2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—9.解析几何

新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编

9．解析几何（含解析）

一、选择题

【2017，5】已知F 是双曲线2

2

:13

y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ?的面积为（ ）

A ．

13 B ．12 C ．23 D ．32

【解法】选D ．由2

2

2

4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2

2

13

y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为13

3(21)22

??-=，选D ．

【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：22

13x y m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°

，则m 的取值范围是( )

A ．(0,1][9,)+∞

B ．[9,)+∞

C ．(0,1][4,)+∞

D ．[4,)+∞

【解法】选A ．

图 1 图 2

解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．

1．当03m <<时，如图1，0tan

tan 602AEB a b ∠==≥=1m ≤，故01m <≤；

2． 当3m >时，如图2，0tan

tan 602AEB a b ∠==≥=9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞ ，故选A ．

解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．

1．当03m <<时，如图1，01

cos ,cos1202EA EB ≤=- ，即12EA EB EA EB

?≤-

，

带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；

2． 当3m >时，如图2，01

cos ,cos1202EA EB ≤=- ，即12EA EB EA EB

?≤-

，

带入向量坐标，解得9m ≥．

综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞ ，故选A ．

【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4

，则该椭圆的离心率为（ ）

A ．13

B ．

12 C ．23

D ．

3

4

解析：选B ． 由等面积法可得

1112224bc a b ?=???，故1

2

c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为

1

2

，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为

22

11612

x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=

05

4

x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=0015

44

x x +

=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13

2

22>=-

a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．

26 C ．2

5 D ．1

解：2c e a ====，解得a=1，故选D

【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2

，则C 的渐近线方程为( )．

A ．y ＝14x ±

B ．y ＝13x ±

C ．y ＝1

2

x ± D ．y ＝±x

解析：选C ．∵e =c a =2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2

，∴2214b a =．∴12b a =．

∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为1

2

y x =±．故选C ．

【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝POF

的面积为( )．

A ．2

B ．

C ．

D ．4 答案：C

解析：利用|PF |＝P x =x P ＝y P ＝±S △POF ＝1

2

|OF |·|y P |＝ 故选C ．

【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b

+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a

x =上一点，

21F PF ?是底角为30°

的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．

12 B ．2

3 C ．3

4 D ．45

【解析】如图所示，21F PF ?是等腰三角形，

212130F F P F PF ∠=∠=?，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=?，230F PQ ∠=?，2||F Q c =，

又23||2a F Q c =

-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此3

4

c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，

C 与抛物线2

16y x =的准线交于A ，B 两点，

||AB =，则C 的实轴长为（ ）

A B ．

C ．4

D ．8

【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a

-=，即222

x y a -=（0a >），

抛物线2

16y x =的准线方程为4x =-，联立方程222

4

x y a x ?-=?=-?，解得22

16y a =-，

因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，2

4a =，

2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．

【2011，4】椭圆

22

1168

x y +=的离心率为（ ）

A ．

13 B ．12 C

．3 D

．2

【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=

，所以42

c e a ===． 【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为

C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）．

A ．18

B ．24

C ．36

D ．48

【解析】不妨设抛物线的标准方程为()2

20y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为

2

p

x =

．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1

612362ABP S =??=△．故选C ．

二、填空题

【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B

两点，若AB =C 的面积为 ．

解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2

22

2x y a a +-=+，

所以圆心到直线的距离d =，所以

AB

=

==， 故2

2

24a r +==，所以2

4S r =π=π．故填4π．

【2015，16】已知F 是双曲线C :2

2

1

8

y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为

．

解： a =1，b 2=8，? c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|P A |+|PF |+|AF |=|P A |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|P A |+|PF

1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A

，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为

13x +=-，

联立8x 2

-y 2=8消去x 整理得y 2

+y -96=0，解得y

=y =-(舍去)，此时

S ΔAPF =S Δ

AFF 1-S ΔPFF

13=?=

三、解答题

【2017，20】设A ，B 为曲线C ：4

2

x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．

（1）求直线AB 的斜率；

（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4

/2

11x y = ①

4

/2

22x y = ②

②-①得2221122121()()44

x x x x x x y y -+--==

由已知条件124x x += 所以，2121

1y y

x x -=-即直线AB 的斜率k=1．

【解法2】设 ),(),,(2

211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以???=+=4/2x y b kx y

整理得：

,

4,044212k x x b kx x =+∴=--且42

1=+x x 所以k=1

第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =

所以0001

1,2,12

k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =

即05)()(22

1212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，

,4/2

?

