二次函数(2)

二次函数（2）

1.韦达定理: 一元二次方程的根和系数的关系.

2.会求含有参数的二次函数的最值.

重点：韦达定理及其应用，含参二次函数求最值，恒成立，含参二次不等式。 难点：含参二次函数求最值，含参二次不等式。

预习案（10分钟）

一．知识链接

1. 如何求一元二次方程x 2

-2x-8=0的根？有几种方法?

2 .二次函数解析式的几种形式：

①一般式： ②顶点式： ③交点式： 3.二次函数的图像及性质

探究案（30分钟）

三．新知探究

问题 1. 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12,x x ，那么12x x +=_______，

12x x ?=_______。你会证明这个结论吗？--------说明：定理成立的条件0?≥

归纳总结： 问题2. 如何求二次函数在一个区间上的最值？

开口向上时,某自变量的函数值的大小与此自变量离对称轴的远近有何关系？开口向下呢?

归纳总结： 问题3. 若2

0(0)ax bx c a x R ++>≠∈对恒成立，系数,,a b c 应满足什么条件？ 你能用数形结合的方法解决这个问题吗？

归纳总结： 四．新知应用

【知识点一】韦达定理的应用

例1：若方程2

310x x --=的两根为12,x x ，求（1）

12

11

x x +的值。

（2）12||x x -的值。 组长评价： 教师评价：

审核：武圣娟

规律方法：用1212x x x x +?和表示

12

11

x x += ,2212x x += ， 212()x x -= ， 12||x x -= ，

3312x x += 等等．韦达定理体现了整体思想． 变式：已知集合{}

{}22

|2(1)100x x a x a +++-==，求实数a 的值。

规律方法： 。 【知识点二】含参二次函数的最值。

例2：已知函数2()2([1,3])f x x ax x =-+∈-，求f(x)的最大值与最小值。 解:()f x x a =的开口向下，对称轴：

[](1)1()-1,31()-1-23()-9+6a f x x f x a x f x a ≤-=-=当时，在单调递减当时，有最大值当时，有最小值

2(2)11()3()-9+6a x a f x a x f x a -<<==当时，当时，有最大值当时，有最小值

2(3)3()1()-12a x a f x a x f x a

≤<==-当1时，

当时，有最大值当时，有最小值 [](4)3()-1,31()-1-23()-9+6a f x x f x a x f x a

≥=-=当时，在单调递增当时，有最小值当时，有最大值

变式： 函数2()2([,1]),f x x x x a a =-∈+ 求f(x)的最大值与最小值。

规律方法: 【知识点三】恒成立问题

例3. （1）若不等式2-2(26)30x m x m +-+-<的解集为R ，求实数m 的取值范围. (2)若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

规律方法：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，

（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立? ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立? 。

例4.已知不等式2

230x x m -++-≥当[2,2]x ∈-时恒成立，求m 的范围。

变式.已知a ax x x f -++=3)(2

，若x ∈［-2，2］时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.

规律方法：（1）m x f ≥)(对任意x 都成立? ；

（2）m x f ≤)(对任意x 都成立? 。

【知识点四】含参一元二次不等式 (★)例4：（1）2110(1)x a x a a ??-+

+<> ?

??

（2）22

20x ax a --<；()a R ∈

（3）01)1(2

<++-x a ax

变式：若不等式20ax bx c ++>的解为{}

x x αβ<<，(0)αβ<<，求2

c

x b x a ++<的解集．

随堂评价（15分钟）

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：

1.二次函数y ax bx c =++2

的图象如图所示，对称轴为x ＝1，则

下列结论中正确的是（ ）

A. ac >0

B. b <0

C. b ac 240-<

D. 20a b +=

2.关于x 的一元二次方程2

40x x m +-=2,则m = ; 方程的另一根是 。

3.已知()f x =R.求参数m 的取值范围。

二次函数（2）课后巩固（30分钟）

1.设x 1，x 2是方程2x 2

－6x ＋3＝0的两根，则x 12

＋x 22

的值为_________

2.设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程

20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．

3.关于x 的一元二次方程3x 2－(4m 2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。

4. 若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .

5.设函数12)(2

++=ax ax x f 在

[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。

6．已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？

(2) k 的值．

7.设方程0622

=++-m mx x 有两个实根21,x x ，求函数2

221)1()1(-+-=x x y 的取

值范围

8.已知22()444f x x ax a a =-+--在区间［0，1］内有最大值-5，求a 的值。

9.求[)2()21+f x x ax =-+∞在，上的最大值。

10.若存在[]1,3x ∈使得2

220ax x a -->有解，求实数a 的取值范围。

-圆与二次函数综合题精练(带答案)教学文案

圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省）

二次函数与圆结合的压轴题Word版

图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、

圆与二次函数难度题(含答案)

水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2

二次函数与圆综合训练(含解析)

二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°，

∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD，

圆与二次函数

14、已知二次函数y=x2+ax+a-2． （1）求证：不论a取何值时，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方； （2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于1/4的抛物线有几条？请证明你的结论．（杭州市） 15、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0) 两点，x和x是方程x2+2x-3=0的两个根（ｘ1＜ｘ2）而且抛物线与y轴交于C点，∠ACB 不小于90°． （1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴； （2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（3）求系数a的取值范围． 16、已知：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线 y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另一个交点．（深圳市） （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在直线BC上，且S△PAC=1/2S△PAB,求点P的坐标． 2.(1)已知：关于x、y的方程组 有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式；（3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。

二次函数与圆的综合完整版

二次函数与圆的综合 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

二次函数与圆的综合 5．（2012?济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径； （3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 考 点： 二次函数综合题． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标． 解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0）， ∴， 解得a=1，b=4， ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3， ∵令x=0，得y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∴cos∠CAB=． 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==． 如答图1所示，连接O1B、O1C， 由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°， ∴△BO1C为等腰直角三角形， ∴⊙O1的半径O1B=BC=． （3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1， ∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2． 又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=﹣2对称． 如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（﹣4，3）． 又∵点M为BD中点，B（﹣1，0）， ∴M（，）， ∴BM==； 在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3）， 由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

圆与二次函数结合的中考数学压轴题

圆与二次函数结合的中考数学压轴题（1） 班级姓名学号 1、【2013?自贡压轴题】如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值； （3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【第1页】

2、【2013?巴中压轴题】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C． （1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式； （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式； （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论． 【第2页】

3、【2013?遵义压轴题】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于 点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由； （3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式． 【第3页】

4、 【2013?烟台压轴题】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣2 3 ，0），以0C为直径作半圆，圆心 为D． （1）求二次函数的解析式； （2）求证：直线BE是⊙D的切线； （3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M 作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【第4页】

初中中招二次函数和圆的综合体包含答案

二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二 次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为D ， 问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已

2020中考数学 二次函数与圆综合

2020中考数学二次函数与圆综合 例题1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(3,0)-，若将经过A 、C 两点的直线y kx+b =沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-． （1）求直线AC 及抛物线的函数表达式； （2）如果P 是线段AC 上的一点，设三角形ABP 、三角形BPC 的面积分别为ABP S △、BPC S △，且2:3ABP BPC S S =△△:，求点P 的坐标； （3）设Q 的半径为1，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，Q 与两坐标轴同时相切？ 例题2.在平面直角坐标系中，抛物线经过(0,0)O 、(4,0)A 、3,B ? ?? 三点.（1）求此抛物线的解析式； （2）以OA 的中点M 为圆心，OM 的长为半径作M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P ，过点P 作M 的切线l ，且l 与x 轴的夹角为30?？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号）

例题3.如图，抛物线2134 y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ． （1）求直线BC 的解析式． （2）设点P 为该抛物线上的一个动点，以点P 为圆心、r 为半径作P ⊙． ①当点P 运动到点D 时，若P ⊙与直线BC 相交，求r 的取值范围； ②若5 r =，是否存在点P 使P ⊙与直线BC 相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 例题4.已知，如图4-1，抛物线2y ax bx c =++经过点1(,0)A x ，2(,0)B x ，(0,2)C -，其顶点为D ．以AB 为直径的M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作M 的切线交x 轴于点N ．30ONE ∠=?，12||8x x -=． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）如图4-2，点Q 为 EBF 上的动点（Q 不与E 、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H ，问：AH AQ ?是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 图4-1图4-2

十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法 〈一〉三点式。 1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y= 21a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1， 在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线222 5212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。 1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛 物线解析式。

2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物 线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA= 43OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1， 平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2， 求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 〈九〉切点式。 1， 已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。 〈十〉判别式式。 1、 已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x 2+(m+1)x+3解析 式。 2、 已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线y=(m+1)x 2+(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

初三数学二次函数与圆知识点总结

初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2 -4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 a b -= 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 a c = 0且a b -≠0 c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 a c = 0且a b -= 0 c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 a c =0 c=0； （6）两根异号 a c ＜0 a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 a c ＜0且a b -＞0 a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 a c ＜0且a b -＜0 a 、c 异号且a 、b 同号； （9）有两个正根 a c ＞0，a b -＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；

