第4章 曲线运动复习

第四章：曲线运动

★命题规律

本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。

从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的研究方法——运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动；万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息与现代科技发展密切联系是高考命题的热点。例如2008全国I第17题，山东基本能力第32题，全国II第25题，广东单科第12题考查了万有引力定律的应用，2005年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷以及北京理综、广东物理均考查了人造卫星在万有引力作用下的圆周运动问题。再如2006全国I卷、江苏物理、天津理综、重庆理综、广东物理均考查了人造卫星及万有引力定律在天体运动中的应用问题。

预计在今后的高考中平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度和向心加速度仍是高考的热点。与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向，特别是神舟系列飞船的发射成功、探月计划的实施，更会结合万有引力进行命题。

★复习策略

在本专题内容的复习中，一定要多与万有引力、天体运动、电磁场等知识进行综合，以便开阔视野，提高自己分析综合能力。

1．在复习具体内容时，应侧重曲线运动分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运动。如平抛运动就是将曲线运动转化为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动再进行处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和重点。就圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往与机械能守恒结合在一起命题。在有关圆周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的基本方法，也是学生学习中的难点和薄弱环节。

2．天体问题中，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表达式也比较多，容易导致混乱。所以要求在处理天体问题时，明确列式时依据的物理关系（一般是牢牢抓住万有引力提供向心力），技巧性地选择适当的公式，才能正确、简便地处理问题。

3．万有引力定律还有一个重要的应用就是估算天体的质量或平均密度。问题的核心在于：（1）研究一天体绕待测天体的圆周运动。（2）二者之间的万有引力提供向心力。

4．万有引力定律是力学中一个独立的基本定律，它也是牛顿运动定律应用的一个延伸，学习本部分内容要具有丰富的空间想象建模能力以及学科间的综合能力。

1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能判断物体是否做匀速圆周运动。

2、记住匀速圆周运动的v、ω、T、f、a、向心力等运动学公式。

3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（与牛顿第二定律解题思中相同）。

4、掌握几种情景中的圆周运动：

①重力场中竖直面内圆周运动（注意临界条件）。

②天体的匀速圆周运动。

③点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。

④带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（注意有界磁场中的圆周运动的特点和解法）。

⑤复合场中的圆周运动。

第一模块：曲线运动、运动的合成和分解

『夯实基础知识』

■考点一、曲线运动

1、定义：运动轨迹为曲线的运动。

2、物体做曲线运动的方向：

做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。

3、曲线运动的性质

由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。

4、物体做曲线运动的条件

（1）物体做一般曲线运动的条件

物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。

（2）物体做平抛运动的条件

物体只受重力，初速度方向为水平方向。

可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。

（3）物体做圆周运动的条件

物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）

总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。

5、分类

⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。

⑵非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。

■考点二、运动的合成与分解

1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。

2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

3、合运动与分运动的关系：

⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；

⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。

⑷运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）

4、运动的性质和轨迹

⑴物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

⑵物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

常见的类型有：

（1）a=0：匀速直线运动或静止。

（2）a 恒定：性质为匀变速运动，分为： ① v 、a 同向，匀加速直线运动； ②v 、a 反向，匀减速直线运动；

③v 、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v 、a 之间，和速度v 的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。） （3）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。 具体如：

①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。

②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。

③两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。

『题型解析』

【例题】（1991年上海高考题）如图所示，物体在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由Ｆ变为－Ｆ。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ A 、B 、D ）

A ．物体不可能沿曲线Ｂa 运动

B ．物体不可能沿直线Ｂb 运动

C ．物体不可能沿曲线Ｂc 运动

D ．物体不可能沿原曲线由Ｂ返回A

【例题】质量为m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F 1时，物体可能做( ) A ．匀加速直线运动； B ．匀减速直线运动； C ．匀变速曲线运动； D ．变加速曲线运动。

★解析：当撤去F 1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F 1，方向与F 1方向相反。 若物体原来静止，物体一定做与F 1相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若F 1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A 、B 正确。

