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21.3实际问题与一元二次方程课堂用习题2

21.3实际问题与一元二次方程课堂用习题2

1、有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)

2、如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,

所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为多少?

3、在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?

4、有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是

1、有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)

2、如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为

35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为多少?

3、在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?

4、有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是

1、有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)

2、如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为

35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为多少?

3、在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?

4、有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是

21.1一元二次方程教案.1一元二次方程教案.doc

21.1 一元二次方程 一、内容和内容解析 1.内容:一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式. 2.内容解析:一元二次方程是方程在一元一次方程基础上“次”的推广,同时它是解决诸多实际问题的需要,为勾股定理、相似等知识提供运算工具,是二次函数的基础.21 世纪教育网版权所有针对一系列实际问题,建立方程,引导学生观察这些方程的 共同特点,从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式.在这个过程中,通过归纳具 体方程的共同特点,得出一元二次方程的概念,体现了研究代数学问题的一般方法;一 般形式ax2+bx+c=0(a≠0)也是对具体方程从“元”(未知数的个数)、“次数”和“项 数”等角度进行归纳的结果;a≠0的条件是确保满足“二次”的要求,从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机. 二、目标和目标解析 1.教学目标 (1)体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型,初步理解一元二次方程的 概念. (2)了解一元二次方程的一般形式,会将一元二次方程化成一般形式. 2.目标解析 (1)通过建立一元方程解决相关的实际问题,让学生体会到未知数相乘导致方程的 次数升高,继而产生一元二次方程.学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景,感 受一元二次方程是重要的数学模型,体会到学习的必要性 (2)将不同形式的一元二次方程统一为一般形式,学生从数学符号的角度,体会概 括出数学模型的简洁和必要,针对“二次”规定a≠0的条件,完善一元二次方程的概念.学生能够将一元二次方程整理成一般形式,准确的说出方程的各项系数,并能确定简单的 字母系数方程为一元二次方程的条件. 三、教学问题诊断分析 一元二次方程是学生学习的第四个方程知识,首先在七年级学习了一元一次方程, 接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程,完成了二元一次方程组的学习,八年级 分式的教学,使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式,分式方程得以出现,到一元 二次方程第一次实现“次”的提升.学生必然存在着疑问,为什么有些背景列得的方 程是二次的呢?教学中要直面学生的疑问,显化学生的疑问,启发学生自己解释疑问, 才能避免“灌输”,体现知识存在的必要性,增强学好的信念. 培养建模思想,进一步提升数学符号语言的应用能力,让学生自己概括出一元二次 方程的概念,得出一般形式,对初三学生是必须的,也是适可的. 本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上,不能草草给出方程的概念就反复辨析练习,在概念的理解上要下功夫. 本课的教学难点是一元二次方程的概念. 四、教学过程设计 1.创设情境,引入新知 教师展示教科书本章的章前图,请同学们阅读章前问题,并回答: 问题1.这个方程属于我们学过的某一类方程吗? 师生活动:学生整理已经学过的方程类型,复习方程的概念,元与次的概念,观察新方程,分析此方程的元与次,尝试为新方程命名. 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型,体会学习的 必要性,在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识. 问题2.这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢?你能再想出一个例子吗?

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题 考试范围:一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x(x﹣2)=3x的解为() A.x=5 B.x1=0,x2=5 C.x1=2,x2=0 D.x1=0,x2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3x2﹣2x=3(x2﹣2)C.x3﹣2x﹣4=0 D.(x﹣ 1)2+1=0 3.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为() A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是() A.12(1+x)=17 B.17(1﹣x)=12 C.12(1+x)2=17 D.12+12(1+x)+12(1+x)2=17 5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是() A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为() A.x(x+12)=210 B.x(x﹣12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x﹣12)=210 7.一元二次方程x2+bx﹣2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是() A .有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大 C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰x12+x1x2+x22=2k2成立,k的值为() A.﹣1 B.或﹣1 C.D.﹣或1 9.一元二次方程ax2+bx+c=0中,若a>0,b<0,c<0,则这个方程根的情况是() A.有两个正根B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a﹣c≠0,以下列四个结论中,错误的是() A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根 B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是() A.7 B.11 C.12 D.16

