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2019年重庆一中高2019届高三下期第一次月考数学(理)试卷

2019年重庆一中高2019级高三下期第一次月考

数学试题卷(理科)2019.3

特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的)

(1)已知复数

2

1

i

z

i

=

-(i是虚数单位),则复数z的虚部为()

(A)i(B)1 (C)i-(D)1-

(2)已知条件

p:α是两条直线的夹角,条件q:α是第一象限的角。则“条件p”是“条件q”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(3)(原创)以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一

次数学测试中的成绩(单位:分)。已知甲组数据的众数为

124,乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数,则x、y的

值分别为()

(A)4、5 (B)5、4

(C)4、4 (D)5、5

(4)(原创)已知实数,x y满足41

x y

+=,则xy的值域为()

(A)

1

0,

16

??

?

??(B)

11

,

1616

??

-??

??(C)

1

,

16

??

-∞

?

??(D)

1

,

8

??

-∞

?

??

(5)某几何体的三视图如右图所示,则它的表面积为()(A)45π

(B)54π

(C)63π

(D)69π

(6

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,其余棱长均为2,则这个四面

体的体积为()

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(A )1 (B )4

3 (C

) (D )3

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(7)已知函数()33f x x x c

=-+的图像与x 轴恰好有三个不同的公共点,则实数c 的取值范围是

( ) (A )

()1,1- (B )[]1,1- (C )()2,2- (D )[]2,2-

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(8)执行如右图所示的程序框图,则输出的s 的值等于( ) (A )13 (B )15 (C )36 (D )49

(9)()0

203sin 70tan 804cos102cos 10--?=-( )

(A

(B )2 (C

) (D )4

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(10)(原创)已知,,D E F 分别是ABC ?的三边,,BC CA AB 上的点,

2

3

AF AB =

34

AE AC =

()

||cos ||cos AB AC

AD R AB B AC C λλ??=+∈ ???

DE DA DE DC

?=?,

()

sin cos ||||BD B AD B DF R BD AD μμ??

=+∈ ???。则||:||EF BC =( )

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(A )13

(B )1

2 (

C (D

二.填空题(本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案写在答题卡相应位置上)

(11)正项等比数列

{}n a 中,12139a a =,则9192924log log log a a a ++

+= 。

(12)已知集合

{}

2|230A x R x x =∈--<,集合

{}

|||2B x R x =∈≤,则集合

A B = 。

(13)(原创)小钟和小薛相约周末去爬尖刀山,他们约定周日早上8点至9点之间(假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达)在华岩寺正大门前集中前往,则他们中先到者等待的时间不超

过15分钟的概率是 (用数字作答)。 特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。

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(14)(原创)如图,在ABC ?中,3AB =,4BC =,5CA =,D 是BC 的中点,BE AC ⊥于E ,BE 的延长线交DEC ?的外接圆于

F ,则EF 的长为 。

(15)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立

极坐标系。已知点()1,0P -,若极坐标方程为

9

6cos 6sin ρθθρ=-+的曲线与直线143x t

y t =-+??=-?(t 为参数)相交于A 、B 两点,则||||PA PB ?= 。

(16)若关于实数x 的不等式|15||13|||x x a x -++<无解,则实数a 的取值范围是 。

三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) (17)(本小题满分13分,⑴小问6分,⑵小问7分)设()()

2713x f x e ax x =-+,其中a R ∈,

曲线

()

y f x =在点

()()1,1f 处的切线与直线l :20ex y e -+=平行。⑴确定a 的值; ⑵求函数

()

f x 的单调区间。

(18)(本小题满分13分,⑴小问5分,⑵小问8分)(原创)小张有4张VCD 光盘和3张DVD 光盘,小王有2张VCD 光盘和1张DVD 光盘,所有10张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光盘互相交换,求:⑴小张恰有4张VCD 光盘的概率;⑵小张的DVD 光盘张数X 的分布列与期望。

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(19)(本小题满分13分,⑴小问5分,⑵小问8分)(原创)如图,在

四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,BC CD ⊥,

2CD =,4AD =。M

M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=。⑴证明://PQ 平面BCD ;

⑵若异面直线PQ 与CD 所成的角为0

45,二面角D BM C --的大小为θ,求cos θ的值。

(20)(本小题满分12分,⑴小问5分,⑵小问7分)(原创)在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,

