高中数学知识清单完整版
一、集合的含义与表示
（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
（2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“?” 表示）。
（3）常用数集及其表示符号
（4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。
二、集合间的基本关系
三、集合的基本运算
x x }x B ∈ x x }x B ∈
(1)A A ?=(2)A A A =;
A B B =A
B A =?
(1)A ?=?(2)A
A A =;
A B B =;
(4) A
B A =?
A B ?
()U C A =()U U C A =(4)()(U C A B =(5)U C
知识拓展：
设有限集合A 中元素的个数为n ，则（1） （1）A 的子集个数是2n ； （2）A 的真子集个数是2n -1； （3）A 的非空子集个数是2n -1；
（4）A 的非空真子集个数是2n -2。
一、不等式的定义
用数学符号“> 、< 、≤ 、≥ 、≠ ”连接两个数或代数式以表示它
们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质
三、比较大小的基本方法
作差法：
理论依据：0;0;0
a b a b a b a b a b a b
->?>-
基本步骤：
（1）作差；
（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数的恒等变形）；
（3）结论（与0比较）。
四、不等式的解法1、一元一次不等式组（a b
<）：
（1）x a
x b
>
?
?
>
?
的解集为}
{x x b>；（2）x a
x b
<
?
?
<
?
的解集为}
{x x a<；
（3）x a
x b
>
?
?
<
?
的解解为}
{x a x b
<<；（4）
x a
x b
<
?
?
>
?
的解集为?
2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
二次函
2
y ax bx
=+
3、绝对值不等式
（1）当0a >时，有{x a x x a >?>或}x a <；{}x a x a x a ?≠； 0x ?∈； x a 时，有
{cx d a x cx d a +>?+>或}cx d a +<；
{}cx d a x a cx d a +
（5）当0a =时，有
}{
00cx d x cx d +>?+≠； 0cx d +
（6）当0a <时，有
cx d a x R +>?∈；cx d a +
4、分式不等式
（1）()()()()()*0
00f x g x f x g x g x ≥??≥??≠??
；
（2）
()()()()()*0
00
f x
g x f x g x g x ≤??≤??≠?? （3）
()
()
()()0*0f x f x g x g x >?> （4）
()
()
()()0*0f x f x g x g x
1、定义
（1）两个非空的数集A 、B ；
（2）如果按照某种确定关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应；
（3）称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。 2、函数的定义域、值域
（1）定义域：自变量x 的取值范围； （2）值域：与x 相对应y 的取值范围。
3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 二、函数的相关结论
1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。
2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。
3、分段函数：自变量x 的取值范围不同，需要不同的对应法则。
（1）定义域：各个部分的并集； （2）是一个函数；
（3）求()f x ，要判断自变量x 在哪个范围内，在代入相应的表达式。 4、求函数定义域的方法：
（1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为R ；分母0≠；偶次根式下0≥；奇次根式为R ；0次幂底0≠；指数为R ；对数0> 。
（2）若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由
()a g x b ≤≤求出。
（3）若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则函数()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域。 5、求函数解析式的方法
（1）待定系数法：若已知()f x 的解析式类型，设出它的一般式，根据
特殊值，确定相关系数即可；
例1、已知()f x 是一次函数，且()()43f f x x =+ ，则()f x 的解析式。
（2）换元法：设()t g x = ，解出x ，代入()()f g x ，求()f t 的解析式即可； （3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于()f x 的方程组求出()f x ；
例2、已知函数()12f x f x x ??=+ ???