韦达定理及其应用竞赛题(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根,则,。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系,称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1.求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a,b为实数,且,,求 的值。 思路注意a,b为方程的二实根;(隐含)。 解(1)当a=b时, ; (2)当时,由已知及根的定义可知,a,b分别是方程的两根,由韦达定理得 ,ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式,,等都可以用方程的系数表达出来。一般地,设,为方程的二根,,则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。

附加:本题还有一种最基本方法即分别解出a,b值进而求出所求多项式值,但计算量较大。 ★★★例2若,且,试求代数式 的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解,也可以借助于代数变形来完成。 解:因为,由根的定义知m,n为方程的二不等实根,再由韦达定理,得 , ∴ 2.构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 (1)试求以和为根的一元二次方程; (2)若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解(1)由韦达定理知 ,。 , 。 所以,所求方程为。 (2)由已知条件可得 解之可得由②得,分别讨论 (p,q)=(0,0),(1,0),(1-,0),(0,1),(2,1),(2-,1)或(0, 1-)。

第21章 一元二次方程

第二十一章 一元二次方程巩固练习题 姓名:__________ 一.选择题(共10小题) 1.方程(m ﹣1)x 2+2x +3=0是关于x 的一元二次方程,则( ) A .m ≠一1 B .m ≠1 C .m ≠2 D .m ≠3 2.方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A .6、2、5 B .2、﹣6、5 C .2、﹣6、﹣5 D .﹣2、6、5 3.关于x 的一元二次方程(a ﹣1)x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0,则a 的值为( ) A .1 B .﹣1 C .1或﹣1 D . 12 4.方程:x 2﹣25=0的解是( ) A .x =5 B .x =﹣5 C .x 1=﹣5,x 2=5 D .x =±25 5.一元二次方程x 2+6x ﹣5=0配方后变形正确的是( ) A .(x ﹣3)2=14 B .(x +3)2=4 C .21(6)2 x += D .(x +3)2=14 6.用公式法解方程4x 2﹣12x =3所得的解正确的是( ) A .32x -±= B .32x ±= C .32x -±= D .32x ±= 7.一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是( ) A .x 1=1,x 2=2 B .x 1=1,x 2=﹣2 C .x 1=﹣1,x 2=2 D .x 1=﹣1,x 2=﹣2 8.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根,则k 的值为( ) A .1 B .﹣1 C .2 D .﹣2 9.已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( ) A .m <﹣1 B .m >1 C .m <1且m ≠0 D .m >﹣1且m ≠0 10.广州亚运会的某纪念品原价188元,连续两次降价a %,后售价为118元,下列所列方程中正确的是( ) A .188(1+a %)2=118 B .188(1﹣a %)2=118 C .188(1﹣2a %)=118 D .188(1﹣a 2%)=118 二.填空题(共10小题) 11.已知关于x 的方程mx |m ﹣2|+2(m +1)x ﹣3=0是一元二次方程,则m = . 12.把一元二次方程3x (x ﹣2)=4化为一般形式是 . 13.方程(x ﹣1)2=1的解为 .

