学案定义及理论依据

什么是学案

作者（来源）：关士伟发布时间：2006-05-31

一、2005年徐汇区重点课题

课题《学案教学的研究》，2005年4月5日向区申报，经过徐汇区教科室初评，专家组评审，区教育科研学术委员会网上审议，于2005年9月27日正式被徐汇区教育局、徐汇区教师进修学院批准为区级重点课题.。

2005年11月28日，由关士伟向徐汇区教科室提出申请更改课题负责人（申请人），为紫竹园中学法人代表夏静纺。更改后《学案教学的研究》为紫竹园中学的课题。

徐汇区教科室汪人老师负责我校课题管理工作。

二、学案的概述

学案是相对教案的一个概念，教案与学案具有不同的含义。学案应该理解为导学方案。

1、概念

①教案：

教师认真阅读教学大纲和教材后，经过分析、加工、整理而写出的切实、可行的有关教学内容及教材组织和讲授方法的案例。

其着眼点在于教师讲什么和如何讲。以教师为中心，强调的是“教”。

②学案：

导学方案是在新课程标准下，学生根据自己的知识水平、能力水准、学习方法特点和心理特征等具体情况，在教师主导下，由师生共同设计的，供学生在整个学习过程完成学习任务使用的学习方案。（侧重学生间交流和评价）

学案既反映学习结果，又体现学习过程。说得通俗一点，就是专门给学生看和用的教案。其着眼点则在于学生学什么和如何学。以学生为中心，强调的是“学”。

2、理论依据

①传统行为主义教育理论

上世纪50年代中期以前，行为主义学习理论占据着主导地位。这种学习理论的主要观点之一是将刺激与反应联结在一起。它把教师放在主导地位，强调知识传授，认为学生的任务就是要消化、理解老师讲授的内容，把学生当作灌输的对象、外部刺激的接受器、前人知识与经验的存储器，忽视了学生是有主观能动性的、有创造性思维的活生生的人。（一句话讲“教师为主导”）

伊·安·凯洛夫（N.A.Kaiipob,1893-1978），原苏联著名教育家，四、五十年代苏联教

育学的代表人物之一。凯洛夫的教育思想和教育主张，集中体现在《教育学》一书中。该书曾对我国产生过非常大的影响。

以凯洛夫的五段教学模式（激发动机→复习旧课→讲授新课→运用巩固→检查效果）为典型代表的传统教学模式，长期以来一直统治着我们各级各类学校。它以教师为中心，由教师通过讲授、板书及教学媒体的辅助，把教学内容传递给学生或者灌输给学生。老师是整个教学过程的主宰，学生则处于被动接受老师灌输知识的地位。对于发展学生的智力重视不够，对教育对社会发展的反作用研究也不够，其难以达到比较理想的教学效果，更难培养出创造型人才，这就是传统的以教师为中心教学结构的最大弊病。

在这种行为主义学习理论长期潜移默化的影响下，学生逐渐养成一种不爱问、不想问“为什么”、也不知道要问“为什么”的麻木习惯，形成一种盲目崇拜书本和老师的迷信思想。同时，学生普遍缺乏探索能力，创造力和学习的内在动机，这样的学生常常会缺乏后劲，难以成长为创造型的人才。

应当指是，凯洛夫的教育理论，在当时基本是适应原苏联教育发展的需求的。

②上海二期课改建构主义教育理论的兴起

近二十年以来，随着心理学家对人类学习过程认知规律研究的不断深入，认知学习理论的一个重要分支－－建构主义学习理论在西方逐渐流行。建构主义(constructivism)也译作结构主义，是认知心理学派中的一个分支。

建构主义理论的内容很丰富，但其核心只用一句话就可以概括：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构(而不是像传统教学那样，只是把知识从教师头脑中传送到学生的笔记本上)。

建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构的方式而获得。（一句话讲“以学生为主体”）

从而成为国内外学校深化教学改革的指导思想。也是上海二期课改主要理论依据。即“以学生为本”，“以学生为主体，以教师为主导”。有人比喻讲在教学中教师扮演的仅是导演，学生才是舞台的主角。

上述两种教育思想、教学观念最根本的分歧点，由此而发展出两种对立的学习理论、教学理论和教学设计理论。由于建构主义所要求的学习环境得到了当代最新信息技术成果的强有力支持，这就使建构主义理论日益与广大教师的教学实践普遍地结合起来，学案的提出源于新课改“以学生为本”的教学理念，理念更新是一切改革的关键和前提，教师只有转变观念，才能转变角色。时代要求教师在教学过程中不仅要考虑自己如何教，而且要更多地考虑到学生要如何学，这是新课改的精髓。

所以课堂教学理所索，使他们亲身参与课堂教学，这样就真正确立了学生在课堂上的主体地位，给学生提供了学习的条件和机会，以学生的思维活动为主体，唤起了学生的主体意识，发挥了学生主动参与精神。学案教学是“以学生为本”理念的具体化。学案教学就是把教学的重心从研究教材的教法上转变到研究学生的学法上，促使教师进行角色转换。

3、目前国内研究情况

⑴《中学历史自助式“学案”教学法尝试》教师之友

⑵《学案和配餐作业》山西省怀仁县第一中学校

⑶上海北郊高级中学①高中数学学案模式探讨②高中物理学科学案模式初探

③借助学案，改进化学复习课的实践④高中美术学案模式探讨

⑤语文学科学案模式探究⑥高中英语学案模式探讨

⑷《中学化学学案导学与计算机辅助导学整合的研究》方志强、金华一中

⑸《英语学案导学中的学法指导探究》洪慧

⑹浙江师范大学附属中学、张家港高级中学、——学案

⑺《英语教学中"学案"与"导学"的有机结合》王雅芬《教学与管理》

⑻江苏省清江中学一体化教案和学案

⑼《学案导学，自主探究》海盐县教育局教研室

⑽《自主探究学案导学”教学模式》临沂一中、山东省首届省级教学成果二等奖

⑾《学案教学》深圳宝安区教育“十一五”规划科研课题-二小

⑿《学案教学》闵行四中校级课题

三、学案教学课堂模式（参考上海北郊高级中学）

1、学案的设计

教师依据教案设计，编写出学案，提供给学生，学生以个人或小组形式，一般利用课外时间，按照学案的具体要求进行预习（准备性学习）、新课学习、复习（巩固性学习）等学习活动。当学生按照学案的要求完成了学习任务（作业）后，学案自然地就形成了。

学案通常应包括学习目标、学习方法和策略、重点、要点、难点、思考题、探究活动、知识拓展、学后记、意见等条目。实际操作中，学案的格式与条目是灵活多变的和有所侧重的，完全由教学需要来决定。

2、学案和学案教学的突出优点

——帮助学生系统全面地把握知识内容，克服盲目和片面，减少教材阅读和作业中的困难，有利于准确理解，提高学习效率。对学习新课作用尤其明显。学案好比半个家庭教师，能提供及时、关键的指导和人性化的服务。

——教师可以方便、清楚地知道学生理解了什么，解决了哪些问题，不理解什么，存在什么问题和困难，从而使教学更具有针对性，效率更高。

——为课堂教学提供丰富、具体的内容材料，师生互动的基础得以充实，可操作性增强。来自学生的原味思想、观点、解释、解答、设计、作品、表现方式等，对提升教学生动性会产生可以预期的作用。

——有利于学生掌握研究性学习方法，提高研究性学习水平，培养良好的学习习惯。

——为评价学生学业成就和评价教学状况提供方便、有效的手段和方法。

3、学生究竟要写多少学案？

学案有大有小，有长有短，有简有繁，教师可以按章节、按时间（周、月、学期）、按主题或专题、按课的类型和需要来决定，过于频繁的操作只会适得其反，必须坚决避免。如

果认为按章为单位设计和安排学案是比较合理和实际的话，如以高一化学为例，教材共有五章，那么做四份学案就足够了。备课组的老师一起分担，每人承包一块，事情会容易得多。

实践学案教学是真实、理性的需求，它不是“群众运动”，不是权宜之计，而是务实、前瞻的行为，它没有理由也不会增加学生的课业负担。

4、教师在设计学案时应注意哪些问题？

——帮助学生最有效地理解和掌握学科知识是学案教学的根本出发点，因此学案一定要紧扣课程标准，与学科自身教学内容紧密相连，要避免舍近求远，不要“多管闲事”。

——学案指导书必须是具体的、确切的、周全的、严谨的、妥当的和规范的。学案内容设计上应更多地体现生活性、研究性、趣味性，基础与拓展兼顾。

——学案决不是单纯的另一份额外的家庭作业，要防止把学案搞成又一本“练习册”。

——学案指导书可以口述、板书、印刷、多媒体投影、网络等形式下达给学生。其中，口述、板书和印刷三种形式是最实用、最方便的。

5、学案为什么要进行交流？怎样交流？

学案交流是学案教学模式中的重要环节，是课堂教学活动的重要组成部分。离开了交流，学案的功能就无法充分发挥和实现。但是交流的规模和频率教师一定要控制好，否则会给教学本身带来影响。

