高中简单立体几何体(附例题详解)

2. 简单几何体

知识网络

简单几何体结构简图

画龙点晴 概念

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.

棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为: 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.

按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱可

表示为:棱柱ABCDE-A /B /C /D /E /,或棱柱AC /

. 棱柱的性质：

(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；

(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；

直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.

长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.

公式

棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C 与高h 的乘积, 即Ch S =直棱柱, 斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C 1与侧棱长l 的乘积, 即l C S ?=1斜棱柱侧, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.

[活用实例]

[例1] 如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3

π， (1)求证:顶点A1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上;

(2)求这个平行六面体的表面积.

[题解](1) 如图,连结A 1O,则A 1O ⊥底面ABCD.

作OM ⊥AB 交AB 于M,作ON ⊥AD 交AD 于N,连结A 1M,A 1N. 由三垂线定理得A 1M ⊥AB,A 1N ⊥AD. ∵ ∠A 1AM=∠A 1AN,∴ Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA.∴ A 1M=A 1N. ∴ OM=ON. ∴

点O 在∠BAD 的平分线上.

(2),2

32133

cos

1=?

==π

AA AM 2

3=

∴AN , ∴侧面AB 1和侧面DC 1的面积都等于423?

=6,侧面AD 1和侧面BC 1的面积都等于52

3

?=7.5, 又AB ⊥AD ，∴两底面面积都等于45?=20，∴平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47. [例2] 如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱,过点A 1、B 、C 1的平面和平面ABC 的交线记作l . (1)判定直线A 1C 1和l 的位置关系,并加以证明;

(2)若A 1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A 1到直线l 的距离.

[题解](1)根据棱柱的定义知平面A 1B 1C 1和平面ABC 平行.

由题设知直线A 1C 1=平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1,直线l =平面A 1BC 1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l ∥A 1C 1.

(2)解法一:过点A 1作A 1E ⊥l 于E,则A 1E 的长为点A 1到l 的距离. 连结AE.由直棱柱的定义知A 1A ⊥平面ABC. ∴ 直线AE 是直线A 1E 在平面ABC 上的射影.

又 l 在平面ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有AE ⊥l . 由棱柱的定义知A 1C 1∥AC,又l ∥A 1C 1,∴ l ∥AC. 作BD ⊥AC 于D,则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高,且BD=AE, 从而AE=BD=

.5

12

534=?=?AC BC AB

在Rt △A 1AE 中,∵ A 1A=1,∠A1AE=90°,

.5131)512(

22121=+=+=

∴A A AE E A 故点A 1到直线l 的距离为5

13

. 解法二:同解法一得l ∥AC.

由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt △ABC ∽Rt △BEA,AE:BC=AB:AC,

AC

AB

BC AE ?=

∴ , 以下同解法一. [例3] 如图,已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱,D 是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC1;

(2)假设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数.

[题解](1)∵A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱, ∴四边形B 1BCC 1是矩形. 连结B 1C 交BC 1于E,则B 1E=EC.连结DE. 在△AB1C 中,∵AD=DC,∴DE ∥AB 1.

又?1AB 平面DBC 1, DE ?平面DBC 1, ∴AB 1∥平面DBC 1.

(2)作DF ⊥BC,垂足为F,则DF ⊥面B 1BCC 1,连结EF,则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影. ∵AB 1⊥BC 1,由(1)知AB 1∥DE,∴DE ⊥BC 1,则BC 1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α的平面角. 设AC=1, 则DC=

.2

1 ∵△ABC 是正三角形,∴在Rt △DCF 中, ,43sin =

?=C DC DF CF=.4

1cos =?C DC 取BC 中点G.∵EB=EC,∴EG ⊥BC. 在Rt △BEF 中,AC=1, ,2

GF BF EF ?= 又BF=BC-FC=

43, GF=4

1

, 16341432

=?=∴EF , 即EF=43..14

3

43

tan ===∠∴EF DF DEF ∴∠DEF=45°. 故二面角α为45°.

概念

棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.