一元二次方程经典测试题(附答案解析)复习过程

一元二次方程测试题 考试范围: 一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x (x ﹣2)=3x 的解为( ) A .x=5 B .x 1=0,x 2=5 C .x 1=2,x 2=0 D .x 1=0,x 2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是( ) A .ax 2+bx+c=0 B .3x 2﹣2x=3(x 2﹣2) C .x 3﹣2x ﹣4=0 D .(x ﹣ 1)2+1=0 3.关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0,则a 的值为( ) A .﹣1 B .1 C .1或﹣1 D .3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x ,则下列方程中正确的是( ) A .12(1+x )=17 B .17(1﹣x )=12 C .12(1+x )2=17 D .12+12(1+x )+12(1+x )2=17 5.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8cm ,BC=6cm .动点P ,Q 分别从点A ,B 同时开始移动,点P 的速度为1cm/秒,点Q 的速度为2cm/秒,点Q 移动到点C 后停止,点P 也随之停止运动.下列 时间瞬间中,能使△PBQ 的面积为15cm 2的是( ) A .2秒钟 B .3秒钟 C .4秒钟 D .5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为( ) A .x (x+12)=210 B .x (x ﹣12)=210 C .2x+2(x+12)=210 D .2x+2(x ﹣12)=210 7.一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中,若b <0,则这个方程根的情况是( ) A .有两个正根 B .有一正根一负根且正根的绝对值大 C .有两个负根 D .有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x 1,x 2是方程x 2+x+k=0的两个实根,若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立,k 的值为( ) A .﹣1 B .或﹣1 C . D .﹣或1 9.一元二次方程ax 2+bx+c=0中,若a >0,b <0,c <0,则这个方程根的情况是( ) A .有两个正根 B .有两个负根 C .有一正根一负根且正根绝对值大 D .有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M :ax 2+bx+c=0;N :cx 2+bx+a=0,其中a ﹣c ≠0,以下列四个结论中,错误的是( ) A .如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根 B .如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同 C .如果5是方程M 的一个根,那么是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m ,n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是( ) A .7 B .11 C .12 D .16

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。

七年级数学一元一次方程竞赛题

七 年 级 数 学 竞 赛 姓名: 得分: 分×12=36) 1.下列说法正确的是( ) A .ax+b=0是关于x 的一元一次方程 B .若a+c=b+c,则a b d d = C .若关于x 的方程mx+n=0只有一个解,则m ≠0 D .若(x+y )(x-y)=0,则x=y 2.如果方程3x+1=4与关于x 的方程302 a x --=的解相同,则a 的值是( ) A .5 B .6 C .7 D .8 3.若x=3是方程1()13 m x -=的解,则关于x 的方程(1)51m x x m -=+-的解是( ) A .14 B .13 C .12 D .11 4.若a 与b 互为相反数,则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解是( ) A .1- B .1 C .1-或1 D .不能确定 5.某商品提价10%销售一段时间后,销量不大,于是降价10%销售,则下列说法正确的是( ) A .该商品通过两次调价恢复到原价 B .该商品第二次调价后的售价高于原价 C .该商品第二次调价后的售价低于原价 D .以上几种情况都有可能 6.若关于x 的方程2(3)(2)0m m x m --+=是一元一次方程,则方程的解是( ) A .12- B .2- C .12 D .2 7.方程12x x -=的同解方程是( ) A .322x x -=+ B .21x x =- C .21x x =+ D . 1213 x x -=+ 8.甲、乙两人去商场购物,他俩各自的钱数之比是5:4。甲用了350元,乙用了200元,他俩余下的钱数之比是3:4,则甲、乙两人分别余下( ) A .300元,400元 B .240元,320元 C .180元,240元 D .150元,200元 9.受季节影响,某种商品每件按原售价打九折后又降价5块,现在售价为175元,则这种商品每件原售价是( ) A.180元 B.190元 C.200元 D.210元 10.造一件假品牌衬衣成本只有40元,比正牌衬衣销售价的116还少10元,如

21一元二次方程专项练习

一元二次方程专项练习 一、选择题 x2-2a=0的一个根,则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( ). (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,? 制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,?那么x满足的方程是( ).(A)x2+130x-1400=0 (B)x2+65x-350=0 (C)x2-130x-1400=0 (D)x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时,代数式3x2+9x-2的值是( ). (A)4 (B)0 (C)-2 (D)-4 4.方程(x+1)(x+2)=6的解是( ). (A)x1=-1,x2=-2 (B)x1=1,x2=-4 (C)x1=-1,x2=4 (D)x1=2,x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( ). (A)(x2-2)·x=x2(B)ax2+bx+c=0 (C)x+1 =5 (D) x x2=0