——学案交流切忌长篇大论，鼓励短小精悍，点明关键，直击结论，三言两语也可。

——学案交流必须面向教室里所有的学生。声音一定要响亮，力争全体同学都能听清，这是发言者必备的基本素质。做不到这一点，效果肯定不会好。另一方面，认真倾听既是教学的需要，又是学生优良品德、学德、行为习惯的体现。即时点名，令其对同伴的发言作即兴评价，这一做法对教室里的所有学生形成了压力，迫使其认真倾听，学会尊重他人，从机制上确保全员参与。

——比较适合用来进行课堂交流（互动）：

学生经过思考提出的学术性问题；

教师设计的思考题（问题、习题）和探究活动；

查阅的文献资料，调查结果和结论，实验结果、结论和解释；

评论和评价，学习困难、要求和建议等等。

6、学案教学过程如何进行评价？

直接关系着学案教学的成败，应该单独立课题研究，评价应该包括教师对学生、学生之间、课题研究过程中的评价。

一、问题的提出：

随着我国基础教育全面实施新课程改革的迫切需要，实施素质教育，培养创新人才，已成为当前中小学教育教学改革的主旋律，实践使我们认识到要切实进行新课程改革，必须构建并实施与之相适应的课堂教学模式，因此，对于适合素质教育的主

渠道——课堂教学的研究，应是每位教育工作者面临的重要课题。

目前，教育教学改革虽然取得了一定的进展，但学校教育特别是课堂教学的一些问题并没有因为新课程的实施而得到根本解决。近年来，随着教学改革的不断深入，课堂教学出现了不少新的组织形式，但绝大多数的课在深层次上并没有发生实质的变化。传统的数学课堂教学模式之所以具有超常的稳定性，主要是以教师为中心，从教师的教出发，并提供了比较明确的可操作程序，教师只要有教材和教参，就能依样操作，传统教学模式因此扎根于千百万教师的日常教学中。其结果是，由于教学中的教学目标、教学重点、难点、教学方法等，一般都是从教师教的角度设计的，在课堂教学实践中，教师往往忽视对学生的学习方法、学习态度、学习习惯、学习能力等知识以外的素质的培养，教师根据教案教学时，学生接受过程是被动的，致使在教学中“教师只管讲，任由学生听”，“教师讲得天花乱坠，学生听得昏昏欲睡”的教学状况仍然存在着一定的普遍性，影响了学生未来的发展，影响了教育方针的全面贯彻落实，影响了学生实践能力和创新精神的培养。所以，从目前教学的实际看，把课堂变成师生共同提出问题、共同解决问题的阵地，让学生积极主动地学习，参与课堂研究，全面提高学生的学习自主性和数学素养，应是新课程中课堂教学改革达到的目标。

中学数学课堂教学如何适应新课程改革的要求？我们认为，必须对中学课堂教学模式加以研究。课堂教学模式一般地能体现课堂教学的全部信息，如数学思想、数学方法、教学过程、师生关系等，一定的教学模式也可以说是一定的教学思想、教学理论的具体化，是教学理论指导实践活动的一个途径。新课程标准中，对培养目标、课程设置及课程实施评价方面提出了更为明确的要求，按照新课程要求，我们把课堂教学改革的目标，定位在以培养学生独立思考，自主学习的能力，具有科学精神，形成科学态度，学会科学方法，逐步形成适应学习化社会需要的终身学习能力的层次。基于以上认识，我们依据建构主义学习理论，构建了“学案制”教学模式，并进行了初步探索。

二、课题概念界定：

教案是教师在授课前准备的教学方案，内容包括教学目的、时间、方法、步骤、检查及教材的组织等。设计好教案是上好一堂课的重要前提。传统教案教学普遍存在两种倾向：一是教学的单向性，即以老师和课本为中心，更多考虑教师如何把课本知识内容讲得精彩完美，而忽视了学生自主学习的意识和能力；二是教案的封闭性，即教案是老师自备、自用，没让学生参与，缺少公开性和透明度，学生在课前对老师的教学意图无从了解，上课只能被动学习。在传统教学模式下，普遍存在学生厌学、学习主动性差、无科学的学习方法和学习能力等问题，影响了学生学习的质量。在当今教学改革中，又出现另一种极端：过分强调学生的主体作用，弱化教师的主导地位，只注重课堂的“活跃”场面，而忽视教学的最终效果，一些课堂教学改革搞得“轰轰烈烈”，最后却拿不出实效。其原因在于只看到学生自主意识强，而忽视自主能力弱的现状。要认识到教学法的核心是教“学法”，培养学生自主学习的能力才是关键，而自主学习能力的形成离不开老师的指导。为此，课题组尝试把传统的“教案”改革为逐步指导学生自主学习的“学案”。

所谓“学案”是指用于指导学生每一课时进行学习的助学方案，它是相对于“教案”而言的。“学案”教学法是以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成教学任务的一种教学模式。这种教学模式一改过去老师单纯的讲，学生被动的听的“满堂灌”的教学模式，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，使主导作用和主体作用和谐统一，发挥最大效益。在这种模式中，学生根据教师设计的学案，认真阅读教材，了解教材内容，然后，根据学案要求完成相关内容，学生可提出自己的观点或见解，师生共同研究学习。这种教学模式一方面满足了学生思维发展的需

要，另一方面又能满足学生自我意识发展需要，对学生的自我发展和自我价值的体现有十分积极的作用。而教师则不仅仅是知识的传授者，而是学生学习的指导者、合作者，教师的主要任务是培养学生的自学能力、自学习惯，教会他们怎样学习、怎样思考，提高学生分析问题、解决问题的能力。

从“教案”到“学案”的改革，必须把教学重心由老师如何教转移到如何让学生学会、会学，用具有双向交互性和开放性的“学案”来沟通师生之间的教学关系。为此，必须做好三个转变，即：由主要考虑“教什么？”转到更多地考虑“学什么？”；由注重“读懂”转到同时注重“会读”；由“关注教师的成功感”转到“关注学生的成功感”。

“学案”教学法具体做法是：根据学生现有知识，自学能力水平和教学、考试的要求，编制出指导学生每一课时学习方案，称之为“学案”。“学案”是建立在教案基础上针对学生学习而开发的一种学习方案，通常要提前印制完成，发放到学生手中，让学生知道老师的授课目标、意图，让学生学习能有备而来，给学生以知情权、参与权。学生借助“学案”自主学习，初步掌握基础知识、概念、理清知识线索，并尝试用掌握的知识解答“学案”中的问题，进行自我能力训练或讨论交流，并在“学案”上作相关的学习记录。学生能自主完成的内容，就可以先学习掌握；剩余部分在课堂教学讨论中解决，从而提高课堂教学效率。而且“学案”还鼓励学生在自学中探索发现新的问题，提出新的思考，又反过来促进老师的教学。教学过程中，学生是学习的主人，教师扮演的不仅是组织者、引领者的角色，而且是整体活动进程的调节者和局部障碍的排除者角色。

三、“学案制”教学模式的理论基础和建构

（一）建构主义学习理论

建构主义学习理论是“学案制”教学模式的理论基础，为了对“学案制”核心思想的认识，我们首先必须掌握建构主义学习理论的主要思想。

建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。由于学习是在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素或四大属性。

“情境”：学习环境中的情境必须有利于学生对所学内容的意义建构。这就对教学设计提出了新的要求，也就是说，在建构主义学习环境下，教学设计不仅要考虑教学目标分析，还要考虑有利于学生建构意义的情境的创设问题，并把情境创设看作是教学设计的最重要内容之一。

“协作”：协作发生在学习过程的始终。协作对学习资料的搜集与分析、假设的提出与验证、学习成果的评价直至意义的最终建构均有重要作用。

“会话”：会话是协作过程中的不可缺少环节。学习小组成员之间必须通过会话商讨如何完成规定的学习任务的计划；此外，协作学习过程也是会话过程，在此过程中，每个学习者的思维成果（智慧）为整个学习群体所共享，因此会话是达到意义建构的重要手段之一。

“意义建构”：这是整个学习过程的最终目标。所要建构的意义是指：事物的性质、规律以及事物之间的内在联系。在学习过程中帮助学生建构意义就是要帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其它事物之间的内在联系达到较深刻的理解。

