2014年湖南师范大学泛函分析招收硕士研究生入学考试大纲考研大纲

2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲

考试科目代码：[ ] 考试科目名称：泛函分析

一、试卷结构

1) 试卷成绩及考试时间

本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

2)答题方式：闭卷、笔试

3)试卷内容结构

泛函分析100%

4)题型结构

a: 判断题，20分

b: 填空题，20分

c: 计算题，10分

d：证明题，50分

二、考试内容与考试要求

1、距离空间和赋范线性空间

考试内容

（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。

（2）赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义。

考试要求

（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。

（2）理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念；掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。

2、有界线性算子与连续线性泛函

考试内容

有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭（对偶）空间，某些常见Banach空间的共轭空间。

考试要求

掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭（对偶）空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间。

3、Hilbert空间

考试内容

内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，Hilbert空间的同构，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。

考试要求

熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征；熟练掌握正交系、正规正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理。

4、Banach空间的基本定理

考试内容

Hahn-Banach延拓定理及其推论，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定理，弱收敛和弱 收敛。

考试要求

熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论、Riesz表示定理、一致有界定理及应用、开映射定理、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解Hahn-Banach 延拓定理、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱 收敛。

教材及主要参考书：

[1] 江泽坚，孙善利，泛函分析，高等教育出版社。

[2] 程其襄等，实变函数论与泛函分析基础，高等教育出版社。