45分钟进入离散傅立叶变换

45分钟进入离散傅立叶变换

【摘要】离散傅立叶变换在数字信号处理课程中非常重要，也非常难，在讲解离散傅立叶变换的公式和性质之前，应先让学生理解离散傅立叶变换的物理意义以及与其他三种傅立叶变换的联系，本文采用3W1H的叙述方式让学生对离散傅立叶变换产生学习兴趣。

【关键词】离散傅立叶变换;周期性;物理意义

离散傅立叶变换是整个数字信号处理课程的数学基础，公式性质繁多，要让学生充分掌握这一章的内容，必须在教学方法和教学内容上要迎合学生的学习状态，提高课堂效率。强调要理解傅立叶变换，需要有一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，首先要理清离散傅立叶变换的物理意义，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，充分理解四种傅立叶之间的关系。本文采用记事叙述的方式慢慢展开离散傅立叶变换的神秘面纱。

1.Why

对于离散时间信号的处理方法，在第二章我们学习了Z变换和序列的傅立叶变换（DTFT），为什么还要学习新的变换——离散傅立叶变换呢？

简要复习Z变换和DTFT的定义。序列的傅立叶变换（DTFT）和Z变换都是针对无限长序列定义的，其中复变量ω和Z 都是连续变量。计算机在进行数字信号处理时只能处理有限长序列，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。我们可以利用Z变换研究有限长序列，但是我们希望寻找一种能反映出有限长序列特点的更有力的工具，这就是离散傅立叶变换，简称DFT。

在此处提出问题，一方面让学生回顾前面学习过的重要知识点，另一方面建立前后知识点之间的联系，让学生理解学习本章的目的。讲解时间大概为5分钟。

2.Who

为什么是傅里叶变换呢？

傅立叶是法国的数学家和物理学家，1768年生于法国，8岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文，推导出著名的热传导方程。在这篇论文中，他提出了两个主要的论点：“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”和“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”。

matlab-离散信号傅里叶变换

1.请用MATLAB编写程序，实现任意两个有限长度序列的卷积和。要求用图 形显示两个序列及卷积结果。 解：y(n)=∑x(i)h(n-i) 假设x(n)={1,2,3,4,5}; h(n)={3,6,7,2,1,6}; y(n)=x(n)*h(n) 验证：y[n]=[1,12,28,46,65,72,58,32,29,30] 【程序】 N=5 M=6 L=N+M-1 x=[1,2,3,4,5] h=[3,6,7,2,1,6] y=conv(x,h) nx=0:N-1 nh=0:M-1 ny=0:L-1 subplot(131);stem(nx,x,'*b');xlabel('n');ylabel('x(n)');grid on subplot(132);stem(nh,h,'*b');xlabel('n');ylabel('h(h)');grid on subplot(133);stem(ny,y,'*r');xlabel('n');ylabel('y(h)');grid on 【运行结果】

2.已知两个序列x[n]=cos(n*pi/2), y[n]=e j*pi*n/4x[n],请编写程序绘制 X(e jw)和Y(e jw)和幅度和相角,说明它们的频移关系。 –提示：用abs函数求幅度，用angle求相角。 【程序】 n=0:15; x=cos(n*pi/2); y=exp(j*pi*n/4).*x; X=fft(x); Y=fft(y); magX=abs(X); angX=angle(X); magY=abs(Y); angY=angle(Y); subplot(221);stem(n,magX,'*r');xlabel('频率');ylabel('幅度');grid on; subplot(222);stem(n,angX,'*b');xlabel('频率');ylabel('相位');grid on; subplot(223);stem(n,magY,'*r');xlabel('频率');ylabel('幅度');grid on; subplot(224);stem(n,angY,'*b');xlabel('频率');ylabel('相位');grid on;

离散时间傅里叶变换.

第3章 离散时间傅里叶变换 在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质 3.1.1 非周期序列傅里叶变换 1．定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为： 正变换： ∑∞ -∞ =ω-ω = =n n j j e n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1) 反变换： ? π π -ωωω-ωπ = =d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2) 记为： )()(ω?→←j F e X n x 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。 [例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得 ωω=--=--== = ω-ω-ωω-ω-ωω-ω -ω-ω-=ω-∞ -∞ =ω ∑∑ 2 1sin 3sin )() (11)()(2 521 212133365 6j j j j j j j j j n j n n j n j e e e e e e e e e e e n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1

离散信号的傅里叶变换(MATLAB实验)