若F 1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C 正确，D 错误。

正确答案为：A 、B 、C 。

【例题】我国“嫦娥一号”探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在2007年10月24日晚6点

05分发射升空。如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M 点向N 点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（ ）

A

B

a b

★解析：C 卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向与速度方向间的夹角大于90，由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向．故选C 。

【例题】质点仅在恒力F 的作用下，由O 点运动到A 点的轨迹如图所示，在A 点时速度的方向与x 轴平行，则恒力F 的方向可能沿（ ）

A ．x 轴正方向

B ．x 轴负方向

C ．y 轴正方向

D ．y 轴负方向

★解析：D 根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终的速度方向不与合外力方向平行，可知D 正确。

【例题】一个物体以初速度vo 从A 点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B 为轨迹上的一点，虚线是经过A 、B 两点并与轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是 ( )

A ．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域中

B ．如果这个力是引力，则施力物体可能在③区域中

C ．如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域中

D 。

如果这个力是斥力，则施力物体可能在⑤区域中

★解析：物体做曲线运动，一定受到与初速度v o 方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。是引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧(相互吸引，使运动向轨迹内侧弯曲)，是斥力时施力物体在轨迹弯曲的外侧(相互排斥，使物体运动向轨迹内侧弯曲)。

【答案】A C

【例题】如图所示，质量为m 的小球，用长为l 的不可伸长的细线挂在O 点，在O 点正下方

2

l

处有一光滑的钉子O ′。把小球拉到与钉子O ′在同一水平高度的位置，摆线被钉子拦住且张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点P 时（ ）

A ．小球的运动速度突然减小

B ．小球的角速度突然减小

C ．小球的向心加速度突然减小

D ．悬线的拉力突然减小

★解析：在通过位置P 前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为l 和2

l

，并且小球在通过P 点瞬间受到的重力和拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不改变。 答案：B 、C 、D

曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化），则为非匀变速运动。

例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g ；而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。

【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是（ A ） A ．曲线运动一定是变速运动 B ．曲线运动一定是变加速运动 C ．圆周运动一定是匀变速运动 D ．变力作用下的物体一定做曲线运动 【例题】物体做曲线运动时，其加速度（ ） A ．一定不等于零 B ．一定不变 C ．一定改变 D ．可能不变

★解析：AD 曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所以加速度一定不为零，A 正确；曲线运动中平抛运动和类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速圆周运动和多数的曲线运动加速度是改变的。

【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ） A ．速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变 B ．速度一定不断地改变，加速度可以不变 C ．速度可以不变，加速度一定不断地改变 D ．速度可以不变，加速度也可以不变

★解析：B 质点做曲线运动，则速度一定发生变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，所以，A 、C 、D 错误，只有B 项正确。

【例题】如图所示，一个劈形物体M 各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球m ，现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长）（ ）

a

b

c

A ．沿斜面向下的直线

B ．竖直向下的直线

C ．无规则曲线

D ．抛物线

★解析：B 小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做竖直向下的直线运动，所以B 正确．

【例题】如图所示，A 、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ A ）

A．A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用

B．B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游

C．A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游

D．都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游

★解析：游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选A。

【例题】如图为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4四个喷气发动机，P1、P3的连钱与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动．开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动．要使探测器改为向正x偏负y 60o的方向以原来的速率v0平动，则可

P2P1

P3

P4

A．先开动P1适当时间，再开动P4适当时间

B．先开动P3适当时间，再开动P2适当时间

C．开动P4适当时间

D．先开动P3适当时间，再开动P4适当时间

★解析：选A．在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即“向正x偏y60o的方向以原来的速率v0平动”为合运动，x轴、y轴方向上的运动为分运动．据平行四边形定则，由右图可得，u x