6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3,x2=1, ?那么这个一元二次方程是( ). (A)x2+3x+4=0 (B)x2-4x+3=0 (C)x2+4x-3=0 (D)x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间,绿地面积增加44%,?这两年平均每年绿 地面积的增长率是( ). (A)19% (B)20% (C)21% (D)22% 8.下列方程中,无实数根的是( ). (A)x2+2x+5=0 (B)x2-x-2=0 (C)2x2+x-10=0 (D)2x2-x-1=0 9.方程x(x-1)=5(x-1)的解是( ). (A)1 (B)5 (C)1或5 (D)无解 10.把方程x2-4x-6=0配方,化为(x+m)2=n的形式应为( ). (A)(x-4)2=6 (B)(x-2)2=4 (C)(x-2)2=0 (D)(x-2)2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0,x,y为实数,则x y=_________. 2.请写出两根分别为-2,3的一个一元二次方程_________. 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________,一次项系数是 ________,常数项是________. 4.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根,则这个三角形的周长为_______. 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1,则a-b+c=_______.

一元二次方程测试题及答案.doc

一元二次方程测试 姓名学号 一、选择题(每题 3 分,共 30 分): 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2 =8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3x2 3 x 2 0 57 2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ; C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3. 一元二次方程2x2 -3x+1=0 化为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是( ) 2 2 1 ;C. 2 1 ; A. x 3 16; B. 2 x 3 x 3 2 4 16 4 16 D.以上都不对 4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0,则 a 值为() A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、1 2 5.已知三角形两边长分别为2 和 9, 第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根 , 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个根,则这个直角三角形的斜边长是() A、 3 B 、3 C 、6 D 、9 7. 使分式 x 2 5x 6 的值等于零的 x 是( ) x 1 A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值 范围是 ( ) A.k>- 7 B.k ≥ - 7 且 k ≠ 0 C.k ≥ - 7 D.k> 7 4 4 4 且 k≠ 0 4 9. 已知方程x2 x 2 ,则下列说中,正确的是() (A)方程两根和是 1 (B)方程两根积是 2 (C)方程两根和是 1 (D)方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200 万元, 已知第一季度的总营业 额共 1000 万元 , 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应 为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+ (1+x) 2]=1000 1

一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 配方法解一元二次方程的步骤: 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) (1)当b 2-4ac>0时,=1x ,=2x 。 (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)当b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7.x 2+4x -3=0 8. .03232=--x x 方法四:因式分解法 因式分解的方法: (1)提公因式法: (2)公式法:平方差: 完全平方: (3)十字相乘法: 一、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x

二元一次方程组竞赛题集答案解析

二元一次方程组典型例题 【例1】 已知方程组的解x ,y 满足方程5x-y=3,求k 的值. 【思考与分析】 本题有三种解法,前两种为一般解法,后一种为巧解法. (1) 由已知方程组消去k ,得x 与y 的关系式,再与5x-y=3联立组成方程组求出x ,y 的值,最后将x ,y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值. (2) 把k 当做已知数,解方程组,再根据5x-y=3建立关于k 的方程,便可求出k 的值. (3) 将方程组中的两个方程相加,得5x-y=2k+11,又知5x-y=3,所以整体代入即可求出k 的值. 把代入①,得,解得 k=-4. 解法二: ①×3-②×2,得 17y=k-22, 解法三: ①+②,得 5x-y=2k+11. 又由5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4. 【小结】 解题时我们要以一般解法为主,特殊方法虽然巧妙,但是不容易想到,有思考巧妙解法的时间,可能这道题我们已经用一般解法解了一半了,当然,巧妙解法很容易想到的话,那就应该用巧妙解 二元一次方程组能力提升讲义 知识提要 1. 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种: ① 当2 12121c c b b a a ==时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效)

② 当2 12121c c b b a a ≠=时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) ③ 当 2121b b a a ≠(即a 1b 2-a 2b 1≠0)时,方程组有唯一的解: ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x (这个解可用加减消元法求得) 2. 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按 二元一次方程整数解的求法进行。 3. 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解 含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3) 例题 例1. 选择一组a,c 值使方程组? ??=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解, 2.无解, 3.有唯一的解 【例2】 解方程组 【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样,在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时,也需要弄清字母的取值是否为零. 解:由①,得 y=4-mx , ③ 把③代入②,得 2x+5(4-mx )=8, 解得 (2-5m )x=-12,当2-5m =0, 即m =时,方程无解,则原方程组无解. 当2-5m ≠0,即m ≠时,方程解为 将代入③,得 故当m ≠时, 原方程组的解为 例3. a 取什么值时,方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数?