由以上所述的“学习”的含义可知，学习的质量是学习者建构意义能力的函数，而不是学习者重现教师思维过程能力的函数。换句话说，获得知识的多少取决

于学习者根据自身经验去建构有关知识的意义的能力，而不取决于学习者记忆和背诵教师讲授内容的能力。

学生要成为意义的主动建构者，就要求学生在学习过程中从以下几个方面发挥主体作用：

1．要用探索法、发现法去建构知识的意义；

2．在建构意义过程中要求学生主动去搜集并分析有关的信息和资料，对所学习的问题要提出各种假设并努力加以验证；

3．要把当前学习内容所反映的事物尽量和自己已经知道的事物相联系，并对这种联系加以认真的思考。“联系”与“思考”是意义构建的关键。如果能把联系与思考的过程与协作学习中的协商过程（即交流、讨论的过程）结合起来，则学生建构意义的效率会更高、质量会更好。协商有“自我协商”与“相互协商”（也叫“内部协商”与“社会协商”）两种，自我协商是指自己和自己争辩什么是正确的；相互协商则指学习小组内部相互之间的讨论与辩论。

教师要成为学生建构意义的帮助者，就要求教师在教学过程中从以下几个面发挥指导作用：

1．激发学生的学习兴趣，帮助学生形成学习动机；

2．通过创设符合教学内容要求的情境和提示新旧知识之间联系的线索，帮助学生建构当前所学知识的意义。

3．为了使意义建构更有效，教师应在可能的条件下组织协作学习（开展讨论与交流），并对协作学习过程进行引导使之向有利于意义建构的方向发展。引导的方法包括：提出适当的问题以引起学生的思考和讨论；在讨论中设法把问题一步步引向深入以加深学生对所学内容的理解；要启发诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的或片面的认识。

（二）“学案制”教学模式的建构

教学模式是指在一定的教育思想、教学理论和学习理论指导下的、在某种环境中展开的教学活动进程的稳定结构形式。教学活动进程的简称就是通常所说的“教学过程”。众所周知，在传统教学过程中包含教师、学生、教材等三个要素。在现代教学中，通常要运用多种教学媒体，所以还应增加“媒体”这个要素。这四个要素在教学过程中不是彼此孤立、互不相关地简单组合在一起，而是彼此相互联系、相互作用形成一个有机的整体。既然是有机的整体就必定具有稳定的结构形式，由教学过程中的四个要素所形成的稳定的结构形式，就称之为“教学模式”。

那么，以建构主义学习理论为基础的“学案制”教学模式又应是怎样的呢？如上所述，建构主义学习理论提倡的学习方法是教师指导下的、以学生为中心的学习；建构主义学习环境包含情境、协作、会话和意义建构等四大要素。这样，我们就可以将与建构主义学习理论以及建构主义学习环境相适应的“学案制”模式概括为：“以学案为操作材料，以学生自主学习、教师导学为手段，以培养学生自主学习能力、提高学生科学素质为目标的教学策略体系。”在这种模式中，学生是知识意义的主动建构者；教师是教学过程的组织者、指导者、意义建构的帮助者、促进者；“学案”所提供的知识不再是教师传授的内容，而是学生主动建构意义的对象；是帮助教师传授知识的手段、方法，是用来创设情境、进行协作学习和会话交流，即作为学生主动学习、协作式探索的认知工具。因而，“学案制”成为教学活动进程中由教学过程的四个要素所形成的一种稳定结构形式，即建构主义学习环境下的教学模式。

四、学案制教学目前的研究现状及发展趋势

苏霍姆林斯基的教育思想：“只有能够激发学生进行自我教育的教育才是真正的教育”，同样只有适合学生的教学才是有效的教学。目前国内外对学生的自主学习意思的培养都极为重视，这也是我们开展此课题研究的的客观背景。

目前国内一些省市也已经在开展“学案制”的教学探索，在苏州、广东、湖北、浙江等地都出现了将“学案制”教学尝试作为课题在开展研究。甚至也出现了一些学校将“学案制”作为一所学校的统领课题，在所有学科的教学中都在进行研究和探索。说明“学案制”教学确实已经引起了教育界同仁的高度重视。新课程的实施也加速了大家对传统的注重教授知识转化到注重学生自主学习，主动参与学习的一种新型教学模式的研究中去。

五、“学案制”教学的设计

（一）“学案制”的设计原则

由于建构主义学习理论强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，是知识意义的主动建构者；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。可见在建构主义学习环境下，教师和学生的地位、作用和传统教学相比已发生很大的变化。在这种情况下，如果仍然沿用传统的教学设计理论与方法来指导，显然是不适宜的。为此，我们需要建立一套能与“学案制”学习环境相适应的全新的教学设计理论与方法体系。

1．主体性原则：主体性原则也就是“以学生为中心”的设计原则，这一点对于“学案制”教学设计有至关重要的指导意义，因为从“以学生为中心”出发还是从“以教师为中心”出发将得出两种全然不同的设计结果。至于如何体现以学生为中心，建构主义认为可以从三个方面努力：

（1）要在学习过程中充分发挥学生的主动性，要能体现出学生的首创精神；

（2）要让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识(将知识“外化”)；

（3）要让学生能根据自身行动的反馈信息来形成对客观事物的认识和解决实际问题的方案(实现自我反馈)。

以上三点，即发挥首创精神、将知识外化和实现自我反馈可以说是体现以学生为中心的三个要素。

2．引导性原则：强调“以学生为中心”，并不意味着教师放任自流，撒手不管。恰恰相反，教师要立足于“主导”地位，充分考虑每个学生的个性不同，认知水平的高低层次，在编写学案时应依据教学内容，适时地、适当地采用多种多样的方式和方法，将难易不一、杂乱无章的内容处理成有序的、阶梯性的、符合每阶层学生的认知规律的学习方案，通过科学性、启发性，趣味性等问题设计和学案的情景设计，创造浓厚的情景氛围，使学生进入角色，激起兴趣，从而调动学生的积极性、主动性，达到提高全体学生素质，全面提高课堂教学质量。

3．探索性原则：“学案”本身就是一份探索性的自学提纲。学案设计时要将知识点转变为探索性的问题点、能力点，通过对知识点的设疑、质疑、释疑、激思，培养学生的能力品质和创新素质。热情地鼓励学生勇于探索创新，科学地设计问题引起探索，适时引线搭桥帮助探索是“学案制”的重要手段，是学案设计的关键所在。

4．系统性原则：中学各学科知识体系有其完整性、逻辑性。但许多学生确感到知识零碎、难以把握。教师在学案书写中就应重新整理、归纳，理出思路、找出知识突破口，使知识系统化从而更易于学生接受。

5．方法化原则：强化学法指导。通过学案制变“授人以鱼”为“授

人以渔”，同时注意学法指导的基础性和发展性。在引导学生形成基础性学习方法的同时，重视学生的发展性学习，让学生能够用已学方法，去解决新情况、新问题。

6．知识迁移性原则：学案的书写应该注重课本知识的深化和迁移，不应是书本内容的翻版。例如，在数列学完后，教师在学案中安排了新问题：如银行中的存款利率问题？用何种方法最合理？学生看到这个问题后，会发现这是一个新情境问题，可以展开讨论式教学，效果良好。

（二）学案的组成

根据课型的不同，学案的组成应有所不同，一般新授课学案应包括学习目标、学习重点、学习难点、学习活动设计、达标练习、推荐作业、阅读思考等部分。设计学案时，着力点应放在“学习活动设计”上，它包括学习内容和学法指导（如观察、记录、联想、对比、推理、归纳、思考、讨论等），还要拟定培养学生何种思维方法，训练何种学科能力，指导何种解题方法等，使静态的学习内容动态化。

复习课学案的编写应体现专题的特点，其内容应包含下列四大要素：学习目标、知识结构、认知方法、技能训练。

（三）学案的设计思路

1．根据建构主义学习理论及上述原则，教师在设计学案时应研究下述三项内容：

（1）研究教材和《课程标准》，以确定学习目标、学习重点、学习难点，深入挖掘知识点的能力价值。切合实际的制定出学习目标是“学案制”教学模式的基础，学案中要体现出明确、具体的学习目标。学习目标应包括：智力目标和非智力目标，其中智力目标包括知识目标、能力目标等；非智力目标包括情感目标、心理培养目标等。“学案制”教学认为智力目标是显性目标，应写在学案上，需要学生运用各种学习手段去完成；非智力目标是隐性目标，可不写在学案上，但需要教师在课堂上恰当调节，创造条件得以落实。