棱锥的分类: 按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

棱锥的表示法: 棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母来表示. 例如,棱锥S-ABCDE,或棱锥S-AC.

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥. 正棱锥的性质：

(1)各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

(2)棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的边心距）组成一个直角三角形，这个直角角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；

(3)棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。

一般棱锥的性质: 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比；截得棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们相应的高的平方比。

棱锥的中截面: 过棱锥的高的中点并且平行于底面的截面叫做棱锥的中截面.

公式

正棱锥的侧面积和全面积: 正棱锥的侧面积等于底面周长C 与斜高/

h 乘积的一半. 即/2

1

h C S ?=

正棱锥侧. [活用实例]

[例4] 如图,在三棱锥S-ABC 中,S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点,使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC. 求证：SC 垂直于截面MAB.

[题解1]因为SN 是底面的垂线,NC 是斜线SC 在底面上的射影,AB ⊥NC,所以AB ⊥SC(据三垂线定理). 连结DM.

因为AB ⊥DC,AB ⊥SC,所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面. 又因DM 在这平面内,所以AB ⊥DM.

∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.

在△MDC 和△NSC 中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS 是公共角,所以∠DMC=∠SNC=90°从而DM ⊥SC. 从AB ⊥SC,DM ⊥SC,可知SC ⊥截面MAB.

[题解2]连结DS,DM ，因为SN 是底面的垂线,AB ⊥DN,所以AB ⊥DS(据三垂线定理).从而AB ⊥平面SDC.

因SC,DM 都在平面SDC 内,故AB ⊥SC,AB ⊥DM.

由AB ⊥DM,AB ⊥DC,可知∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC. 以下同证法一,故SC ⊥截面MAB.

[题解3]连结DM,DS. 因为M,N 分别在△SDC 的两边上,所以SN 和DM 都在平面内,且相交于一点P. 又因PN 是底面的垂线,AB ⊥DN,所以AB ⊥DM(据三垂线定理). ∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.

又∠MDC=∠NSC,∠DCS 是△DCM 和△SCN 的公共角,故∠DMC=∠SNC=90°.从而DM ⊥SC. 从AB ⊥DM,AB ⊥DC,可知AB ⊥平面MDC.因为SC 是平面MDC 内的直线,所以AB ⊥SC. 从AB ⊥SC,DM ⊥SC,可知SC ⊥截面MAB. [例5] 如图，正四棱锥的棱长和底面边长均为a,求：（1）侧面与底面所成角α的余弦； （2）相邻两个侧面所成二面角β的余弦。

[题解]（1）作SO ⊥面ABCD 于O ，作SE ⊥BC 于E ，连接OE ，则BC ⊥OE ，∠∴SEO=α， .3

3

cos ,21,23==∴==

SE OE a OE a SE α (2）设SA 的中点为F ，连接BF 、DF ，? SAB 和?SAD 都是正三角形， .,,β=∠∴⊥⊥∴BFD SA DF SA BF

.3

12c o s ,2,23222-=??-+=∴===BF DF BD BF DF a BD a DF BF β 概念

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.两个面

的公共边叫做多面体的棱.若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.

凸多面体: 把多面体的任何一个面伸展为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体.

正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点这其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体.

正多面体的种类: 正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，其中正四面体、正八面体、正二十面体的面是正三角形，正六面体的面是正方形，正十二面体的面是正五边形。

公式

欧拉公式: 简单多面体的顶点数V 、面数F 的和与棱数E 之间存在规律V+F-E=2，它叫做欧拉公式。

[活用实例]

[例6] 如果一个凸多面体，各顶点引出奇数条棱，求证：顶点数为偶数。

[题解1]假设多面体的顶点数V=2n+1(n ≥1,n ∈N *)，第i 个顶点处有2m i +1条棱(m i ≥1, m i ∈N *

)， 棱数为E ，则2E=(2m 1+1)+ (2m 2+1)+……..+ (2m i +1)+…….+ (2m 2n+1+1) =2(m 1+m 2+……+m i +……m 2n+1)+(2n+1).

