兴趣的同时，引出研究问题。 （二）自主探究，加减定义 1.师：同学们提出的问题能够解决吗？我们先来看看第一个问题，请每个同学自己动手试一试。 2.学生独立解题 3.汇报交流，展示解题过程： 预设：814+1142=1956 4.师：为什么用加法计算？ 预设： 生：把两段合在一起计算。 5.师：你还能提出什么用加法计算的问题吗？ （学生提出数学问题） 6.师：用你自己的话说一说什么是加法？ 预设： 生：把两个数合并成一个数的运算叫加法。 （板书：加法定义） 7.师：你知道加法算式中这些数都叫什么名字吗？ 介绍加法算式各部分名称（加数+加数=和） 8.师：刚才同学们还提出了两个问题，他们能解决吗？请大家试一试，看看谁的速度快。 9.学生列式计算。 （2）1956-814=1142 （3）1956-1142=814 新人教版四年级数学下册四则运算教学 设计 四则运算教学设计 教学内容: P4/例1、例2 教学目标: . 使学生进一步掌握含有同一级运算的运算顺序。 2. 让学生经历探索和交流解决实际问题的过程,感受解决问题的一些策略和方法。 3. 使学生在解决实际问题的过程中,养成认真审题、独立思考等学习习惯。 教学过程: 一、主题图引入 观察主题图,根据条件提出问题。 说一说图中的人们在干什么?“冰雪天地”分成几个活动区?每个区有多少人?你是怎么知道的? 组织学生提问并对简单地问题直接解答。 根据图中提出的信息,你能提出哪些问题,怎样解决? 通过补充条件,继续提问。 . 滑冰场上午有72人,中午有44人离去,又有85人到来。现在有多少人在滑冰? 2. “冰雪天地”3天接待987人。照这样计算,6天预计接待多少人? 等等。 先小组交流,再全班交流。 提示学生可以自己进行条件的补充。 二、新授 . 小组4人对黑板上的题目进行分配解答。 引导学生对黑板上的问题进行解答,请学生在练习本上列出综合算式并进行脱式计算。 2. 小组内互相说说你是怎样解答的? 教师巡视并对学生的叙述进行指导。 3. 全班汇报:组织全班同学进行汇报,并且互相补充,注意每步表示的意义的叙述。 71-44+85 =27+85 =113 71-44表示中午44人离去后还剩多少人,在加上到来的85人,就是现在滑冰场有多少人。 987÷3×6 6÷3×987 =329×6 =2×987 =1974 =1974 第一种方法中,987÷3算出了1天“冰雪天地”接待的人数,在乘6算出6天接待的总人数。 第二种方法,因为是照这样计算,那么每天接待的人数可以看作是一样多的,就可以先算出6天是3天的几倍,6天接待的总人数也是3天接待的总人数的几倍。就可以直接用3天的987人数去乘算出来的2倍。等等。 引导学生进一步理解“照这样计算”的意思。 强调:可用线段图帮助理解。 教师要注意这种方法的叙述,方法不要求全体学生都掌握,主要掌握运算顺序。 4.巩固练习 根据老师提供的情景编题。A加减混合。乘车时的上下《四则运算与运算定律》教学设计
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内容摘要：教案示例四则运算 题。 教学目标 1．使学生掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式 2．让学生经历探索和交流解决实际问题的过程中，感受解决问题的一些策略和方法，学会用两三 3．使学生在解决实际问题的过程中，养成认真审题、独立思考等学 习习惯。... 步计算的方法解决一些实际问题。
教案示例 四则运算 教学目标 1．使学生掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式题。 2．让学生经历探索和交流解决实际问题的过程中，感受解决问题的一些策略和方法，学会用两 三步计算的方法解决一些实际问题。 3．使学生在解决实际问题的过程中，养成认真审题、独立思考等学习习惯。 教学重点：掌握含有两级运算的运算顺序。 教学难点：掌握含有两级运算的运算顺序，学会用两三步计算的方法解决一些实际问题。 教学准备：课件或者课本挂图。 教学过程 第一课时 教学目标 1．通过例题的教学使学生掌握同级运算的运算顺序。 2．初步培养学生用综合算式解决问题的能力。 一、引入新课 复习引入 列式计算，并说明运算顺序： 246＋83－157 357÷3×59 让学生说一说运算顺序， 二、新课学习 1．教学例 1 （1）出示主题图 图中人们在干什么？“冰天雪地”分成几个活动区？每个区有多少人？你是怎么知道的？
问：根据图中提供的信息，你能提出哪些问题？怎么解决？
学生独立思考，尝试解答，小组内交流，全班交流。 你是怎样列式的？每一步是表示什么意义？ 学生列分步和综合算是都可以，对比分步和综合算式，问：综合算式按什么顺序进行运算？ 总结：加、减法混合运算的运算顺序是从左到右。 2．教学例 2 出示例 2
学生读题，问：“照这样计算”是什么意思？
四则运算教案及活动设计配数学小故事(2)
时间：2012-12-30 8:40:43 内容摘要：教案示例四则运算 题。 作者：三 A 学习网 教学目标 来源：三 A 学习网 查看：1891 评论：0 1．使学生掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式
2．让学生经历探索和交流解决实际问题的过程中，感受解决问题的一些策略和方法，学会用两三 3．使学生在解决实际问题的过程中，养成认真审题、独立思考等学
步计算的方法解决一些实际问题。 习习惯。...
问：3 天接待 987 人怎样用线段图表示？ 6 天里接待多少人又怎样用线段图表示？ 学生自己尝试画图，组内交流，学生在画图的基础上解答问题， 全班交流。 你是怎么解答的？每一步计算结果表示什么实际意义？ 综合算式的运算顺序是怎样的？ 总结：乘除法混合运算的运算顺序是从左到右。 3．练习 完成第 5 页做一做 学生独立解答，集体订正，订正时说明解题思路和运算顺序。 三、巩固练习 1．练习一第 1 题《四则混合运算》教学设计
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