（2）研究学生的知识水平和学习方法，以确定对学生进行指导的方向和策略。

（3）研究知识规律，特别是知识点的衔接，以确定知识主线，学法指导线和能力培养线。①知识线：根据学生的认知规律，将知识点进行拆分、组合，设计成不同层次的问题，使学生形成明确的学习思路，它是学案上的一条明线，是完成教学任务，尤其是培养学生能力的载体和保证。②学法线：是指导学生学习方法的思路体系，是一条或明或暗的线。③能力线：是针对各知识点所载的能力价值，教学要求提出的一连串相互衔接的问题体系内涵，是一条暗线，但设计者心中应是一条非常明晰的线，它是学案设计的重心所在。

2．编辑推荐作业。教师针对不同层次的学生编辑推荐作业，以满足不同学生的学习需要。

3．选编阅读材料和思考题。在学案的“阅读思考”栏目中，教师选编一部分与教学内容紧密相关、联系生产生活实际或最新科技成果，兼具知识性、思想性并渗透科学方法的文字材料供同学们课外阅读，通过阅读，在培养阅读能力的同时激发同学们学科学、爱科学、用科学的热情。阅读之后，紧接着要对有关问题进行思考，在解答问题的过程中，及时将所学知识加以应用，从而达到知识迁移的目的。

六、“学案制”实施的策略

（一）示案亮标

依据建构主义学习理论，帮助学生进行学习目标的分析，以确定当前所学知识的“主题”，进行情境创设是教学的重要环节。为此，教师课前下发学案，通过

自学式、讨论式、教师点拨式等方式，呈现与学生当前学习主题的基本内容相关的情境，从而使学生认定学习目标、学习重点、学习难点，是实施“学案制”的首要条件。

（二）自主学习

学生依据学案，借助教材、媒体，思考问题、解答问题，对知识进行思维加工，将之同化到原有的知识结构，并顺应新知识，形成新知识网络，从而通过自主学习掌握知识和理论，这是“学案制”的主要环节。

（三）协作学习

学生自主学习结束，小组内同学讨论、邻组互补讨论。在共享集体成果的基础上达到对当前所学知识比较全面、正确的理解，即最终完成对所学知识的意义建构。

（四）精讲释疑

教师依据小组反馈和自己收集的学习信息，对学生自学达不到或不适应自学的内容，引导学生及时理解、掌握，并构建知识网络，同时解答学生学习过程中的疑点、难点。

（五）评价小结

学生通过在有限的时间里完成达标练习，检查是否完成对所学知识的意义建构。同时对自己的自主学习能力等方面做出评价。临近课堂结束，学生反思学习过程，自我评价，总结得失；反思、归纳所学知识、规律、思维方法。教师布置推荐作业，做好课外阅读指导。

对于上述学习操作可以根据教学实际作适当调整，如学习内容较易时，可把4与5换序。

七、实施“学案”教学的优势

通过“学案制”教学模式的实施，我们体会到这一模式具有以下优势。

（一）有利于培养学生的主体意识和主动精神

这是因为，第一，该模式是以建构主义学习理论为依据来设计的，建构主义学习理论强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，是知识意义的主动建构者。第二，学生的学习方式主要是自主学习和协作学习。第三，学习目标的认定、学习效果的评价也主要是由学生自主完成的。可见，此教学模式让学生掌握了学习活动的主动权。

（二）有利于培养学生学习能力

“学案制”教学法通过以学案的形式，通过对知识点的问题化、层次化，教法的讨论化、示范化，技能训练的方法化、自主化，对教学情境进行创造。让学生参与到知识的形成过程中，使学生动口、动脑、动手、动眼、动情，从认知、情感和行为上都积极投入到学习的全过程中，探索新知，获取方法，获得体验，增长智慧，发展创新精神和实践能力，从而帮助学生找到一种适合自身的学习方法，调整和克服了学习中的不良心理，实现了“以导促学，培养学生学会学习”的教学目的。

（三）有利于因材施教，促进学生的个性发展

利用“学案制”教学模式进行教学，由于学生的学习活动是自主、分散的，打破了以往整齐划一、齐步走的方式，就为分层教学因材施教提供了时间和空间，为发展学生个性、开发学生潜能创造了条件。

（四）有利于建立民主、平等的师生关系

“学案制”教学模式，使教师由过去课堂教学的“主宰者”转变为学生的“服务者”，有时又是与学生共同研讨的“参与者”。这样，为教学创造了良好的课堂氛围。

（五）有利于提高教师的业务能力

“学案制”教学模式的实施，必然会使教师教育思想进一步端正，树立正确的教育观、教学观、学生观、质量观；教师从新的理论角度进行教学设计、学案的编写及实施教学，对教师业务素质提出了更高的要求。随着“学案制”教学模式的实施，教师的业务能力、教学水平得到明显提高。

同时，我们也应看到，这种教学模式对教师要求高、劳动强度大。依靠集体的力量，通过教师集体备课，分工合作，才能更好的完成。

参考文献：

1．“学案导学教学模式”研究报告2006年7月11日浙江省金华一中课题组

2．运用学案教学全面提高课堂教学质量2005年11月1日陈毅中学课题报告

3．基于学科学习的“学案式”教材开发研究2005年11月富阳市常安镇中课题组

4．学案研究的基本定位丁晶2006年4月4日

5．《新课程理念下的探究型课堂教学方式研究》实施方案宜兴市教科研网2006年11月16日

6．何克抗，建构主义学习理论与建构主义学习环境，教育传播一技术，1996年第3期。

2．张建伟、陈琦，从认知主义到建构主义，北京师范大学学报（社会科学版），1996年第4期。

3．查有梁，“交流—互动”教学模式建构，课程••教材•教法，2001年第4期。

4．赵加琛等，优化教学结构培养学习能力，中学化学，1999年第9、12期，2000年第4期。

5．姚承智等，“自探共研”课堂教学模式探索，教育研究，2001年第2期。

6．何克抗，建构主义革新传统教学的理论，教育研究，1997年。

7．刘知新等，化学学习论，广西教育出版社，1999年3月。

8．刘知新等，教学系统论，广西教育出版社，1999年3月。

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方案

“高中数学课堂“学案导学”教学模式的理论与实践研究”结题报告

2008年8月，南昌大学附属中学课题组申报立项了课题“新课程实验下建构式的高中数学课堂教学模式的理论与实践研究”，课题以南昌大学附属中学学案教学研究的实践展开，故我们将课题名修正为“高中数学课堂“学案导学”教学模式的理论与实践研究”。一年来,我们对这一课题进行了专门研究和探索，现已取得了一定的成果.总结研究过程和结果，现报告如下：

一、课题研究的背景

江西省高中数学新课程改革已在2008年9月启动。“关注学生”是新课程的核心。有效转变学生的学习方式，提高学生的学习能力，成为教育改革的重要课题。实施素质教育，培养创新人才，课堂教学始终是主渠道。高中数学课堂教学如何适应新课程改革的要求？如何调动学生的学习积极性？如何引导学生主动学习？如何面向全体学生，让每个学生在课堂上都动起来？在学法指导上我们作为数学教师还能做哪些工作？这些就成为我们每一位教师必须面对和思考的问题。

传统的数学课堂教学以教师为中心，从教师的教出发，教师只要有教材和教参，就能依样操作。教学中的教学目标、教学重点、难点、教学方法等，都是从教师教的角度来设计的，在课堂教学实践中，教师往往忽视对学生的学习方法、学习态度、学习习惯、学习能力等知识以外素质的培养。在这种教学中，学生接受过程是被动的，无疑

影响了学生实践和创新能力的培养。

追求把数学课堂变成师生共同提出问题、共同解决问题的阵地，让学生积极参与课堂教学活动并主动学习，，全面提高学生学习数学的自主性，应是新课程中数学课堂教学改革的目标。

虽然教无定法，单教应有常法，构建以学生的学为中心的课堂教学模式。从学生学的角度，为学生的学习设计一种方案是必须的，在高中数学课堂中引入学案的“学案导学”是一种很值得关注和研究的课堂教学模式。这种教学模式符合建构主义学习理论，体现了高中数学课堂教学中师为主导、学为主体的教学原则。教师课堂教有教案，学生学有学案。课堂建立起学与教的桥梁，有效地改进教学过程中的师生互动模式，还学生数学课堂的“主体地位”。引导学生正确地确立学习目标和和适合自己的学习策略，增强学生学习的主动性和积极性，培养学生的主动探索精神和自主学习能力，真正让数学课堂动起来并能最终提高学习效率和教学效果。

目前国内的一些省市像浙江、湖北、广东等地都出现了“学案”辅助教学的探索，说明这种模式确实引起了教育界同仁的高度重视，同时新课程的实施也促使大家更多地投入到这种新的教学模式的研究与探索中去。

南昌大学附属中学校这几年实现了跨越式的发展，现已成为一所省重点高中，同时也是省新课改样本校。本课题组希望能以南昌大学附属中学所开展的学案研究为突破点，对高中数学课堂“学案导学”教学模式进行一些理论和实践的探索和研究，为高中数学新课标教材