人教版 21章 一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念:等号两边是整式,含有一个未知数,并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意:(1)一元二次方程必须是一个整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2 ;(4)二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 注意:(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。 (2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。 (3)形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程,当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如:当2 =x 时,0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根(相等或不等) 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据:平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 三种类型:(1)()02≥=a a x 的解是a x ±=;

(2)()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=; (3)()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 (一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤: (1) 把一元二次方程化成一般形式 (2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这 个数; (3) 把原方程变为()n m x =+2的形式。 (4) 若0≥n ,用直接开平方法求出x 的值,若n ﹤0,原方程无解。 (二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时,用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数; (3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式; (4)若0≥n ,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:

最新一元二次方程经典测试题(含答案)

更多精品文档 一元二次方程测试题 考试范围: 一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x (x ﹣2)=3x 的解为( ) A .x=5 B .x 1=0,x 2=5 C .x 1=2,x 2=0 D .x 1=0,x 2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是( ) A .ax 2+bx +c=0 B .3x 2﹣2x=3(x 2﹣2) C .x 3﹣2x ﹣4=0 D .(x ﹣1)2+1=0 3.关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0,则a 的值为( ) A .﹣1 B .1 C .1或﹣1 D .3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x ,则下列方程中正确的是( ) A .12(1+x )=17 B .17(1﹣x )=12 C .12(1+x )2=17 D .12+12(1+x )+12(1+x )2=17 5.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8cm ,BC=6cm .动点P ,Q 分别从点A , B 同时开始移动,点P 的速度为1cm/秒,点Q 的速度为2cm/秒,点Q 移动到点 C 后停止,点P 也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ 的面积为15cm 2的是( ) A .2秒钟 B .3秒钟 C .4秒钟 D .5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为( ) A .x (x +12)=210 B .x (x ﹣12)=210 C .2x +2(x +12)=210 D .2x +2(x ﹣12)=210 7.一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中,若b <0,则这个方程根的情况是( ) A .有两个正根 B .有一正根一负根且正根的绝对值大 C .有两个负根 D .有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x 1,x 2是方程x 2+x +k=0的两个实根,若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立,k 的值为( ) A .﹣1 B .或﹣1 C . D .﹣或1 9.一元二次方程ax 2+bx +c=0中,若a >0,b <0,c <0,则这个方程根的情况是( ) A .有两个正根 B .有两个负根 C .有一正根一负根且正根绝对值大 D .有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M :ax 2+bx +c=0;N :cx 2+bx +a=0,其中a ﹣c ≠0,以下列四个结论中,错误 的是( ) A .如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根 B .如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同 C .如果5是方程M 的一个根,那么是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m ,n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根,则(m +2)(n +2)的最小值是( ) A .7 B .11 C .12 D .16 12.设关于x 的方程ax 2+(a +2)x +9a=0,有两个不相等的实数根x 1、x 2,且x 1<1<x 2,那么实数 a 的取值范围是( ) A . B . C . D . 第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(共8小题,每题3分,共24分) 13.若x 1,x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根,则代数式x 12﹣3x 1﹣x 2﹣6的值是 . 14.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根,且x 1+x 2=﹣2,x 1?x 2=1,则b a 的值是 . 15.已知2x |m |﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程,则m= . 16.已知x 2+6x=﹣1可以配成(x +p )2=q 的形式,则q= . 17.已知关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2﹣3x +1=0有两个不相等的实数根,且关于x 的不等式组 的解集是x <﹣1,则所有符合条件的整数m 的个数是 . 18.关于x 的方程(m ﹣2)x 2+2x +1=0有实数根,则偶数m 的最大值为 .

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 . 难度训练: 1、如果二次三项式16)122++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.