离散信号的变换（MATLAB 实验） 一、实验目的 掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法，掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点，了解快速傅立叶变换。 二、实验内容 1、已经系统函数为 5147.13418.217.098.2250 5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图，判断系统是否稳定； (2)检查系统是否稳定； (3) 如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图'); z=roots(a); magz=abs(z) magz = 0.9000 0.9220 0.9220 0.9900 n=[0:1000]; x=stepseq(0,0,1000); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出'); （1）因为极点都在单位园内，所以系统是稳定的。 （2）因为根的幅值（magz ）都小于1，所以这个系统是稳定的。 （3）稳定时间为570。 2、综合运用上述命令，完成下列任务。 (1) 已知)(n x 是一个6点序列： ???≤≤=其它,050,1)(n n x

计算该序列的离散时间傅立叶变换，并绘出它们的幅度和相位。 要求：离散时间傅立叶变换在[-2π,2π]之间的两个周期内取401个等分频率上进行数值求值。 n=0:5;x=ones(1,6); k=-200:200;w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位'); (2) 已知下列序列： a. ,1000),52.0cos()48.0cos()(≤≤+=n n n n x ππ； b ．)4sin()(πn n x =是一个N ＝32的有限序列； 试绘制)(n x 及它的离散傅立叶变换 )(k X 的图像。 a ． n=[0:1:100];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); subplot(2,1,1);plot(n,x);title('x(n)的图像'); X=dft(x,101); magX=abs(X); subplot(2,1,2);plot(n,magX);title('丨X(k)丨的图像');

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3）

离散信号变换的matlab实现

实验四 离散信号的频域分析 一、 实验目的 1. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab 实现； 2. 学习用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。 二、 实验内容及步骤 1. 计算序列的DTFT 和DFT ，观察栅栏效应 设)()(4n R n x =，要求用MATLAB 实现： （1）计算)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X ，并绘出其幅度谱； （2）分别计算)(n x 的4点DFT 和8点DFT ，绘出其幅度谱。并说明它们和)(ωj e X 的关系。 （提示：DFT 变换可用MA TLAB 提供的函数fft 实现，也可以自己用C 语言或matlab 编写） 2.计算序列的FFT ，观察频谱泄漏 已知周期为16的信号)1612cos()1610cos()(n n n x π π +=。 （1） 截取一个周期长度M=16点，计算其16点FFT ，并绘出其幅度谱； （2） 截取序列长度M=10点，计算其16点FFT ，绘出其幅度谱，并与（1）的结果进行比 较，观察频谱泄漏现象，说明产生频谱泄漏的原因。 三、 实验报告要求 1. 结合实验中所得给定典型序列幅频特性曲线，与理论结果比较，并分析说明误差产生的原因以及用FFT 作谱分析时有关参数的选择方法。 2. 总结实验所得主要结论。 1. 计算序列的DTFT 和DFT ，观察栅栏效应 设)()(4n R n x =，要求用MATLAB 实现： （1）计算)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X ，并绘出其幅度谱； （2）分别计算)(n x 的4点DFT 和8点DFT ，绘出其幅度谱。并说明它们和)(ωj e X 的关系。 （1）代码： n=0:3; M=10;

连续时间傅里叶变换

2 奇偶信号的FS: (i) 偶信号的FS: 2 a n f (t)cosn T] T 1 Fn 弘 1tdt ； bn 2 T1 f (t)sin n 1tdt c n d n a n (ii ) jbn an 2 2 偶的周期信号的 奇信号的FS: F n ( Fn 实, 偶对称)；n FS 系数只有直流项和余弦项。 2 T f(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 11 1 Fn F n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)； a a n 0 ； b n b n 2jFn 第二章连续时间傅里叶变换 1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝 为T i ,角频率为 ,2 f ,—。 Ti (3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 ⑷三角形式的FS: (i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1 (ii) 系数计算公式： (a) 直流分量： ao f (t)dt T 1 T 1 (b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n N T1 T 1 2 (c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n N T1 T 1 (iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。 (V) 合并同频率的正余弦项得： n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 (vi) 傅里叶系数之间的关系： (5)复指数形式的FS: (i) 展开式：f (t) Fne jn 1t n (ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1t dt, n Z T] T 1 (iii) 系数之间的关系： (iv) Fn 关于 n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v) 正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。 对可积 丁 f(t)dt 。 (2)傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集 {1,cosn *,sinn 1t ：n N}或复指数函数集 {e jn 术:n Z},函数周期

傅里叶变换 讲解最通俗易懂的一片

【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶 变换？来源：胡姬的日志 写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬！！！ 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得 非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.wendangku.net/doc/2a4112070.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，

离散序列傅里叶变换习题教学教材

1、 2、 11、 试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)x n n δ=- （2）211 ()(1)()(1)22 x n n n n δδδ= +++- （3）3()(),01n x n a u n a =<< （4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 12、 设()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性 质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。 （1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2 ()()g n x n = （7）(), ()2 0, n x n g n n ??=???为偶数为奇数 13、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(),||1n x n a u n a =< （2）2()(),||1n x n a u n a =-> （3）||3, ||()0, n a n M x n n ?≤=? ?为其他 （4）4()(3),||1n x n a u n a =+< （5）50 1 ()()(3)4n m x n n m δ∞ == -∑ （6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ???? =????????