的教学及高中新课改提供理论和实践的支持和借鉴。

二、课题的含义及主要概念界定

(一)概念的界定

本课题“学案”的定义是指用于引导和帮助学生自主学习和探究的方案，它是相对于“教案”而言的。“学案”是在教案的基础上为发展学生学习能力而设计的一系列问题探索，由学生直接参与并主动求知的学习活动方案。站在学生的角度着眼于如何调动学生学习的主动性，如何引导学生获取知识培养学习能力，它侧重使学生“会学”。“导学”是指教师在教案的基础上，利用学案引导学生学习，这种引导包括课前预习、上课、练习、复习、兴趣与能力培养、课后应用等各个具体的教学环节中，课堂上主要是“对话”形式利用学案对学习进行引导。“学案导学”教学模式是在深入研究教材的基础上，针对每课数学学习内容编制出学案。利用学案作为导航，使学生在课前对新课内容预先进行自主学习，然后带着未能解决的问题进入课堂，课后，是以学案为载体，学生自主整理、归纳、复习知识，形成能力。“学案导学“教学模式是包括课前、课中、课后，是以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体；师生共同合作完成教学任务的教学模式。

(二)课题研究的理论基础

建构主义理论：最早提出建构主义者是瑞士的皮亚杰。建构主义理论认为知识不是通过教师传授所得到的，而是学习者在一定的情景下，即一定的社会文化背景下，借助于他人(如教师和学习伙伴)

的帮助、利用一定的学习材料等，通过学习主体的“意义建构”而获得，同时又不能忽视教师的主导作用，认为教师是学生进行“意义建构”的帮助者和促进者。

最近发展区理论：由前苏联教育家维果茨基提出来的。维果茨基的研究表明：教育对儿童的发展能起到主导作用和促进作用，但需要确定儿童发展的两种水平：一种是已经达到的发展水平；另一种是儿童可能达到的发展水平，表现为“儿童还不能独立地完成任务，但在成人的帮助下，在集体活动中，通过模仿，却能够完成这些任务”。这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”。把握“最近发展区”，能加速学生的发展。

有意义学习理论奥苏伯尔指出:“如果我不得不把教育心理学的所有内容简约成一条原理的话，我会说:影响学习的最重要的因素是学生己知的内容。弄清了这一点，进行相应的教学。”可以说，这一条原理是奥苏伯尔整个理论的核心，他所论述的一切都是围绕这一原理展开的。奥苏伯尔认为，意义学习有两个先决条件: 1)学生表现出一种意义学习的心向，即表现出一种在新的学习内容之间建立联系的倾向。2)学习内容对学生具有潜在意义，即能够与学生已有的知识结构联系起来。任何学习只要符合以上两个条件都是意义学习.

素质教育理论：中共中央、国务院《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》指出“实施素质教育，就是全面贯彻党的教育方针，以提高国民素质为根本宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，造就有理想、有道德、有文化、有纪律的德智体全面发展

的社会主义建设者和接班人。”素质教育基本特征: 1）全面性和全员性。 2）主体性。 3）个体差异性。 4）创造性。

(三)课题研究的目的

1）对新课标下的高中数学教学观、学习观等理论进行分析研究，力求使教师形成与时代发展相适应的数学观、数学教育观和学生观。 2）在新课标下建构式的高中数学教学中，探索一种操作性强的建构式的“学案导学”的高中数学教学模式。也就是以学案为载体，以对话为形式的教学模式。

3）希望能探索新课标下建构式高中数学课堂教学模式的理论问题，具体地说就是希望通过我们的研究实践来检验或修正、增强甚至完善相关理论的指导性。

4）希望在本研究中培养教师，让我们的教师与新课程共同成长。

(四)课题研究的主要内容

1）学案的价值、特点及运用方案研究

本课题将以南昌大学附属中学所开展的学案研究为突破口，通过对学案的目的、学案与其它教学文本的关系、学案的内容、学案的运用方式等问题的研究，探求建构充满活力的师生共同成长的“学案导学”数学教学模式。

2）课堂教学中“对话”导学的意义、内容、方式的研究。

3）本课题特别关注课堂教学中的生命活动，学案导学是以学案为载体，以对话为形式的教学活动，对话是导学的关键。

4）对教师教研活动的特点和开展进行分析研究

本课题力求探索一条以课堂教学研究带动学校教研活动的途径。

(五)课题研究的方法

1）文献研究法：学习相关理论，查阅本课题的研究现状等相关资

料，对比研究传统课堂教学与建构式的课堂教学模式。

2）调查研究法：深入一线教师和使用新教材的学生进行调研，了

解相关信息。

3）行动研究法：通过自己的日常教学过程，探索总结。

三、课题人员组成及分工

课题名称高中数学课堂“学案导学”教学模式的理论与实践研究

负责人姓名黄伟民性别男民族汉出生年月1964、7 行政职务校长

专业

职务

中学高级（特级）研究专长数学

最后学历本科

主

要承担研究任姓名

性

别

年

龄

学

历

专业职称职务工作单位具体分工戴佳珉男64 本科数学高级

教学顾

问

省教研室顾问喻汉林男46 本科数学高级教研员省教研室总指导刘咏梅女47 本科数学

副教

授

教师江西师大理论依据

务

人员程晓杰男47

教育

硕士

数学高级副校长南大附中协调落实周加丰男46 本科数学高级

教导处

副主任

南大附中实验教学胡凌云女40 本科数学高级

教研组

长

南大附中实验教学高莹女24 本科数学二级教师南大附中实验教学何泉清男41

教育

硕士

数学高级教师

江西师大数

学教育硕士

建构式

理论周辉男27 本科数学二级教师南大附中实验教学徐少勇男27 本科计算机一级教师南大附中

计算机信

息与课程

的整合庄子娟女27 本科数学二级教师南大附中实验教学四、课题研究的计划

(一)启动阶段：

2008年8月——2008年9月

学习新课标、学习新教材，参加相关培训。

2008年9月——2008年10月

课题申报，成立课题组。理论学习，查阅文献，形成本研究的“框

架”

(二)实施阶段：

2008年10月—2008年12月

建构主义的数学教学观学习观、探究性学习等理论的研究

2008年12月—2009年2月

提出新课标下的建构式高中数学课堂教学的基本原则及模式

2009年2月—2009年5月实验教学

(三)总结阶段：

2009年5月—2009年6月

对前面各阶段的研究所取得的资料和数据进行分析研究，形成结题报告，申报结题.

五、课题研究的主要过程

(一)认真学习研讨，深化对课题研究目标和意义的理解

自申报课题后，我们组织高一数学教师和相关的课题同志认真学习新课标，学习新教材，学习现代教育理论，参加培训，并请来国家高中数学课程标准研制组负责人、北师大版主编王尚志教授、副主编张饴慈教授为我们做专题讲座，更新教育观念。大家对本课题的意义有了更进一步的理解，并就以下问题进行了思考和研讨，并达成了共识。

1）新课程需要怎样的课堂教学？我们认为，新课程的核心是关注“学生”，关注学生的发展。课堂教学要为每个学生可持续发展服务，本质是要把学习的主动性还给学生。新课改首先要改变的就是教师包

办，学生依赖的状况。“先学后教”发挥学生学习的独立性，“以教导学”充分发挥教师的引导作用。两者结合起来才能把学生的学习主动性调动起来，让我们的课堂活起来。

2）学案在课堂教学中能起怎样的作用呢？

我们认为至少有两点：（1）学案可以成为数学课堂连接教师、教材和学生的纽带。传统课堂教学普遍有两种倾向，就是“单向性”与“封闭性”。单向性是指以教师为中心，只站在教的角度来思考教学和处理教材，忽视学生学习的主动性和自主性。封闭性是指教案是教师自备自用，是专为教师的“教”而设计的，忽视了“学”，对学生来说没有公开性和透明性。学案能弥补教案的这两个不足，它能让学生课前很好了解教材和教师的意图，使学生有目标，从而挖掘学生自主学习的潜力。还学生主体性。通过学案学生在课堂上和教师互动起来，成为数学课堂连接教师、教材和学生的纽带。（2）学案是学生主动学习的需要。“学案”是指用于引导和帮助学生自主学习和探究的方案。是从学生的学的角度来设计的。能激发学生强烈的学习欲望，培养良好的学习兴趣和习惯，使学生直接参与课堂，真正确立学生的主体地位，给学生以自主学习的条件和机会，唤起学生的主体意识，发挥学生的主观能动性，提高学习效率。总而言之就是能更好地实现学生从“要我学”为“我要学”的转变，从“学会”到“会学”的转变。

