二次根式
二次根式
学习目标：
1、理解二次根式的概念，会辨别二次根式。
2、理解二次根式的双重非负性，并能利用它解决相关问题。
重 点：二次根式的概念
难 点：利用非负性解决实际问题。
一、自主预习
活动1:探究认识二次根式的概念
二次根式：形如________（ ）的式子。
在二次根式a 中，字母a 必须满足什么条件？为什么？ 活动2:探究认识二次根式的双重非负性
3的算术平方根是___________。
5的算术平方根是____________。
0的算术平方根是____________。
-2的算术平方根是____________。
我发现：只有________才有算术平方根，并且其算术平方根是______数。 活动3:练习
（1）若2421-+m x 是二次根式，则m=_____。
（2）X 取什么数时，x -3有意义。
二、合作探究
1、判断下列各式，哪些是二次根式。
9 22b a +144- a 3 353- x 122++x x 我发现：满足二次根式的两个条件
（1）根指数一定________。 （2）被开方数一定____________。
2、当x 是怎样的实数时，下列各式有意义。
（1）
2
3-+x x （2）x x -+-11 （3）322++x x
3、若x 、y 都是实数，且满足322+-+-x x y ，则化简22--y y
。
三、当堂检测
1、下列式子一定是二次根式的是（ ） 2--x x 22-x 22+x
2、x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义。 x 2
122+-x x 11+x x
-31 3、若0623=+-+-+y x y x ，求x 、y 的值。
16章 二次根式全章导学案
二次根式(1) 学习目标： 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____， 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考：16 ， π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”为什么 3（ ），16-（ ），34（ ） ），)0(3 ≥a a （ ），12+x （ ） 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)3 1(= 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ） 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3(
二次根式中考真题及详解
二次根式 知识梳理 知识点1．二次根式 重点：掌握二次根式的概念 难点：二次根式有意义的条件 式子a （a ≥0）叫做二次根式． 例1下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）叫做二次根式． 答案：1）、3）、4）、5）、7） . 例2若式子 3 x -有意义，则x 的取值范围是_______． 解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）注意被开方数的范围，同时注意分母不能为0 答案：3x > 例3若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 练习1使代数式43 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 211x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 答案：1. D 2. C ： 知识点 2．最简二次根式 重点：掌握最简二次根式的条件 难点：正确分清是否为最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 例1.在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件，答案：C
人教版初二数学《二次根式》全章测试含答案
《二次根式》全章检测 班级____________姓名_________________成绩_____________ 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1.若32-x 是二次根式，则x 应满足的条件是( ) A. 23> x B. 23≥x C. 23
二、填空题：（每小题3分，共24分） 9.使 1 -x x 有意义的x 的取值范围是_______________ 10.若0442=+-++y y y x ，则xy 的值为________ 11.若0 八年级上学期数学第一章 二次根式 1.3二次根式的运算（1） 一、回顾知识 导入新课 1、计算： (1) = ，= ∴ (2) = , = ∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示. 例1 计算： （1）322? （2） 550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥?y x xy xy 跟踪练习：计算： （1）61211÷ （2）6 72 （3）2)0,0(6632 b a a ab ? 例2 计算： （1）-9215125.225? （2）5 232232?÷ 跟踪练习：计算： （1）)7223()563(212-?÷； （2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x x b a -÷+?- 2、最简二次根式的两个条件： （1） （2） 三、当堂检测 自我评价 1、下列等式中，成立的是（ ） A. = B. = C. = D. = 2的结果是（ ） A. 3- B. C. D. 3- 3 ） A. B. C. 2 D. 4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( ) A ．122- B ．22- C ．21- D ．22+ 5、计算：27 1331322÷?的结果是（ ） A 、33 1 B 、231 C 、26 D 、62 6、比较大小：，32 612 8、计算：(1 (2 ( 3 （4）)104 3(53544-÷? 3、 将1按如图所示的方式排列. A.1 B.2 C. 4、已知1a a +=1a a -的值为（ ） A ．± B ．8 C ． D ．6 8、探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1） 验证：= = （2） 验证： = 同理可得：==，…… 通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论． 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】 【活动一】知识（5分钟） 这些知识你还记得吗？（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。） 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2，用式子表 示为 =__________； 【活动二】自主交流 探究新知（ 25分钟） 1、二次根式定义的学习：（12分钟） 完成 P2—思考中的容，阅读例1以上的容，尝试完成下面的问题： 1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？ 2 3，16-，34，12+x 3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。 4）下列各式一定是二次根式的是（ ） A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结：二次根式应满足的条件： 。 2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟） 自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： 1）x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③x --21 （2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结：二次根式有意义的条件是： 【活动三】课小结 (学生归纳总结) （3分钟） 1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值围有限制：被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、在式子 x x +-121中，x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________. 3、已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。） 1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ 2，33， x 1 ，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x ≥0,y ≥0） 2、当x 是怎样的实数时，13-x 在实数围有意义？ 3、若20a -+=，则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知：y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥ 二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面. 第章二次根式单元测试卷 含答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 八年级数学第十六章二次根式测试题 时间：45分钟分数：100分 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列说法正确的是（） A ．若a a -=2，则a<0 B ．0,2>=a a a 则若 C ．