14、 设()x n 是一有限长序列，已知 1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0, n x n n --=?=? ?为其他 它的离散傅里叶变换为()j X e ω 。不具体计算()j X e ω ，试直接确定下列表达式的值。 （1）0 ()j X e （2）()j X e π （3）()j X e d π ωπ ω- ? （4） 2|()|j X e d π ω πω- ? （5）2 ()| |j dX e d d ωπ πωω -? 15、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,||()0, n N x n n ≤?=? ?为其他 （2）21||/,||()0, n N n N x n n -≤?=? ?为其他 （3）3cos(),||()20, n n N x n N n π?≤? =???为其他 6、证明：若()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而 1(), ()0, n n x x n k k ??=???为整数 其他 则1()()j j X e X e ωω =。 7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为 1 ()(2)1j j l X e l e ω ω πδωπ∞ -=-∞ =+--∑ 8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω 表示其

实验2 离散时间傅里叶变换

电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理：

1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：

MATLAB的离散傅里叶变换的仿真

应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波 设计目的 要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。 一、设计要求 1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图； 2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明； 3、绘制三种信号的均方根图谱； 4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 二、系统原理 用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。 x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为： N?1?2?kn)(nx j?W W NN e?0?n N X(k)=DFT[x(n)]=,k=0,1,...,N-1N?11?kn?)(WXk N N0?n x(n) =IDFT[X(k)]= 逆变换：,k=0,1,...,N-1 但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFFT对信号进行谱分析。 三、程序设计 fs=input('please input the fs:');%设定采样频率 N=input('please input the N:');%设定数据长度 t=0:0.001:1; f=100;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号 x=sin(2*pi*f*t); figure(1); subplot(211); plot(t,x);%作正弦信号的时域波形 axis([0,0.1,-1,1]); title('正弦信号时域波形'); z=square(50*t); subplot(212) plot(t,z) axis([0,1,-2,2]); title('方波信号时域波形');grid;

数字信号处理 离散傅里叶变换的性质及应用

数字信号处理实验 题目：离散傅里叶变换的性质及应用 学院： 专业： 学生姓名：班级/学号 指导老师： 一、实验目的 1．了解DFT的性质及其应用 2．熟悉MATLAB编程特点 二、实验仪器及材料 计算机，MATLAB软件

三、实验内容及要求 1．用三种不同的DFT 程序计算8()()x n R n =的256点离散傅里叶变换()X k ，并比较三种程序计算机运行时间。 （1）编制用for loop 语句的M 函数文件dft1.m ，用循环变量逐点计算()X k ； （2）编写用MATLAB 矩阵运算的M 函数文件dft2.m ，完成下列矩阵运算： 000 0121 012(1) (1)(1) (0)(0) (1)(1) (1)(1) N N N N N N N N N N N N N N N N N X x W W W W X x W W W W x N X N W W W W -----?????? ????????????=???????????? --???????????? （3）调用fft 库函数，直接计算()X k ； （4）分别调用上述三种不同方式编写的DFT 程序计算序列()x n 的离散傅里叶变换 ()X k ，并画出相应的幅频和相频特性，再比较各个程序的计算机运行时 间。 M 函数文件如下： dft1.m: function[Am,pha]=dft1(x) N=length(x); w=exp(-j*2*pi/N); for k=1:N sum=0; for n=1:N sum=sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1)); end Am(k)=abs(sum); pha(k)=angle(sum); end dft2.m: function[Am,pha]=dft2(x) N=length(x); n=[0:N-1];

离散傅里叶变换

第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换

对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反

*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反

用Matlab对信号进行傅里叶变换实例

目录 用Matlab对信号进行傅里叶变换 (2) Matlab的傅里叶变换实例 (5) Matlab方波傅立叶变换画出频谱图 (7)

用Matlab对信号进行傅里叶变换 1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 代码： 1 N=8; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去） 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信号(指数信号)'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT变换') 结果： 分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。 2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)

与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对 结果图：

分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。 3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform） 虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。 实现代码： 1 N=64; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 Xk=fft(xn,N); 5 subplot(221); 6 stem(n,xn); 7 title('原信号'); 8 subplot(212); 9 stem(n,abs(Xk)); 10 title('FFT变换') 效果图： 分析：由图可见，fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。