(二)遵照课题研究的目标，围绕本课题的核心概念问题，召开

定期和不定期的教学研会。

锐角三角函数的定义

锐角三角函数的定义 锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名正弦余弦正切余切正割余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有 正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tan=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系： 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos cos=cotsin

三角函数的定义导学案

5，则 b的值。 3的终边上，且｜OP｜=2，则点P的坐标？ 2 ,-3),，则定义：叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝； α=- 5 2，则sin α，tanα的值分别为（另外，角α的正割：secα＝ 1 cosαx 角α的余割：cscα＝ 1 sinαy 角α的余切：cotα＝ 1 2C- 3 A 1 高一数学学案 必修四第一章第3节三角函数的定义（1） 制作人：适用范围：高一使用日期：4.17 【教学目标】 1、三角函数定义； 2、利用定义求角的六个三角函数； 3、特殊角的三角函数值。 4、通过角定义的学习，进一步体会数形结合的思想方法 【教学重难点】 1、用定义求三角函数值； 2、特殊角三角函数值。 【教学内容】 1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义 如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直 角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点． 变式训练2：若角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=- 3 例2、求下列各角的六个三角函数值： （1）0;(2)π；（3） 3π 2 变式训练3：若点P在角 π 【课堂练习】 1、（1）已知角α终边经过点p( 1 cosα=______，sinα=______，tanα=______， cotα=______，secα=______，cscα=______。 其中，r＝OP＝x2＋y2>0． x x r r y y r叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝r； 2、设π A、-1；不存在 B、1；不存在 C、-1；0 D、1；0 ）。 y y x叫做角α的正切，记作tanα，即tanα＝x． r ＝； r ＝； x tanα＝y． 例1、已知角α终边过点P（2，-3），求角α的六个三角函数值。 3、如果角α的终边过点（2sin30°，-2cos30°）,则sinα的值等于（） 13 2 B- 2 D 2 4、若角α的终边经过点M（0，m）（m≠0），则下列式子无意义的是（） A、sinα B、cosα C、tanα D、cotα 15．已知角 α的终边上一点的坐标为( 3 ,- 1 ),则角α的最小正值为( 22)变式训练1：设角α的终边经过点P（3x，-4x）（x＜0），则sinα-cosα的值？

函数的概念学案

函数的概念学案 学习目标 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的图像、定义域、值域 3、理解区间的概念，能准确地利用区间表示数集 4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括能力 教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 教学难点函数的概念、符号y=f(x)的理解、 教学流程 一、问题1、在初中，甚至在小学我们就接触过函数，在实际生产生活中，函数也发挥着重要的作用，那么，请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题，阅读课本实例（1）、（2）、（3），进一步体会函数的概念问题3、在实例（1）、（2）中是怎样描述变量之间的关系的？你能仿照描述一下实例（3）中恩格尔系数和时间（年）之间的关系吗？ 问题4、分析、归纳上述三个实例，对变量之间的关系的描述有什么共同点呢？ 函数的概念 一般地，设、是，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的一个数，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 问题5、在实例（2）中，按照图中的曲线，从集合B到集合A能不能构成一个函数呢？请说明理由 练习1、 1、在下列从集合到集合的对应关系中，不可以确定是的函数的是（）（1），对应关系 （2），对应关系 （3），对应关系 （4），对应关系 2、下图中，可表示函数的图像只能是（） 三、区间的概念

第九章 反比例函数复习学案

双曲线的两个分支分别位于第 象限； ，y 随着x 。 双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着的增大而 。 第九章 反比例函数复习学案 【知识点 1】反比例函数 1、 反比例函数的定义：一般地，形如_________（ ）的函数叫做反比例函数。其中x 是______，_______是_______的函数，k 是________ 2、 反比例函数自变量的取值范围：____________________ 3、 分式为0的条件：______________________ 【基础练习】 1、下列函数中y 是x 的反比例函数的有（ ）个 （1）x a y =（2）xy = －1 （3）11 +=x y （4）13y x = A 、1 B 、2 C 、 3 D 、4 2、函数5 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A 、－1 B 、－2 C 、2 D 、2或－2 【知识点 2】反比例函数的图像与性质 注意：反比例函数的图像是_____________________对称图形。 【基础练习】 1、若x k y 1 += 的图像经过（－1，3），则k =_________________ 2、写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限__________________ 3、已知函数2 5 (1)m y m x -=+是反比例函数，且图像在每一象限内，y 随x 的增大而增大， 则 m 的值是______ 4、正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ），则k ＝________． 【知识点 3】反比例函数性质的应用 【基础练习】 1、若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2 y x =- 的图象上，且1230x x x <<<，则下列判断中准确的是（ ） A ．123y y y << B ．312y y y << C ．231y y y << D ．321y y y << 2、反比例函数x y 6 = 图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 （ ) A ．321y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 3、一次函数1y kx b =+ 和反比例函数k =y x 的图象， 观察下列图象，写出当k ax b x +>时， x 的取 值范围________________________。 【知识点 4】反比例函数k 的几何意义 【基础练习】 1.已知点P 是反比例函数 图象上的一点,PD ⊥x 轴于D .则△POD 的面积为__________. 2y x =

初中数学锐角三角函数定义大全

初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1

sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα

sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα

三角函数的定义学案

学习目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等，掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域，会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。 课前预习 阅读课本P14—P17，填充下列空格 1.三角函数的定义（如图所示） 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是r （=r ），如上图所示，那么 ①比值 叫做α的正弦，记作 ，即 ； ②比值 叫做α的余弦，记作 ，即 ； ③比值 叫做α的正切，记作 ，即 ； ④比值 叫做α的余切，记作 ，即 ； ⑤比值 叫做α的正割，记作 ，即 ； ⑥比值 叫做α的余割，记作 ，即 。 2.三角函数的定义域 3.三角函数在各象限的符号 合作探究展示 角的终边 x y 0 αsin x y 0 αcos x y α tan

探究一 .已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值； 变式一 已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值； 探究二 求下列各角的六个三角函数值：⑴0； ⑵π； ⑶2 3π。 求 43π和56 π角的正弦、余弦和正切值． 引申 填表：

探究三 确定下 列各三角函数值的符号： ⑴516cos π； ⑵?? ? ??-34sin π； ⑶21556tan ' 已知点p （tan tan ,cos αα ）在第四象限，则角α 在第 象限 当堂练习 （一）选择题 1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－ 55 B ．－ 5 C ．552 D ．2 5 2、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α= 4 2 x ，则sin α的值为 （ ） A ． 410 B ．46 C ．4 2 D ．－410 3.若0sin <α且0tan >α，则α是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ） A. 52 B.52或52- C.52 - D.与a 无关 二．填空题

九年级数学上册 反比例函数全章学案(无答案)配套练习讲解(无答案) 北师大版

反比例函数概念 1、写出函数关系式，找出共同点, （1）长方形的面积为122 cm ，设一边为xcm,邻边为ycm ，则x 与y 的函数关系式为：y= . (2)京沪线铁路全长为1463，乘坐某次列车所用的时间t 与该次列车平均速度v 的函数关系为: . （3）已知工程队承包一项工程，写出工程效率v 与完成时间之间t 的函数关系式为: . 上述三个函数是一次函数吗？ 2、记住反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成y=k x （k ≠0）的形式，那么我们称y 是x 的反比例函数。 引导学习——概念的巩固与应用 3、下列函数中，哪些是反比例函数，其k 值为多少？ ①5y x = ②33y x =- ③ 25y x -= ④y =⑤1 32y =? ⑥1 2y -=- ⑦1 2y x -= ⑧14xy = ⑨ y=5-x ⑩ 33 y x -= 4、例题 例1 已知( ) 22 1 2m m y m m x +-=+ （1） 当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？ （2） 当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？ 解： 例2已知y 是x 的反比例函数，当x=3时,y=4求：当x=1时，y 的值. 四、检测： 反比例函数练习题第一课时[A 组] 1、下列函数中，哪些是反比例函数？( )

（1）y=-3x ； （2）y=2x+1； （3） y=-x 2 ；（4）y=3(x-1)2+1； 2、下列函数中，哪些是反比例函数（x 为自变量）？说出反比例函数的比例系数： （1） x y 1 - = ；（2）xy=12 ；（3） xy=-13 （4）y=3x 3、列出下列函数关系式，并指出它们是分别什么函数．说出比例系数 ①火车从安庆驶往约200千米的合肥，若火车的平均速度为60千米／时，求火车距离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式 ②某中学现有存煤20吨，如果平均每天烧煤x 吨，共烧了y 天，求y 与x 之间的函数关系式． 4、.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm ，宽是5cm ，高是xcm ． 写出用高表示长的函数式； 写出自变量x 的取值范围； 当x ＝3cm 时，求y 的值 5、已知y 与x 成反比例，并且x ＝3时y ＝7， 求：（1）y 和x 之间的函数关系式；（2）当 1 3x = 时，求 y 的值 (3)y ＝3时，x 的值。 7、写出一个经过点（－3，6）的反比例函数 你还能写出另外一个也经过点（－3，6）的双曲线吗？ 8、当m 为何值时，函数224 -= m x y 是反比例函数，并求出其函数解析式． 9、已知y 成反比例，且当4b =时，1y =-。 求当10b =时，y 的值。 10、若()2 31 1m m y m x ++=+是反比例函数，求m 的值. 11、已知函数k y x = （k ≠0）过点()1,3-，求函数解析式