C

O

S

D

A

E

F B

∴E=(m 1+m 2+……+m i +……m 2n+1)+n+

2

1. 这与棱数是正整数矛盾，此多面体的顶点数为偶数。

[题解2]设顶点数为V ，各顶点引出的棱数分别为2n 1+1、2n 2+1、……、2n V +1(n i ≥1，n i ∈N *

),

则棱数E=

2

1

[(2n 1+1)+(2n 2+1)+……+(2n V +1)], 2E=2(n 1+n 2+……+n V )+V, ∴V=2E-2(n 1+n 2+……+n V ).故V 一定是偶数.

[例7] 一个多面本，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为36000

， 求这个多面体的面数F 、顶点数V 及棱数E.

[题解]设多面体的每个面的边数为x ，每一个顶点处出发的棱数为y ，则 36000

=F ?-?)2(x 1800

, F(x-2)=20, F=

2

20

-x . E=

2

102-=

x x

Fx . 又.)2(202,2y x x y E V Vy E -==∴= 代入欧拉公式得

.5

3102.2210220)2(20-+=∴=---+-y x x x x y x x

又∈≥x x (,3 N *

), y ∈≥y (,3N *

), 可得35≤≤y . ∴y=3,4,5. 3=y 或4,x ? N *

, y=5时,x=3,

∴这个多面体的各面是三角形，各顶点处有5条棱，

所以，这个多面体有12个顶点，20个面，30条棱.

[例8] 一个简单多面体的顶点数为12，以每个顶点为一端都有3条棱，面的形状只有四边形和六边形， 求多面体中四边形和六边形数目。

[题解] 设这个多面体中四边形和六边形分别有x 个、y 个，则面数F=x+y ，

V=12且每个顶点为一端都有3条棱，∴E=

)123(2

1

23?=V =18， 由欧拉公式V+F-E=2，得12+（x+y ）-18=2， 即x+y=8 ①， 又E=

=+)64(21y x )123(2

1

?，即时2x+3y=18 ②， 由①、②解得x=6,y=2，

∴该简单多面体有6个四边形，2个六边形。

概念

体积: 几何体占有空间部分的大小叫做它的体积.

定理

祖暅原理：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两

个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

公式

长方体的体积: abc V =长方体,其中c b a ,,分别为长方体的长、宽、高.

正方体的体积: 3a V =正方体,其中a 为正方体的棱长.

柱体的体积公式：V 柱体=Sh ， 其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式：V 锥体=

Sh 3

1

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. [活用实例]

点评：这里用的就是分割，把一个三棱锥分割成两个，分别求体积。

[例10] 三棱锥P —ABC 中，PA=a ，AB=AC=2a ，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60o

， 求三棱锥P —ABC 的体积.

[例11] 已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体， E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点， 求四棱锥A 1-EBFD 1的体积。 [题解],2

5)2(2211a a a E D FD BF EB =+=

===

∴四棱锥A 1-EBFD 1的底面是菱形，连接EF ，则1EFD EFB ???，

A D 1

||,1111CC V V EFD A EFB A --=∴平面ABB 1A 1，

∴三棱锥F-EBA 1的高是CC 1到平面AB 1的距离，即棱长a ，

S .4

122121211a a a AB E A EBA =??=?=

? ∴.12141313

211

a a a V V EBA F EFB A =??==--

.6

123

111a V V EFB A EBFD A ==∴--

点评：本例运用“等积变换”和“割补”的思想，将求一个四棱锥的体积转化为求两个体积相等的三棱锥的体积，而求三棱锥的体积又利用了三棱锥的特点（体积的自等性），从而简化计算。

概念

球：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面. 球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心. 连结球心和球面上任一点的线段叫做球的半径. 连结球心和球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. 球面也可以看作与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹). 球的表示: 一个球通常用它的球心的字母来表示, 例如球O. 球的截面的性质： (1)球的截面是圆面;

(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面; (3)球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系是r=22d R -.