4284b a b a = D ．5的平方根是5 2．二次根式13)3(2++m m 的值是（） A ．23 B ．32 C ．22 D ．0 3．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y - 4．若b a 是二次根式，则a ， b 应满足的条件是（） A ．a ，b 均为非负数B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0≥b a 5．已知a< b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 6．把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（） A ．m B ．m -C ．m --D ．m - 7．下列各式中，一定能成立的是（）。 A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = C ．122+-x x =x-1 D ．3392+?-=-x x x 8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（） A ．022=-y x B ．033=+y x C ．022=-y x D ．0=+y x 9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（） A ．2B ．22C ．55D ．5 10．已知1018222=++x x x x ，则x 等于（） A ．4B ．±2 C ．2D ．±4 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是。 12．已知a<2，=-2)2(a 。 13．当x=时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为。 14．计算：=?÷182712；=÷-)32274483(。 15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为3cm 。 16．若433+-+-=x x y ，则=+y x 。 17．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 18．若3)3(-?=-m m m m ，则m 的取值范围是。 19．若=-???? ??-=-=y x y x 则,432311,132 。 20．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则、222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=。 三、解答题（21~25每小题4分，第26小题6分，第27小题8分，共44分） 21．2 1418122 -+-22．3)154276485(÷+- 23．x x x x 3)1246 (÷-24．21)2()12(18---+++ 25．0)13(27132--+-26．已知：132 -=x ，求12+-x x 的值。 27．已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 四、应用题（6分） 二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点 类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13 ；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） 例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题 二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根 式，而 ， 等都不是二次根式。 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x （x>0）、0、42、-2、 1 x y +、x y +（x ≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所 以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0； 若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若，则，如：，. 例1 计算 1．（ 32）2 2．（35）2 3．（56 ）2 4．（7）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身， 即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，?并根据这一性质回答下列问题． 二次根式（基础） 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0）， （a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。 2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1（2015春?潍坊期中）下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． .3 C 【答案】 B 【解析】2231x +-，B ． 【总结升华】0． 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3 -；（6）1x -（1x >） A ．2 .3 C 【答案】B. 2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义 （1）1y x = -； （2）y=2+x －x 23-； 【答案与解析】 （1）1x -Q ≥0，所以x ≥1. （2）2x +Q ≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x 【答案】B. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42 ?原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三： 【变式】（1）2)2 52(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________. 【答案】(1) 10;(2) 0. a +a=0, 则有 ( b ) ，则 a=b ．若 a =b ，则 a 是 b 的平方根 4、若 |1 －x| － x －8x+16 ＝2x －5，则 x 的取值范围是（ －(x+a) ?(x+b) 等于（ 第一章 二次根式测试卷 姓名 一、选择题 （每题 2.5 分，共 30 分） 班级 得分 1、若实数 a 满足 2 ) A ． a>0 B ． a ≥ 0 C ．a<0 D ．a ≤0 2、下列命题中，正确的是（ ） A ．若 a>b ，则 a> b B ．若 a >a ，则 a>0 C ．若 |a|=( 2 D 2 3、使 x ＋ 1 x-2 有意义的 x 的取值范围是（ ） A ． x ≥ 0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0 且 x ≠2 2 ） A ． x>1 B ．x<4 C ．1≤x ≤4 D ．以上都不对 5、下列各式正确的是（ ） A ． 2 ＋ 3 ＝ 5 B ． ( －4)( － 9) ＝ －4 ? －9 ＝( －2) ?( －3) ＝6 C ． (2 10 － 5 ) ÷ 5＝2 2 － 1 D ．－ 3 2 ＝－ 18 6、如果 a 第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 4 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ________ )(2=a 2)3( 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2 ） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）；=a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式 1- 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式，最简二次根式是（） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y a（a＞0） = =a a2 a -（a＜0） 0 （a=0）； 《二次根式》全章测试卷 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1.下列各式①y ; ②2+a ; ③52+x ; ④a 3;⑤962++y y ; ⑥3其中一定 是二次根式的有（ ） A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．()()225.25.2=- B. ()22a a = C. 1122-=+-x x x D.3392+?-= -x x x 3.式子2 1+-x x 的取值范围是（ ） A . x ≥1 且 X ≠-2 B.x>1且x ≠-2 C.x ≠-2 D. .x ≥1 4.化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 5.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.计算()()20092008227227-?+,正确的结果是（ ） A ．722- B. 227- C.1 D. 227+ 7.化简()2 232441--+-x x x 得（ ） A. 44x - B. 44x -+ C. 2- D. 2 8.已知0>b , 化简b a 3-的结果是( ) A ． ab a B. ab a - C. ab a -- D. ab a - 9.若5-a ·a -5=)5)(5(a a --,则a 的取值范围是( ) A.a=5 B.a ≥5 C.a ≤5 D.