锐角三角函数的认识

星火教育一对一辅导教案 学生姓名性别年级9年级学科数学 授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课 共（）次课 课时：课时 教学课题锐角三角函数的认识 教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义； 2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值； 3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4. 运用三角函数的关系化简或求值。 教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比. 2.添加辅助线解直角三角形 课后作业详见教案 提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：

（ 注意咯，下面可是黄金部分！） 知识点1 正切 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tan A ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan . ①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”； ④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90o,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB. 【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90o,BC=3,tanA=12 5 ，求AC. ★坡度（或坡比） 定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α= l h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数. 锐角三角函数的认识 典例

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

08辅导班基本概念学案

专题一、基本概念学案 一、化学基本概念考点及例题分析 1. 物质的组成、性质和分类 (1) 了解物质的分子、原子、离子、元素等概念的含义；初步了解原子团的定义。 [例题1]：下列广告用语在科学性上没有错误的是 ( ) A、这种饮料中不含任何化学物质 B、这种蒸馏水绝对纯净，其中不含任何离子 C、这种口服液含丰富的氮、磷、锌等微量元素 D、没有水就没有生命 (2) 理解物理变化与化学变化的区别与联系。 [例题2]：我国科学家在1993年首次利用超真空扫描隧道显微镜技术，在一块晶体硅（由硅原子构成）的表面通过探针拨动硅原子写下了“中国”两字。下列说法中正确的是（）A．在上述操作中没有任何变化 B．在上述操作中发生了物理变化 C．在上述操作中发生了化学变化 D．此技术说明在化学变化中原子可以再分 「例题3」下列变化一定属于化学变化的是： ①导电②爆炸③缓慢氧化④变色⑤无水硫酸铜吸水⑥工业制氧气⑦白磷转变成红磷⑧久置浓硝酸变黄⑨丁达尔现象⑩发光 A、①④⑨ B、⑥⑧⑩ C、②⑥⑦ D、③⑤⑦⑧ (3) 理解混合物和纯净物、单质和化合物、金属和非金属的概念。 [例题4]：下列各组物质中前一种是混合物,后两种是纯净物的是 A、蓝矾玻璃无色的刚玉 B、汽油液氯醋酸 C、石蜡纯盐酸王水 D、干冰铝热剂铁触媒 (4) 了解同位素等概念。 [例题5]：人类探测月球发现，在月球的土壤中含有较丰富的质量数为3的氦，它可以作为未来核聚变的重要原料之一。氦的该种同位素应表示为（） A ．He B．He C ．He D ．He (5) 理解酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系。 [例题6]：下列关于物质分类的正确组合是（） 2. 化学用语

第26章反比例函数全章导学案(共7份)

赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案 26.1 反比例函数 【学习目标】 1.会识别相关量之间的反比例关系，理解反比例函数的意义，能确定简单的反比例函数关系式． 2.通过对实际问题的分析、类比、归纳，培养学生的能力，并体会函数在实际问题中的应用． 【学习重点】理解和领会反比例函数的概念 【学习难点】反比例函数的建模，能列出实际问题中反比例关系式.. 【学习过程】 一、课前导学：预习课本第1页至第3页，完成下列问题: 1.我们形如 的函数叫做一次函数，当 时，又叫做正比例函数. 2.探究：反比例函数的意义 问题1：(1)京沪线铁路全长1 463km ，某次列车的平均速度vkm/h?随此次列车的全程运行问题th 的变化而变化，其关系可用函数式表示为： (2)某住宅小区要种植一个面积为1 000m 2 矩形草坪，草坪的长ym 随宽xm?的变化而变化，可用 函数式表示为 (3)已知北京市的总面积为 1.68×104km 2 ，人均占有的土地面 积Skm 2 /人，随全市总人口n 人的变化而变化，其关系可用函数式表示为 ． 问题2上述问题中的函数关系式都有什么共同的特征？ 答： . 4. 反比例函数的意义：一般的，形如 的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量， y 是函数学．自变量的取值范围是 的一切实数． 5.下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？ 6.已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6．写出y 与x 的函数关系式； 求当x=4时，y 的值． 7.若y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则x 与z 之间成______________关系. 8.已知y 与(2x+1)成反比例，且x=1时，y=2，那么当x=0时，y 的值是 二、 合作、交流、展示： 1.比例函数的意义：反比例函数的解析式 ,y= x k 反比例函数的变形形式：（1）xy=k (2)1 -=kx y 2.例题1.下列等式中，哪些是反比例函数? （1）3 x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23- = （6）31 +=x y （7）y ＝x －4 例题2.当m 取什么值时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数？ 例题3(拓展提升)．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 (1)求y 与x 的函数关系式； (2)当x ＝－2时，求函数y 的值 归纳总结： 注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数 ，故不能都设为k ， 要用 的字母表示。 三、巩固与应用： 1已知函数y=(m+2)x ｜m ｜－ 3是反比例函数,则m 的值是 ．. 2.已知y=y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x －2成正比例，并且当x=3时，y=5； 当x=1时，y=－1.求y 与x 之间的函数关系式. 3.下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有( ) ①当路程s 一定时,汽车行驶的平均速度v 与行驶时间t 之间的关系; ②当电压U 一定时,电路中的电阻R 与通过的电流强度I 之间的函数关系; ③当矩形面积S 一定时,矩形的两边a 与b 之间的函数关系; ④当受力F 一定时,物体所受到的压强p 与受力面积S 之间的函数关系. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 4．一张一百元的新版人民币把它换成50元的人民币，可得几张？换成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币，各可得几张？换得的张数y 与面值x 之间有怎样的关系呢？请同学们填表: 换成的面值x(元) 50 20 10 5 2 1 换成的张数y(张) (1)用含有x 的代数式表示y. (2)换成的面值x 会怎样变化呢？变量y 是x 的什么函数？为什么？ 四、小结： 1.反比例函数的意义；2.列出实际问题中反比例关系式 五、作业：必做：课本第3页； 选做：《作业精编》相应练习 赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案 ()()()(). 5 18;57;76;3652x y x y xy x y ==-=+-=()()()(). 24;23;4.02;51====xy x y x y x y

中考化学专题讲座基本概念和基本理论

中考化学专题讲座基本概念和基本理论 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

专题讲座一基本概念和基本理论 考点剖析： 1、化学用语 化学用语是化学学科的语言工具，熟悉并熟练应用化学用语，是初中学生应该具有的化学学科基本素质之一，初中化学常见的化学用语有：元素符号、离子符号、原子或离子结构示意图、化学式、化学方程式等，对其基本要求是能够理解其意义并能正确书写。 2、物质的组成、结构和分类 重点掌握物质的宏观组成和微观构成，会判断物质的类别并掌握各类物质的读法、写法。 3、物质的性质和变化 重点掌握物理变化、化学变化、物理性质、化学性质等基本概念，并运用这些概念对具体物质的性质和变化进行判别。 4、质量守恒定律 质量守恒定律的概念和理论解释，利用质量守恒定律去解决实际问题。 中考热点预测 1、元素符号和化学式 用化学用语表示微粒或元素化合价，根据物质名称或指定物质类别书写化学式是较典型的题。近年来联系最新科技信息的题目渐多，一般是根据题目提供的化学式说明新物质的元素组成或分子构成情况。 2、物质的结构和分类 分子、原子、离子定义及原子（或离子）结构示意图等内容是本部分考查的重点，联系环保、化工等问题，考查物质的类别、组成或构成及隶属关系。在介绍一种新物质或有关环保、毒品或中毒的事件后，要求考生根据题给信息进行讨论和判断，是较新潮的题型。 3、化学方程式 判断化学方程式的正误、理解化学方程式的意义、化学方程式的读法等内容是考查的重点，对化学反应类型的考查多与书写方程式相揉和，特别是复分解反应发生条件是必考点。 4、质量守恒定律 有关质量守恒定律的概念和理论解释是本部分的基础，利用质量守恒定律来解决实际问题是各地中考题中的常见题型，如：利用质量守恒定律判断化学反应之中某物质的质量变化、求某物质的化学式或推断物质的组成。 说明：本部分内容在各省市中考题中都有，常常作为中考试题的开篇题，考核率为100%，命题的形式有选择题、填空题和简答题等形式。 复习技巧点拨 1、掌握规律，把好记忆关，在记忆过程中注意总结，增强应变能力和迁移能力。 2、复习时要有所侧重，在中考中，化合价与化学式、化学方程式是必考知识点，对于这样的精品知识，复习时要重点突破。 3、抓住物理变化与化学变化的本质区别：有无新物质生成。