【例题】一质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度（）

A．若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速

B．若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速

C．若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速

D．若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速

★解析：BD 从轨迹图可知，若x方向始终匀速，开始所受合力沿－y方向，后来沿＋y方向，如图所示，可以看出应是先减速后加速，故A错，B正确；若y方向匀速，则受力先沿＋x方向，后沿－x方向，如图所示，故先加速后减速，所以C错，D正确．

方法一：根据加速度与初速度的方向关系判断

先求出合运动的初速度和加速度（可以用作图法求），再判断。可以发现，当2

1

0201a a v v =

时，合运动为直线运动，否则为曲线运动。

方法二：通过两个分位移的比例关系来判断

作为一般性讨论，我们可以设两个分运动的规律分别为：

2110121

t a t v s +=，

222022

1

t a t v s +=

令：2

2202

1102

12

121t a t v t a t v s s k ++==

根据数学知识可以判断出，若k 为一常数（即当

2

1

2010a a v v =

或02010==v v 或021==a a 时），则表明物体沿直线运动；若k 为时间t 的函数（当

2

1

0201a a v v ≠

时），则表明物体将做曲线运动。 如在平抛运动中，v y0=0，a x =0，a y =g ，所以0

2x v gt

k =，即k 是时间t 的函数，且随时间的延续而变大，所以合运动的轨迹应是越来越陡的曲线。

【例题】关于运动的合成，下列说法中正确的是（ C ） A ．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大 B ．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C ．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D ．合运动的两个分运动的时间不一定相等

【例题】关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是 A ．一定是直线运动 B ．一定是曲线运动

C ．可能是直线运动，也可能是曲线运动

D ．以上都不对

★解析：两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，决定于它们的合速度和合加速度方向是

否共线（如图所示）。当a 和v 重合时，物体做直线运动，当a 和v 不重合时，物体做曲线运动，由于题设数值不确定，以上两种均有可能。答案选C

【例题】互成角度(0,180)ααα≠≠的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动（ ） A ．有可能是直线运动 B ．一定是曲线运动 C ．有可能是匀速运动 D ．一定是匀变速运动

★解析：BD 互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，是匀变速，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B 、 D 。

轮船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θ

υυsin 1

船d

d

t =

=

，显然，当?

=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为v

d

，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ>

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船

水

υυθ=

cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水

船v v =

θcos 船头

v

与河岸的夹角应为

水

船v v arccos

=θ，船沿河漂下的最短距离为：

θ

θsin )cos (min 船船水v d

v v x ?

-=

此时渡河的最短位移：船

水v dv d

s =

=θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

s s d

t 2030

60

2

==

=

υ (2)渡河航程最短有两种情况：

①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；

②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2

设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则

2

1

63cos 12===

υυθ， 60=θ 最短行程，m m d s 1202

660

cos ===

θ 小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m 。

技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。

【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( C ) A ．

21

222

υ

υυ-d B ．0 C ．

2

1

υυd D ．

1

2

υυd

★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间t=

2

v d

；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离2

1

1v dv t v s =

=。答案：C 【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A)

2

1222T T T - (B)

12

T T (C) 2

2211T T T - (D)

2

1

T T ★解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知 ： 1

1v d

T =

① 当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则22

21

2v

v d T -=

②

联立①②式可得：1

2

22121v v v T T -= ，进一步得 21

222

21T T T v v -=

【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d

v k kx v 0

4==，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ A ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸

2

d

处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线

D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。 合速度方向：物体实际运动方向

分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）

垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动

速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。 这类问题也叫做：斜拉船的问题——有转动分速度的问题

【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

★解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及

2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图所示，由此可得

θ

θcos cos 01

v v v A ==

。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有θcos x L ?=?，两边同除以△t 得：θcos t

x

t L ??=?? 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：

θ

cos 0

v v A =

总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为θcos 2A Fv P =，因为21P P =所以θ

cos 0

v v A =

。 评点：①在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出θcos 0v v A =的错误结果；②当物体A

向左移动，θ将逐渐变大，A v 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。

总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。 【例题】如图所示，在高为H 的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C ，由地面上的人以均匀的速度v 0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A 处向右行走距离s 到达B 处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？