球的大圆和小圆: 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆, 被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.

两点间的球面距离: 在球面上，两点之间的最短路线, 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 这个弧长叫做两点间的球面的距离.(求两点间的球面的距离的关键，在于求出过这两点的球半径的夹角).

经度: 某地的经度是一个二面角的度数，即经过该地的经线所在半圆面与00

经线所在半圆面所成的二面角的度数。

纬度: 某地的纬度是一个线面角的度数，即该地与球心的连线与赤道平面所成角的度数。

公式

球的表面积公式: 设球的半径为R ，则球的表面积为S 球面=4πR 2

，即球的面积等于大圆面积的4倍。

球的体积公式: V 球=

3

4

πR 3.其中R 为球的半径. [活用实例]

[例12] 在球O 内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别为5πcm 2

和8πcm 2

，球心不在截面之间， 求球O 的表面积。

[题解]作球O 的轴截面如图所示，圆O 是球的大圆， A 1B 1、A 2B 2分别是两个平行截面圆的直径， 过O 作OC 1⊥ A 1B 1于C 1，交A 2B 2于C 2， A 1B 1||A 2B 2，∴ OC 1⊥ A 2B 2，

∴C 1、C 2分别为A 1B 1、A 2B 2的中点，

设两平行截面的半径分别为r 1、r 2,且r 2>r 1, 则有πr 12=5π,πr 22

=8π, ∴ r 12=5, r 22=8,

OA 1、OA 2都等于球的半径R ，

2

∴OC 1=52212-=-R r R ，OC 2=82222-=-R r R ，

∴

18522=---R R ，解得R 2=9，

∴S 球=4?π9=36π（cm 2

）.

[例13] A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距 离恰好为球半径的一半，求球的面积。

[题解] AB 2+BC 2=AC 2

， ?∴ABC 为直角三角形，

?∴ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ，

因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2

=（2

R ）2+152

，

∴R 2=300，∴S 球=4πR 2=1200π（cm 2

）.

点评：求球的表面积实际上即求球的半径，要注意利用球的截面的性质.

[例14] 设地球的半径为R ，在北纬600

圈上甲、乙两地，它们在纬度圈 上的弧长是

2

R

π, 求这两地的球面距离。

[题解]如图北纬600

圈小圆的半径，O 1A=O 1B=OAcos600

=

2

1R, 北纬600

圈上弧长是

2

R

π的弧对的圆心角∠AO 1B=ππ=R R

2

12，

即AB 为北纬600

圈小圆的直径，由AO=BO=R ，3

π

=

∠=∠AOC OAB ,

?∴OAB 为正三角形，∠AOB 为球心角，弧AEB=

3

R

π即为所求.

[例15] 如图，球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6

1

，经过这三个点的小圆 周长为4π ，求这个球的半径。

[题解] 由已知∠AOB=∠BOC=∠COA=600

，

则?OAB 、?OAC 、?OBC 是等边三角形，?ABC 是正三角形， 设球半径为R ，，则AB=BC=CA=R ，∴?ABC 外接圆半径r=

3

3

R ， 由已知小圆即?ABC 外接圆周长为4π，即r=2，

∴3

3

R=2，

∴R=23. [例16] 正三棱锥P-ABC 的侧棱长为 ，两侧棱的夹角为2α，求其外接球的体积. [题解]如图，作PD ⊥底面ABC 于D ，则D 为正三角形ABC 的中心， ⊥OD 底面ABC ，∴P 、O 、D 三点共线，

,2,α=∠===APB PC PB PA

,sin 22cos 222

2

αα =-=∴AB αsin 3

3233 ==∴AB AD ，

设β=∠APD ，作OE ⊥PA 于E ，在Rt PAD ?中，

==

PA AD βsin αs i n 332，又OP=OA=R ， 2

1

21==∴PA PE ， αβ2s i n 3412c o s -===∴ PE PO R ,∴V 球=π34[α2sin 3

4

12- ]3=.)sin 43(2sin 4332223ααπ--