7二次函数与圆综合

一、二次函数与圆综合 【例1】 已知：抛物线2:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，，两点， 且12x x <． （Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式； （Ⅱ）若1211x x <>，，求m 的取值范围； （Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ， ，若存在，求出2:(1)(2)M y x m x m =+-+-的值；若不存在，试说明理由； （Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使 1 2 PF FQ =，求直线l 的解析式． 【例2】 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的 长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y kx k =-的图象与x 轴交于点A ，抛物线 2 y ax bx c =++经过O ，A 两点． ⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧 沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的 解析式； ⑶设点B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P ，使得4 3 POA OBA =∠∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． B 例题精讲 二次函数与圆综合

中考数学二次函数与圆

抛物线与圆、动点 1、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，23）。 ⑴求圆心的坐标； ⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y＝－ 3 3 x的图象上， 求抛物线的解析式； ⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否 在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。 2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y ax bx c =++ 2经过O、A两点。 ⑴试用含a的代数式表示b； ⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠∠ POA OBA = 4 3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3、A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2， b2－2b－3）. x y O A C B

（1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标. 4、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A ， 以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式； （2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式； （3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论． 5、已知：一元二次方程x 2+kx+k ﹣1=0． （1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）设k ＜0，当二次函数y=x 2+kx+k ﹣1的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时， 求此二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M （0，m ）作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？ x y A B E F D C M O x y A B C O x=1

圆与二次函数综合练习

圆与二次函数综合题 1.已知圆P 的圆心在反比例函数k y x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 2.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的 面积. （3） （2） 3.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、 C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴 交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，点P在y轴上，半径为3的⊙P分别交x轴于A、B两点，AB=4，交y轴负半轴于点C，连接AP并延长交⊙P于点D，过D作⊙P的切线分别交x轴、y轴于点F、G； （1）求直线FG的解析式； （2）连接CD交AB于点E，求PCD ∠ tan的值； （3）设M是劣弧BC上的一个动点，连接DM交x轴于点N，问：是否存在这样的一个常数k，始终满足AN·AB+DN·DM=K，如果存在，请求出K的值，如果不存在，请说明理由； （图1） （图2） 5.已知：如图， 抛物线2 33 y x x =--x轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点A C ，，点D是劣弧OA上一动点（D点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E的坐标；（2）求M的面积； （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2 FG=，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由． 6.(0) A m，(0) m<，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F． （1）求证：BF DO =； （2）设直线l是BDO △的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是BDO △的

二次函数与圆结合的综合题

1.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式；∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3 （2）设∠DBC = ，∠CBE = ，求sin（－）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说 明理由．

2.如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动 点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直．线．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ． （1）求经过O A B 、、三点的抛物线解析式； （2）求S 与t 的函数关系式； （3）将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． ∴所求抛物线解析式为214 33 y x x =-+

3．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）． （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证：CB是△ABE外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围． 点B（1，4）．综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）． ∴y=-x2+2x+3．

二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义

解：（1）根据题意，得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于262 2= +=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得 PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解，解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

二次函数与圆

二次函数与圆 1.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、 C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴 交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线 2 16 y x bx c = ++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线2 16y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点， 求PQ ＋PB 的最小值． （3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式． 3.如图（13），已知平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标是(016)， ，AB 平行于x 轴，B C D ，，三点在抛物线2 425 y x = 上，DC 交y 轴于N 点，一条直线OE 与AB 交于E 点，C A M x y O D E

与DC 交于F 点，如果E 点的横坐标为a ，四边形ADFE 的面积为 135 2 ． （1）求出B D ，两点的坐标；（2）求a 的值； （3）作ADN △的内切圆P e ，切点分别为M K H ，，，求tan PFM ∠的值． 4 、（湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线233 y x x =- -x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，M e 经过原点O 及点A C ，， 点D 是劣弧?OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）． （1）求抛物线的顶点E 的坐标；（2）求M e 的面积； （3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与M e 相切，并请说明理由． 5 、（辽宁卷）如图，已知(10)(0A E -，，，，以点A 为圆心，以AO 长为半径的圆交x 轴 于另一点B ，过点B 作BF AE ∥交A e 于点F ，直线FE 交x 轴于点C ． （1）求证：直线FC 是A e 的切线； （2）求点C 的坐标及直线FC 的解析式； （3）有一个半径与A e 的半径相等，且圆心在x 轴上运动的P e ．若P e 与直线FC 相交于M N ，两点，是否存在这样的点P ，使PMN △是直角三角形．若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 6 3 于点A ，点B ． 图（13）