连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系

连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系 对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)： ()()()sin 2')s n x t x nT c B t n = -∑ (1) 证明： 抽样采用理想冲击脉冲串：()()s T s t t nT δδ= -∑ ()()()s s T x t x t t δ= ()()s s n x nT t nT δ= -∑ (2) 其中2B'=1/T s 。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为： 1()()s k s s k X f X f f T T δ?? =* - ??? ∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。于是得到 ()1s k s s k X f X f T T ??= - ?? ?∑ s k s k f X f T ?? =- ?? ?∑ (4) 即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周 期为1/T s 。其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。 在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=( )2' f B ∏，它对应的时域单位冲激响应函数

参考文献(第三章离散时间信号的傅里叶变换)

参考文献（第三章离散时间信号的傅里叶变换） （来自：胡广书, 数字信号处理导论. 北京: 清华大学出版社, 2005年第1版, 2010年1月第6次印刷.） [1] Oppenheim A V, Schafer R. Discrete-time signal processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989. [2] Oppenheim A V, Willsky A S, Young I t. Signals and systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1983. [3] Bracewell R N. The Fourier transform and its applications (2nd ed.). New York: McGraw-Hill, 1986. [4] Proakis J G, Manolakis D G. Introduction to digital signal processing. New York: Macmillan publishing company, 1988. [5] Roberts R A, Mullis C T. Digital signal processing. Reading, MA: Addison-Wesley publishing company, 1987. [6] Sophocles J G. Introduction to signal processing. Prentice-Hall, 1996; 清华大学出版社, 1999（影印）. [7] Brigham E O. The fast Fourier transform and its applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1988. [8] Papoulis A. Signal analysis. New York: McGraw-Hall, 1977. [9] Marple S L. Digital spectral analysis with applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1987. [10] Dudgeon D E, Mersereau R M. Mulidimensional digital signal processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1983. [11] Lim J S. Two-dimensional digital signal processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989. [12] Sanjit K. Digital signal processing: A computer-based approach (2nd ed.). New York: McGraw-Hill, 2001. [13] 郑君里等. 信号与系统. 北京: 人民教育出版社, 1981. [14] 胡广书. 数字信号处理----理论、算法与实现（第二版）. 清华大学出版社, 2003.

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

实验报告 课程名称：信号分析与处理 指导老师 成绩： 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 同组学生姓名： 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1. 掌握DFT 的原理和实现 2. 掌握FFT 的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 二、实验内容和原理 2.1 DTFT 和DFT 序列x (n )的离散事件傅里叶变换（DTFT ）表示为：n j n j e n x e X Ω-∞ -∞ =Ω ∑= )()( ， 如果x (n )为因果有限长序列，n =0,1,...,N-1，则x (n )的DTFT 表示为：n j N n j e n x e X Ω--=Ω ∑=1 )()( ， x(n)的离散傅里叶变换（DFT ）表达式为：)1,...,1,0()()(21 -== --=∑N k e n x k X nk N j N n π ， 序列的N 点DFT 是DTFT 在 [0,2π]上的N 点等间隔采样，采样间隔为2π/N 。通过DFT ，可以完成由一组有限个信号采样值x (n )直接计算得到一组有限个频谱采样值X (k )。X (k )的幅度谱为)()()(22k X k X k X I R +=，X R (k)和X I (k)分别为X(k)的实部和虚部。X (k )的相位谱 为) () (arctan )(k X k X k R I =?。

离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为)1,...,1,0()(1 )(21 -== ∑-=N n e k X N n x nk N j N n π 。 2.2 FFT 快速傅里叶变换（FFT ）是DFT 的快速算法，它减少了DFT 的运算量，使数字信号的处理速度大大提高。 三、主要仪器设备 PC 一台，matlab 软件 四、实验内容 4.1第一题 求有限长离散时间信号x (n )的离散时间．．傅里叶变换（DTFT ）X (e j Ω )并绘图。 （1）已知?? ?≤≤-=其他 0221)(n n x ；（2）已知1002 )(≤≤=n n x n 。 4.1.1理论分析 1) 由DTFT 计算式， ()25 2.5 2.52 0.50.52 e 1e e e sin(2.5) ()()e e 1e e e sin(0.5) j j j j j n j n j j j n n X x n Ω-ΩΩ-Ω+∞ -Ω-Ω-Ω Ω-Ω=-∞ =---ΩΩ= = = == --Ω∑∑ X （Ω）是实数，可以直接作出它的图像。

离散序列傅里叶变换习题

1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=- （2）211 ()(1)()(1)22 x n n n n δδδ= +++- （3）3()(),01n x n a u n a =<< （4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 2、 设()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求 下列各序列的离散时间傅里叶变换。 （1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2()()g n x n = （7）(), ()2 0, n x n g n n ??=???为偶数为奇数 3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(),||1n x n a u n a =< （2）2()(),||1n x n a u n a =-> （3）||3, ||()0, n a n M x n n ?≤=? ?为其他 （4）4()(3),||1n x n a u n a =+< （5）50 1()()(3)4n m x n n m δ∞ == -∑ （6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ???? =????????