★解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。

[全解]设人运动到B 点时，绳与地面的夹角为θ。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：θcos 0v 。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为

2

2

00cos h

s s v v v +=

=θ。

物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，

h h s h s

d -+=-=22cos θ

。

答案：2

20h s s v v +=

，h h s d -+=

22

[小结]分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动

【例题】如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？

★解析：方法一：虚拟重物M 在Δt 时间内从A 移过Δh 到达Ｃ的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴O 点做圆周运动到B ，位移为Δs 1，然后将绳拉过Δs 2到C ．

若Δt 很小趋近于0，那么Δφ→0，则Δs 1＝0，又OA ＝OB ， 90)180(2

1

→?-=∠φOBA ． 亦即Δs 1近似⊥Δs 2，故应有：Δs 2＝Δh ·cos θ

因为θυθ

υcos cos 2'=??=??=

t

h t S 所以v ′＝v ·cos θ

方法二：重物M 的速度v 的方向是合运动的速度方向，这个v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺

时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v ′运动，如图（2）所示，由图可知，v ′＝v ·cos θ． 【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为B A v v ,，则（ BD ）

A 、

B A v v = B 、B A v v >

C 、B A v v <

D 、重物B 的速度逐渐增大

【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B （可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A 球沿槽下滑的速度为V A ，求此时B 球的速度V B ？

★解析：A 球以V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为V A1；一个使杆绕B 点转动的分运动，设其速度为V A2。而B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为V B ，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为V B1，V B1=V A1；一个使杆摆动的分运动设其速度为V B2；

由图可知：ααcos sin 11A A B B V V V V ===

αcot ?=A B V V

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

【例题】一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

★解析：设竖直杆运动的速度为V 1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP 方向，所以V 0、V 1在OP 方向的投影相等，即有θθcos sin 10V V =，解得 V 1=V 0。tanθ

【例题】一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为

M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）。

★解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点。 （不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显）。因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=vsin θ。 设此时OB 长度为a ，则a=h/sin θ。 令棒绕O 点转动角速度为ω，则： ω=v 2/a=vsin 2θ/h 。

故A 的线速度v A =ωL =vLsin 2θ/h 。

第二模块：平抛运动

『夯实基础知识』 平抛运动

1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。

2、条件：

a 、只受重力；

b 、初速度与重力垂直．

3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。g a =

4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．

5、平抛运动的规律

①水平速度：v x =v 0，竖直速度：v y =gt 合速度（实际速度）的大小：2

2y x v v v +=

物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为：

tan v gt

v v x

y =

=

α ②水平位移：t v x 0=，竖直位移22

1gt y = 合位移（实际位移）的大小：22y x s +=

物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为：

2tan v gt

x y =

=

θ 可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。 而且θαtan 2tan =而θα2≠ 轨迹方程：由t v x 0=和221gt y =消去t 得到：2

20

2x v g y =。可见平抛运动的轨迹为抛物线。 6、平抛运动的几个结论

①落地时间由竖直方向分运动决定： 由221gt h =

得：g

h

t 2= ②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：

g

h

v t v x 20

0== ③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角θa 的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。

④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：2

21tan 20x s s gt v gt =?==α ⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv ＝gΔt ，方向恒为竖直向下（与g 同向）。任意相同时间内的

Δv 都相同（包括大小、方向），如右图。

V

V

V

⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）

如右图：所以θtan 20g

v t =

)tan(v gt

v v a x

y =

=

+θ 所以θθtan 2)tan(=+a ，θ为定值故a 也是定值与速度无关。

⑦速度v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，θtan 变大，↑θ，速度v 与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。

⑧从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。 7、平抛运动的实验探究

①如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A 球沿水平方向抛出，同时B 球松开，自由下落，A 、B 两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A 在竖直方向上的运动为自由落体运动。

②如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A 、B 两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A 、B 两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动。