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()

sin sin sin b B a A c C

=+。⑴求角B 的大小;⑵设

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()24cos 40

b b A C --+=,求ABC ?的面积S 。

(21)(本小题满分12分,⑴小问5分,⑵小问7分)(原创)如图

所示,椭圆Γ:()22

2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,椭

圆Γ上的点到

12,F F 的距离之差的最大值为2,且其离心率e 是方程

24830x x -+=的根。⑴求椭圆Γ的方程;⑵过左焦点1F 的直线l 与椭圆Γ相交于,A B 两点,与圆222x y a +=相交于,C D 两点,求||

||AB CD 的最小值,以及取得最小值时直线l 的方程。

(22)(本小题满分12分,⑴小问3分,⑵小问4分,⑶小问5分)(原创)在数列

{}n a 中,已知1

1a =,

23

a =,其前n 项和

n

S 满足

()()12n n n

S a a n N +=

+∈。⑴求345,,a a a 的值;⑵求n a 的表达式;⑶对于任意的正整数2n ≥,求证:()

1

2

1221n n

a a

a n ->+。

命题人:薛廷兵 审题人:梁 波

2019年重庆一中高2019级高三下期第一次月考 数 学 答 案(理科)2019.3 一.选择题:BDACB ACDCD

二.填空题:11.12;12.

{}|12x x -<≤;13.716;14.14

15;15.2;16.(],8-∞

17.解:⑴由题

()()()()22

71327276x x x f x e ax x e ax e ax a x '??=-++-=+-+??

,故

()()

131f e a '=-。因直线l 的斜率为2e ,故

()312e a e

-=,从而1a =;

()()()()

25623x x f x e x x e x x '=-+=--,由

()0f x '≥得2x ≤或3x ≥,由

()0

f x '<得

23x <<。故()f x 的单增区间为(),2-∞和()3,+∞,单减区间为()2,3。

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18.解:⑴记事件A 为“小张和小王各拿一张VCD 光盘交换”,事件B 为“小张和小王各拿一张DCD 光盘交换”,则,A B 互斥,且

()4287321P A ?=

=?,()3137321P B ?==?,故所求概率为()()()11

21P A B P A P B =+=;

⑵X 所有可能取值为2,3,4,且

()3222737P X ?==

=?,()423111

37321P X ?+?===?,

()414

47321P X ?==

=

?。故X 的分布列如右表,X 的

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211461

2347212121EX =?+?+?=

。 19.法一:⑴如图,连AP 并延长交BD 于E ,连

CE ,过M 作//MN BD 交AP 于N ,则AN NE =,NP PE =。故3AP PE =,从而//PQ CE 。因PQ ?

面BCD ,CE ?平面BCD ,故//PQ 平面BCD ;

⑵过C 作CF BD ⊥于F ,作CR BM ⊥于R ,连FR 。因⊥AD 平面BCD ,故平面ABD ⊥平面

BCD ,故CF ⊥平面ABD ,因此CF ⊥BM ,从而BM ⊥平面RCF ,所以CRF θ∠=即为二面

角D BM C --的平面角。因//PQ CE ,故0

45DCE ∠=,因此CE 即为BCD ∠的角平分线。由⑴

易知22DE MN EB ==,故2DC BC =,从而1BC =

CF =

=

。由题易知BC ⊥平

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面ACD ,故BC ⊥CM

。由题CM =

,故

CR =

=。所以sin CF CR

θ=

=

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从而

cos θ=

=

B

M

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法二:如图建立空间直角坐标系,则

()

0,0,0C ,

()

2,0,0D ,

()

2,0,4A ,

()

2,0,2M ,

()

12,0,1Q 。

⑴设

()

0,,0B y ,则()

1,2,1P y ,因此

()

12,2,0QP y =。显然

()

0,0,4DA =是平面BCD 的一个法向量,且0QP DA ?=,所以//PQ 平

面BCD ;

⑵由⑴1QP CD ?=,

1||QP =,||2CD =,故由0

cos 45||||QP CD QP CD ?=得1y =,因此()

0,1,0B ,从而

()

2,1,0BD =-,

()

2,1,2BM =-。设

()

111,,m x y z =是平面BMD 的法向量,则

1111120220x y x y z -=??

-+=?,取11x =得()1,2,0m =。设()222,,n x y z =是平面BMC 的法向量,则11110220y x y z =??

-+=?,取11x =得()1,0,1n =-。故

10

cos ||||||m n m n θ?== 20.解:⑴由正弦定理可得

()

22b a c c

=+-222

a c

b =+-,故由余弦定理得

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222cos 2a c b B ac +-==

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030B =;

⑵因

()()2216cos 1616sin 0

A C A C ?=--=--≥,故

()2sin 0

A C -=,得A C =,且

()4cos 22A C b -==。故2220

222cos 30a a =-,得2

8a ==+,故

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2

01sin 3022S a =

=+。

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21.解:⑴设P 是椭圆Γ上任意一点,则

1212||||||2PF PF F F c -≤=,故1c =。解方程24830x x -+=得

12x =

或32x =。因01e <<,故12c

e a ==,因此2a =,从而23b =。所以椭

圆Γ的方程为22

143x y +=;

⑵法一:焦准距23a p c c =-=,设()10OF B θθπ∠=≤<,则

13||2cos F B θ=-,13||2cos F A θ=+,故

212||4cos AB θ

=

-。易

||CD ==,故

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()22

222||136

||3cos 4cos AB CD θθ=?