锐角三角函数教案

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2

三角函数的概念学案

三角函数的概念学案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案41 三角函数的概念、弧度制 一、课前准备： 【自主梳理】 ．任意角 （1）角的概念的推广： （2）终边相同的角： 2．弧度制： ， 弧度与角度的换算： ， ， ． 3．弧长公式： ， 扇形的面积公式： ． 4．任意角的三角函数

（1）任意角的三角函数定义 ， ， ， （2）三角函数在各象限内符号口诀是 ． 5．三角函数线 【自我检测】 ． 度． 2．是第 象限角． 3．在上与终边相同的角是 ． 4．角的终边过点,则 ． 5．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 6．若且则角是第 象限角． 二、课堂活动：

【例1】填空题： （1）若则为第 象限角． （2）已知是第三象限角，则是第 象限角． （3）角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为的圆）交于第二象限的点，则 ． （4）函数的值域为_____ _________． 【例2】（1）已知角的终边经过点且，求的值； （2）为第二象限角，为其终边上一点，且求的值． 【例3】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是． （1）若求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； （2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积． 课堂小结 三、课后作业 ．角是第四象限角，则是第 象限角． 2．若，则角的终边在第 象限．

3．已知角的终边上一点，则 ． 4．已知圆的周长为，是圆上两点，弧长为，则 弧度． 5．若角的终边上有一点则的值为 ． 6．已知点落在角的终边上，且，则的值为 ． 7．有下列各式：①②③④，其中为负值的序号为 ． 8．在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知两点的横坐标分别为，则 ． 9．若一扇形的周长为，则当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?最大值是多少? 的正弦、余弦和正切值． 四、纠错分析 错题卡 题号 错题原因分析 学案41

高三数学一轮复习第1课时数列的基本概念学案

高三数学一轮复习 第1课时 数列的基本概念学案 【课本导读】 1．数列的概念 按 排成的一列数叫做数列． 2．数列的通项公式 数列{a n }的 与n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f (n )来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． 若已知S n ，则a n ＝? ???? n ＝， n 3．数列与函数 数列可以看作是一个定义域为正整数集N * (或它的有限子集{1,2，…，n })的函数，当自变量 依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图像是 ． 4．数列的分类 (1)根据数列的项数可分为 、 ． (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为： ①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列． 5．递推公式 如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【教材回归】 1．(课本习题改编)已知数列的通项公式a n ＝n 2 －5n －14，n ∈N ＋，则： (1)这个数列的第4项是__________； (2)52是这个数列的第__________项； (3)这个数列的第__________项最小； (4)这个数列前__________项的和最小． 2．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式a n ＝__________. 3．(2014·高考调研原创题)已知数列{a n }的首项a 1＝2，若?n ∈N * ，a n ·a n ＋1＝－2，则a n ＝________. 4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 7＋a 8的值为______． 5．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最多是( ) A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个 【授人以渔】 题型一 归纳通项公式 例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)1,0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，710，9 17 ，…

理解锐角三角函数的定义

理解锐角三角函数的定义 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系， 是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．， (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 则锐角．，

【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案

5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ； =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。当πα=时，点P 的坐标是什么？当

322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。 叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2 ,0(π ∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

中考复习基本概念梳理

第一章声现象 1．声音的发生：由物体的振动而产生。物体振动停止，发声也停止。 2．声音的传播：声音靠传声介质传播。真空不能传声。通常我们听到的声音是靠空气传播的。 3．声音速度：在空气中传播速度是： 340m/s 。声音在固体中传播比液体快，而在液体中传播又比气体快。 4．声音在传播过程中碰到障碍物而被反射回来的现象叫回声。人耳朵能把回声和原声区分开的条件是：回声到达人耳的时间比原声晚0.1秒以上人就能听到回声；如果不到 0.1s，回声与原声相混使原声加强（t≥2×17/340 t≥0.1秒）。利用回声可测距离：s＝vt， 其中时间t是声音单程传播的时间。 5．乐音的三个特征：音调、响度、音色。 (1)音调:是指声音的高低，它与发声体的振动频率有关系。 (2)响度:是指声音的强弱，跟发声体的振动幅度、声源与听者的距离有关系。 (3)音色：不同乐器、不同人之间他们的音色不同 6．人们用分贝（dB）来划分声音强弱的等级， 30～40dB 是较理想的环境，为保护听力，应控制噪声不超过90 分贝；为了保证休息和睡眠，应控制噪声不超过 20 分贝。 6. 减弱噪声的途径： (1)在声源处减弱； (2)在传播中减弱； (3)在接收处减弱。 7. 人耳所能听见的声波频率：20Hz～2×104Hz； 次声波频率：f≤20Hz； 超声波频率f≥2×104Hz。 超声波的应用：测距、测速、成像、清洗、焊接、碎石等

第二章物态变化 一、温度计 1．温度：是指物体的冷热程度。测量的工具是温度计。 2．温度计是根据液体热胀冷缩的性质制成的。 3．摄氏温标(℃):单位是摄氏度。摄氏度的规定：把冰水混合物温度规定为0度，把 1标准大气压下沸水的温度规定为100度，在0度和100度之间分成100等分，每一等分为 1 ℃。 4．常见的温度计有(1)实验室用温度计；(2)体温计；(3)寒暑表。 5．体温计：测量范围是 35 ℃至 42 ℃，每一小格是 0.1 ℃。 6．温度计使用：(1)使用前应观察它的量程和分度值；(2)使用时温度计玻璃泡要与被测液体充分接触，不要碰到容器底或容器壁；(3)待温度计示数稳定后再读数； (4)读数时温度计液泡要继续留在被测液体中，视线与温度计内液柱的上表面相 平。 二、熔化和凝固 7．固态、液态、气态是物质存在的三种状态。 8．熔化：物质从固态变成液态的过程叫熔化。要吸热。 9．凝固：物质从液态变成固态的过程叫凝固。要放热. 10．熔点和凝固点：晶体熔化时的温度叫熔点；晶体凝固时保持不变的温度叫凝固点。同一晶体的熔点和凝固点相等。 11．晶体和非晶体的重要区别：晶体都有一定的熔化温度（即熔点），而非晶体没有熔点。 熔化和凝固曲线图：

人教版八年级下 反比例函数全章学案(共七节)

课题 17.1.1 反比例函数的意义 学习目标： 1.会识别相关量之间的反比例关系，理解反比例函数的意义，能确定简单的反比例函数关系式． 2.通过对实际问题的分析、类比、归纳，培养学生分析问题的能力，并体会函数在实际问题中的应 用． 重点：反比例函数意义的理解． 难点：反比例函数的建模． 学习过程 一、 预习新知 1、 阅读课本第39页至40页的部分，完成以下问题. 问题：（1）京沪线铁路全长1463 km ，某次列车的平均速度v km/h?随此次列车的全程运行时间t h 的变 化而变化，其关系可用函数式表示为： （2）某住宅小区要种植一个面积为1 000 m 2 矩形草坪，草坪的长y m 随宽x m?的变化而变化，可 用函数式表示为 (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km 2，人均占有的土地面积S km 2 /人，随全市总人口n 人的变 化而变化，其关系可用函数式表示为 ． 2、合作探究 分析 上述问题中的函数关系式都有y=k x 的形式，其中k 为常数． 归纳 一般地，形如y= k x （k 为常数，且k?≠0）?的函数称为 。 注意 在y=k x 中，自变量x 是分式k x 的分母，当x=0时，分式k x 无意义，所以x?的取值范围 二、课堂展示 【例1】 已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6． （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）求当x=4时y 的值． 例2. 若反比例函数y= k x 与一次函数y=2x-4的图象都过点A （m ，2）． （1）求点A 坐标． （2）求反比例函数解析式． 三、随堂练习 1．写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数 （1）平行四边形面积是24 cm 2 ，它的一边长x m 和这边上的高h cm 之间的关系是 ． （2）小明用10元钱去买同一种菜，买这种菜的数量m kg 与单价n 元/kg?之间的关系是 （3）老李家一块地收粮食1000 kg ，这块地的亩数S 与亩产量t kg/亩之间的关系是 2．若y 是x-1的反比例函数，则x 的取值范围是 3．若y= 1 1 n x 是y 关于x 的反比例函数关系式，则n 是