8、类平抛运动

（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。 2、类平抛运动的受力特点：

物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 3、类平抛运动的处理方法：

在初速度0v 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度F a m

=

合

。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线规律来处理。

『题型解析』

1．常规题的解法

【例题】如图所示，某滑板爱好者在离地h = 1.8 m 高的平台上滑行，水平离开A 点后落在水平地面的B 点，其水平位移1

S = 3 m 。着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v =4 m/s ，并以此为初速沿水平地面滑行2S =8 m 后停止，已知人与滑板的总质量m =60 kg 。求：

（1）人与滑板离开平台时的水平初速度。

（2）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小。（空气阻力忽略不计，g 取102

m/s )

★解析：（1）人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为0v ，飞行时间为t ，

根据平抛运动规律有t =

10S v t =

解得05m/s v =

==

（2）设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为f ，根据动能定理有22102

fS mv -=-

解得22

2604N 60N 228mv f S ?===?

本题主要考查的知识点是动能定理和平抛运动的规律。滑行者共参与了两个运动：在A →B 段做的是平抛运动；在B →C 段做的是匀减速运动．由动能定理可求出平均阻力，而根据平抛运动的规律可求出人离开平台时的速度 【例题】如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A 与竖直墙壁成530角，飞镖B 与竖直墙壁成370角，两者相距为d ，假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离?(sin370=0.6，cos370＝0.8)

★解析：设射出点离墙壁的水平距离为s ，A 下降的高度h 1，B 下降的高度h 2，根据平抛运动规律可知：（根据反向沿长线是中点）

?=

53tan 21s h ?

=37tan 22s

h

答案：724d

s =

知识链接：本题的关键是理解箭头指向的含义——箭头指向代表这一时刻速度的方向，而不是平抛物体的位移方向。理解两个重要的推论：

推论1：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tanα

推论2：做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 【例题】如图所示，排球场总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员站在网前3m 处正对球网跳起将球水平击出。

(1)若击球高度为2.5m ，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围； (2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？ ★解析：(1)排球被水平击出后，做平抛运动 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：

s s g h t 2

1

105.22201=?==

由此得排球越界的临界速度

s m s m t x v /212/2

/112111===

。 若球恰好触网，则球在网上方运动的时间:

s s g H h t 10

1

10)25.2(2)(202=-?=-=

。

由此得排球触网的临界击球速度值

s m s m t s v /103/10

/13222===

。 使排球既不触网又不越界，水平击球速度v 的取值范围为: s m v s m /212/103≤<。

(2)设击球点的高度为h ，当h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有

:

12x g h =υ

2)(2x g

H h =-υ m m x x H h 15

32

)123(12)

(1221

2=-=-=

。 即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网

【例题】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网

高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。（设重力加速度为g ）

（1）若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出，落在球台的P 1点（如图实线所示），求P 1点距O 点的距离x 1。

（2）若球在O 点正上方以速度v 2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P 2点（如图虚线所示），求v 2的大小。

（3）若球在O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3处，求发球点距O 点的高度。 ★解析：

(1)设发球时飞行时间为t 1，根据平抛运动

2

1112

h gt =

① 111x v t = ②

解得

1x v = ③ (2)水平三段应是对称的

则2

22L

g h =υ 解得h g L 222=

υ （3）

3223L

g h =

υ

3

2)(23L

L g h h -

=-υ

3

43h h =

点评：（本题主要是对图的理解）

【例题】一位同学将一足球从楼梯顶部以s m v /20=的速度踢出（忽略空气阻力），若所有台阶都是高0.2m ， 宽0.25m ，问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上？

★解析：所有台阶的棱角都在同一斜面上，取小球的轨迹与这个斜面的交点为P ，此过程小球的水平位移为x ，竖直位移为y ，则：由几何知识可得：

2

.025.0tan 2102==αt v gt

由以上各式得s t 32.0=，m x 64.0=

6.225

.0==

x

n ∵2

【例题】如图所示，以水平初速度0v 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为θ的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。