最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解

初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解 方程是一种重要的数学模型,也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 1.形如方程的解的讨论: ⑴若=0,①当=0时,方程有无数个解; ②当≠0时,方程无解; ⑵若≠0,方程的解为= 。 2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论,一般需应用到根的判别式、根与系数 的关系等相关知识。 ⑴若,则它有一个实数根1x =;若 ,则它有一个实数根1x =-。 ⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数 ()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。 几个基本模型 (1)设()()2 0f x ax bx c a =++≠,则()0f x =的两根12,x x ,满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ?<-???>?? (2)一般地设m n p <<,设()()20f x ax bx c a =++≠,则()0f x =的两根12,x x ,满 足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >??? (3)一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠,则()0f x =的两根12,x x , 满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()() ()0000af m af n af p af q >??? (4)一般地设m n ≤设()()2 0f x ax bx c a =++≠,则()0f x =的两根12,x x ,满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤???≤??

21.1 一元二次方程(教案)

课题:21.1一元二次方程 一、教学目标 1.经历一元二次方程概念的形成过程,知道什么是一元二次方程. 2.会把一元二次方程化成一般形式,并知道各项及系数的名称. 二、教学重点和难点 1.重点:一元二次方程的概念. 2.难点:把一元二次方程化成一般形式. 三、教学过程 (一)创设情境,导入新课 师:(板书:3x-5=0)这是一个什么方程?(稍停)3x-5=0是一个一元一次方程(板书:一元一次方程). 师:哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程? 生:……(让几名同学回答) 师:(指准3x-5=0)只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程,叫做一元一次方程.(指准“一元一次方程”)一元指的是含有一个未知数,一次指的是未知数的次数是1. 师:一元一次方程是我们在初一已经学过的,从今天开始,我们要学习一种新的方程,叫做一元二次方程(板书:一元二次方程). (二)尝试指导,讲授新课 师:什么样的方程是一元二次方程?(板书:x2-x=56)x2-x=56是一个一元二次方程,(板书:4x2-9=0)4x2-9=0也是一元二次方程,(板书:x2+3x=0)x2+3x=0也是一元二次方程,(板书:3y2-5y=7)3y2-5y=7也是一元二次方程. 师:从这些一元二次方程,哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程?(等到有一部分同学举手再叫学生) 生:……(多让几名同学回答) 师:(指准x2-x=56)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程. (师出示下面的板书) 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程. 师:请大家把一元二次方程的定义读两遍.(生读)

一元二次方程试题及答案

一元二次方程试题 (时间: 90分钟,满分:120分) (班级:_____ 姓名:_____ 得分:_____) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. 一元二次方程2x 2 -3x -4=0的二次项系数是 ( ) A. 2 B. -3 C. 4 D. -4 2.把方程(x +(2x -1)2=0化为一元二次方程的一般形式是 ( ) A .5x 2-4x -4=0 B .x 2-5=0 C .5x 2-2x +1=0 D .5x 2-4x +6=0 3.方程x 2-2x-3=0经过配方法化为(x +a)2=b 的形式,正确的是 ( ) A .()412 =-x B .()412=+x C .()1612=-x D .()1612=+x 4.方程()()121+=-+x x x 的解是 ( ) A .2 B .3 C .-1,2 D .-1,3 5.下列方程中,没有实数根的方程是 ( ) A .212270x x -+= B .22320x x -+= C .223410x x +-= D .2230x x k --=(k 为任意实数) 6.一个矩形的长比宽多2 cm ,其面积为2cm 8,则矩形的周长为 ( ) A .12 cm B .16 cm C .20 cm D .24 cm 7.某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为128元.已知两次降价的百分率相同,每次降价的百分率为x ,根据题意列方程得 ( ) A.168(1+x )2=128 B.168(1﹣x )2 =128 C.168(1﹣2x )=128 D.168(1﹣x 2)=128 8.一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数比十位数大3,则这个两位数为 ( ) A .25 B .36 C .25或36 D .-25或-36 9.从一块正方形的木板上锯掉2 m 宽的长方形木条,剩下的面积是48㎡,则原来这块木板的面积是 ( ) A .100㎡ B .64㎡ C .121㎡ D .144㎡ 10.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实 数根,则该三角形的面积是 ( ) A .24 B .24或 C .48 D . 二、填空题(每小题4分,共32分)

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