无论a 取何值,等式都无意义 10.设25,3223-=-=-=c ，b a ,则a 、、b、c 的大小关系是（ ） A.c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >> 二、耐心填一填（每小题3分，共24分） 11.同学们玩过“24点”游戏吗？现在给你一个无理数2，你再找3个有理数，使它经过 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学（第一章） 出题人： 分数： 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 3. 请在密封线外答题。 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 a 的取值范围是（ ） A 、0a ≥ B 、0a ≤ C 、3a ≥ D 、3a ≤ 2、下列各式中一定是二次根式的是（ ） A B C 、12+x D 3 x 应满足的条件是（ ） A. 52x = B. 52x < C. x ≥52 D. x ≤52 4、当x=3时，在实数范围内没有意义的是（ ） A. B. C. D. 5得（ ） A. - B. C. 18 D. 6 6 = ） A. 1a ≥- B. 1a ≤ C. 1<1a -≤ D. 11a -≤≤ 7、下列各式计算正确的是（ ） A. = B. = C. = D. = 8、若 A = ） A. 23a + B. 22(3)a + C. 22(9)a + D. 29a + 9、已知xy ＞0，化简二次根式 ） A. B. C. D. 10、下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．3392-?+=-x x x B ．22)(a a = C ．1122-=+-x x x D ．22)5.2()5.2(=- 11、化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 12、如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧，则的值为2)(b a b a ++-（ ） A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a 2- 二、填空题。（每小题3分，共24分） 13、=-2)3.0( ；=-2)52( 。 14、二次根式 3 1-x 有意义的条件是 。 15、若m<0，则332||m m m ++= 。 16、已知233x x +=－x 3+x ，则x 的取值范围是 。 17、若12+a 与34-a 的被开方数相同，则a = 。 18、=?y xy 82 ，=?2712 。 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 二次根式（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进 行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. 2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， +在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +??+? 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三： 【变式】（2015?随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示：∵代数式 +有意义， ∴， 解得x ≥0且x ≠1． 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三： 【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）y=x -－1 1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且 （2）22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016?潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+ 的结果是（ ） A ．﹣2a +b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 二次根式(1)导学案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的_____;x 是a 的______, 记为____,a 一定是_____数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____。称为 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，3 4)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2 )3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2 . 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解：72-x 4a 2 -11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 2、（1a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中，x 的取值范围__________. (2)已知42 -x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+ -=x x y ,则x y = _____________。 （四）达标测试 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。 3、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解： （1）-=-229x x ( )2 =（x + ）(y - )（2）-=-2 23x x ( )2 =（x + ）(y - ) 5、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为 6、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是 ________)(2=a x --2142)3( 21．2 二次根式的乘除 第一课时 1．填空 （1）4×9=_______，49?=______； （2）16×25=_______，1625?=________． （3）100×36=________，10036?=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×36________10036? 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1、计算 （1）5×7 （2）1273? （3）12155? 例2、化简 （1）916? （2）1681? （3） 229x y （4）54 （5）2312a b （6）8 例3 、计算： （3）133 x xy （4）2013201432)(32)+ （5）2332848x y x y （62418例4、2111x x x -+-x 的取值范围是________________。 课堂练习： 练习1、计算 ①2×8 ②36×210 ③5a ·15 ay (2) 化简: 20; 18; 24; 54; 180 ;2212a b 练习2、计算 练习3．计算： 练习4、长方形的长和宽分别是a,b,根据下列条件求面积S （1） 8,12a b ==(2) 250,324a b ==练习5223 123m m m m +-=--+m 的取值范围是_____________。 21．2 二次根式的乘除 1．填空 （1 ；（2=________； =________；（4． （3 二次根式的除法规定： （2（3（4 例1．计算：（1 例2．化简： （1（2（3（4 例3、计算（1（2，（3 例4 例5、（a>0） 例题6=，则x的取值范围是__________________。 注：上述结果中的二次根式有两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开尽方的因式或因数。 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 二次根式运算一定要化简成最简二次根式。 课堂作业： 练习1、(1234 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）； 【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 ）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x -- +315；（2）2 2)-(x 例3、 在根式 1) ， 最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a八下第一章 1.3二次根式的运算(1)
16.1.1二次根式全章导学案
二次根式的运算知识讲解
第章二次根式单元测试卷含答案
04.二次根式全章复习与巩固讲义
人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总
二次根式知识讲解
浙教版八年级数学下册第一章二次根式测试(含答案)
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
二次根式讲解大全Word
最新浙教版八年级数学下册二次根式全章测试卷
人教版八年级下册数学第一章二次根式测试题
人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc
二次根式导学案(人教版全章)
二次根式的乘除运算讲解及练习
第十六章二次根式知识点总结大全