4、 设()x n 是一有限长序列，已知 1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0, n x n n --=?=? ?为其他 它的离散傅里叶变换为()j X e ω 。不具体计算()j X e ω ，试直接确定下列表达式的值。 （1）0 ()j X e （2）()j X e π （3）()j X e d π ωπ ω- ? （4） 2|()|j X e d π ωπ ω- ? （5）2 ()| |j dX e d d ωπ πωω -? 5、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,||()0, n N x n n ≤?=? ?为其他 （2）21||/,||()0, n N n N x n n -≤?=? ?为其他 （3）3cos( ),||()20, n n N x n N n π? ≤?=???为其他 6、证明：若()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而 1(), ()0, n n x x n k k ??=???为整数 其他 则1()()j j X e X e ωω =。 7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为 1 ()(2)1j j l X e l e ω ωπδωπ∞ -=-∞ =+--∑ 8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω 表示其 他序列的离散时间傅里叶变换。

离散时间傅里叶变换

1、DTFT是离散时间傅里叶变换，DFT是离散傅里叶变换。 2、DTFT变换后的图形中的频率是一般连续的（cos(wn)等这样的特殊函数除外，其变换后是冲击串)，而DFT是DTFT的等间隔抽样，是离散的点。从表示中可以看出，其函数表示为X(k）,而DTFT的函数表示为X(exp(jw))。（这里主要突出DFT是DTFT的等间隔抽样，DTFT变化后的频率响应一般是连续的，DFT变换后的频率响应是离散的） 3、DTFT是以2pi为周期的。而DFT的序列X(k）是有限长的。 4、DTFT是以复指数序列{exp（-jwn）}的加权和来表示的，而DFT是等间隔抽样，既然是等间隔，那么间隔是多少呢？DFT里面有个重要的参数就是N，我们一般都会说，多少点DFT运算，这个点就是N(离散序列的长度)，抽样间隔就是将单位元分成N个间隔来抽样，绕圆一周，（2*pi）/N是间隔（这个应该很明显吧，一个圆周是2*pi，分成N个等分，就像我们生日的时候切蛋糕一样）。 5、DTFT和DFT都能表征原序列的信息。因为现在计算主要使用计算机，必需要是离散的值才能参与运算，因此在工程中DFT应用比较广泛，DFT还有一个快速算法，那就是FFT。 基本上你答了上面的5点，面试官至少会对你刮目相看的。因为很多人对概念是很模糊的。 快速傅立叶变换（The Fast Fourier Transform,FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）的一种快速算法，它是库利（Cooley）和图基（Tukey）于1965年提出的。FFT使DFT的次数由N^2减少到Nlog2(N)次，使DFT应用于实际变为现实，使DFT进一步得到完善。1976年，S.Winograd等人提出一种新算法：Winograd快速变换（Winograd Fast Fourier Transform Algorithm），该算法是基于中国剩余定理提出的，比FFT的运算速度更快。 因我也知之深浅，只作下面三点说明： 1.FFT是通过DFT运算中存在对称性和周期性而做的化简。 2.FFT可以通过对时间参量或者频率参量不断分解为奇偶表达式，再做进一步改进，分别称为时间抽取法和频率抽取法。 3.matlab给出的FFT介绍实际是DFT的表达式，未作DFT向FFT的简化过程说明，但计算过程内核是FFT。（N=1024时FFT比DFT快一百多倍） 对于一般的周期信号可以用一系列（有限个或者无穷多了）正弦波的叠加来表示。这些正弦波的频率都是某一个特定频率的倍数如5hz、2*5hz、3*5hz……（其中的5hz叫基频）。这是傅立叶级数的思想。所以说周期信号的频率是离散的。而且，对于周期信号有一个特点，信号的周期越长，信号的基频越小。 非周期信号可以看作周期无穷大的周期信号，那么它的基频就是无穷小，这样它的频率组成就编程了连续的了。求这个连续频率的谱线的过程就是傅立叶变换。包括这样几种： DTFT（时间离散，频率连续）