+-。令

[]

24cos 3,4t θ=-∈,则

()

222||36

||7AB CD t t =

-。令

()()

27f t t t =-,则

()()23141430f t t t t t '=-+=->,故

()

f t 在

[]3,4单调递增,从而

()()448f t f ≤=

,得22||363||||

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484||AB AB CD CD ≥=?≥,当且仅当4t =即2πθ=时取等号。所以||||AB CD

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,取得最小值直线l 的方程为1x =-。

法二:当l x ⊥轴时易知||3AB =

,||CD =

,有||||

AB CD =

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。当l 与x 轴不垂直时,设l :()1y k x =+,代入22

143x y +=并整理得()22224384120k x k x k +++-=,故

()()

()22

2222

222122228412

1212||114434343k k k AB k x x k k k k ??????--+=+-=+-?=?? ? ?

+++????????。圆心O 到l 的距

离d =,故222

221216||4411k k CD k k ??+=-= ?++??,令21t k =+,则22||||AB CD =

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()()

3

2

3

2

3636

41311115848t t t t t t =

-+????--?+ ? ?????。令1s t =,且()325848f s s s s =--+,则

()()()

23108324f s s s s s '=--=+-。因1t ≥,故(]0,1s ∈,因此()0f s '<,从而

()()048f s f <=

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,可知

22||363||||484||AB AB CD CD >=?>||||AB CD

,取得最小值直线l 的方程为1x =-。

22.解:⑴依次令3,4,5n =可得35a =,47a =,59a =;

⑵法一:由⑴猜想

21n a n =-,下面用数学归纳法证明:①当1,2n =时结论显然成立;②假设

(),2n k k N k =∈≥时结论成立,即

21k a k =-,则

()1111

12k k k k k a S S a ++++=-=

+

()()()21112111

1121212222k k k k k k k k a a k a k k a k +++-+-

+=+

-?-=--?=+,故当1

n k =+时结论成立。综上知结论成立。 法二:猜想

21n a n =-,下面用第二数学归纳法证明:①当1,2n =时结论显然成立;②假设

(),2n k k N k ≤∈≥时结论成立,即

()

21,m a m m k m N +=-≤∈,则()11

12k k a +++=

()()2211111132112121

k k k k k S k a k a k a k k a k +++++=++

+-+=+?-=--?=+,故当

1n k =+时结论成立。综上知结论成立。

法三:由题

()()()11111111122n n n n n n n n n

a S S a a na n a +++++=-=

+-+?--=,当2n ≥时,

()1111

111n n a a n n n n n n

+-==----,故1

1122111

1n n i i i i a a i i i i --+==????

-=-

? ?--????∑∑,因此

()21

121211n n a a a n n n n -

=-?=-≥--。又1

1a =,故21n a n =-。 ⑶法一:由⑵知

{}

n a 为等差数列,故

112211n n n n a a a a a a a a +++=+=

=+=+。由

()()2

2

4

4

x y x y xy +-=

-

知x y +一定时,要使xy 最小,则||x y -最大。显然1

1||n a a +->

()2||2k n k a a k n +--≤≤,故

()()()

()()

2

1

12

11121111n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++=>,因此

()

()

112

212

11121n n n n a a a a a n ++++>=+,从而

()

1212

21n n a a a n ->+。

法二:因为()()()11211,121!k

k

k n

n n n k C k N k n n k n --+??

??<≤∈≤≤ ? ?+????,所以

022********n

k

n

k n k C n n n n =????+=<+<+ ? ?++????∑,故()()12321n n n n ++<+,因此21n +>

()()

2

12

2321n n n n -++,从而

()()()

()

11

12

2

11

1

2

23212121i n n n i i i i i n i ----==++>=++∏∏

,即

()

12

12

21n n a a a n ->+。

法三:①当2n =时不等式显然成立;②假设

()

2n k k =≥时不等式成立,即

()

12

12

21k k a a a k ->+,则如“法二”可证

()()

2

112

232121k k k k a k k +-+=+>

+,故

12

1k a a a +>

()

()()

()

12

2

2

12

23212321k

k k k k k k k --++?=++,即当1n k =+时不等式成立。综上得证。