??=+=x y b

x y

化简得0442=--b x x ，所以

2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-= 由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7

【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．

（1）求

OH ON

；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．

解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ?? ???，2,N t t p ??

???

，

从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x t

y px y ?==?

???

，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ?? ???，从而由三角形相似可知22H N OH y t

ON y t ===．

（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ??

???

，可得直线MH 的方程为22t

y t x t p

-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程2

22202ty y px t px

--==?????，整理得22

440ty y t -+=，

则22

16160t t ?=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．

【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)

OM ON ?=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离

1d =<.

k <. 所以k

的取值范围是. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.

设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则12122

24(1)7

,.11

k x x x x k k ++==++ 所以

OM ON ?=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1

24(+1)8+1

k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1.

故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.

【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2

(左顶点

除外)，其方程为22

=143

x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，

所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |

＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1

||||QP R

QM r =，可求得

Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．

由l 与圆M

＝1，解得k

＝4

±

当k

＝4

时，将4y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2

＝

47

-±， 所以|AB |

|x 2－x 1|＝18

7

.

当k

＝4

-|AB |＝187.

综上，|AB |

＝|AB |＝18

7

.

【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；

（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到m ，n 距离的比值。 【解析】

（1）若∠BFD =90°，则△BFD 为等腰直角三角形，

且|BD|=2p ，圆F

的半径||r FA ==， 又根据抛物线的定义可得点A 到准线l 的距离

||d FA ==。

因为△ABD 的面积为24，

所以

1||2BD d ??=

1

22

p ?= 所以2

4p =，由0>p ，解得2p =。 从而抛物线C 的方程为2

4x y =，

圆F 的圆心F （0，1）

，半径||r FA == 因此圆F 的方程为2

2

(1)8x y +-=。 （2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 则AB 为圆F 的直径，∠ADB=90°，

根据抛物线的定义，得

1

||||||

2

AD FA AB

==，所以30

ABD

∠=?，从而直线m

的斜率为

3

或

3

-。

当直线m的斜率

为

3

时，直线m的方程

为

32

p

y x

=+，原点O到直线m的距

离1

p

d=。

依题意设直线n

的方程为y x b

=+

，联立

2

3

2

y x b

x py

?

=+

?

?

?=

?

，得220

x px pb

-=，因为直线n与C只有一个公共点，所以

2

4

80

3

p

pb

?=+=，从而

6

p

b=-。

所以直线n

的方程为

6

p

y x

=-，原点O到直线n

的距离

2

p

d=。

因此坐标原点到m，n距离的比值为1

2

23

6

p

d

p

d

==。

当直线m

的斜率为m，n距离的比值也为3。【2011，20】在平面直角坐标系xOy中，曲线261

y x x

=-+与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线0

x y a

-+=交于A，B两点，且OA OB

⊥，求a的值．【解析】（1）曲线261

y x x

=-+与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为

()

3,

+()

3-．故可设C的圆心为()

3,t，则有(

)(2

2

22

31

t t

+-=+，解得1

t=．则圆C

3

=，所以圆C的方程为()()2

2

319

x y

-+-=．

（2）设()

11

,

A x y，()

22

,

B x y，其坐标满足方程组

()()2

2

0,

319.

x y a

x y

-+=

??

?

-+-=

??

消去y，得方程()

22

228210

x a x a a

+-+-+=．

由已知可得，判别式2

561640a a ?=-->，因此()1,2

824

a x -=

，

从而124x x a +=-，21221

2

a a x x -+=． ①

由于OA OB ⊥，可得12120x x y y +=． 又11y x a =+，22y x a =+

所以212122()0x x a x x a +++=． ② 由①②得1a =-，满足0?>，故1a =-．