，求()f x 的解析式。
（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。
例3、已知()01f = ，对任意的实数,x y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+ ，求()f x 的解析式。 一、函数的单调性 1、单调函数的定义
2、单调区间的定义
若函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()f x 在这一区间上
具有单调性，区间D 叫做()f x 的单调区间。 3、判断（证明）单调性的方法
（1）图像法：在区间D 上，图像呈上升趋势，则函数在区间D 上是增函
数；反之，图像呈下降趋势，则函数在区间D 上是减函数。 （2）利用定义证明函数单调性的步骤： a. 任取12,x x D ∈，且12x x <； b. 作差()()12f x f x -；
c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；
d. 定号（即判断()()12f x f x -的正负，和“0”比较）；
e. 下结论（即指出函数()f x 在给定的区间上的单调性）。 4、几种初等函数单调性的判断（证明） （1）一次函数(0),y kx b k x R =+≠∈
解（证明）： 在定义域R 上任取12,x x R ∈,且12x x <，则
()()12f x f x -=()12()kx b kx b +-+
12()k x x =-
12120x x x x <∴-<
当0k >时，有
()()1212()0f x f x k x x -=-<
即 ()()12f x f x < 故函数y kx b =+在R 上是增函数。 而当0k <时，有
()()1212()0f x f x k x x -=->
即 ()()12f x f x >
故函数y kx b =+在R 上是减函数。 （2）二次函数()20y ax bx c a =++≠
解：单调区间为,2b a ??-∞- ??? ，,2b a ??-+∞???? ,当0a >时，函数在,2b a ?
?-∞- ???是减函数；在,2b a ??-+∞????上是增函数；当0a <时，函数在,2b a ??-∞- ??
?是增函数；在,2b a ??
-
+∞????
上是减函数 证明函数()20y ax bx c a =++>在,2b a ??-∞-
???是减函数；在,2b a ??
-+∞????
上是增函数。
证明：a. 在,2b a ??
-∞-
???
上任取12,x x ,且12x x <，则 ()()()
()()
()()()()()22
12112222
12122212121212121212()f x f x ax bx c ax bx c ax ax bx bx a x x b x x a x x x x b x x x x a x x b -=++-++=-+-=-+-=-++-=-++????
12120x x x x <∴-<
又12,22b b
x x a a
<-
<-
1212,22b b b
x x x x a a a
∴+<-
--+<- 又()120,a a x x b >∴+<-
()120a x x b ∴++<
()12()f x f x ∴-()()12120x x a x x b =-++>????
即 ()12()f x f x >
故函数()20y ax bx c a =++>在,2b a ??-∞- ???
是减函数。
b.在,2b a ??
-
+∞????
上任取12,x x ,且12x x <，则 ()()()
()()
()()()()()22
12112222
12122212121212121212()f x f x ax bx c ax bx c ax ax bx bx a x x b x x a x x x x b x x x x a x x b -=++-++=-+-=-+-=-++-=-++????
12120x x x x <∴-<
又12,22b b x x a a
>-
>- 1212,22b b b
x x x x a a a
∴+>-
--+>- 又()120,a a x x b >∴+>-
()120a x x b ∴++>
()12()f x f x ∴-()()12120x x a x x b =-++
即 ()12()f x f x < 故函数()20y ax bx c a =++>在,2b a ??
-
+∞????
是减函数。 （3）反比例函数(0)k
y k x
=≠
解：单调区间为(),0-∞ ，()0,+∞，当0k >时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都
为减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都为增函数。 证明函数(0)k
y k x
=>在(),0-∞上是减函数；在()0,+∞上是减函数。
证明：在(),0-∞上任取12,x x ,且12x x <，则
()()121221
122112
()k k
f x f x x x kx kx x x k x x x x -=
--=-=
12210x x x x <∴->
又()210,0k k x x >∴-> 又120,0x x <<，120x x ∴>
()()
211212
()0k x x f x f x x x -∴-=
>
即 ()12()f x f x >
故函数(0)k y k x
=>在(),0-∞上是减函数。
（4）指数函数x y a = ，当01a << 时，在R 上是减函数；当1a >时，在R 上是增函数。
证明：a. 在定义域R 上任取12,x x R ∈,且12x x <，则
()1
12212()x x x x f x a a f x a
-== 1212,0x x x x <∴-<
又1
2
01,1x x a a -<<∴>
即
()
12()
1f x f x > 故 ()12()f x f x >
所以函数()01x
y a a =<< 在R 上是减函数。
b. 在定义域R 上任取12,x x R ∈,且12x x <，则
()1
12212()x x x x f x a a f x a
-== 1212,0x x x x <∴-<
又1
2
1,1x x a a ->∴<
即
()
12()
1f x f x < 故 ()12()f x f x < 所以函数()01x y a a =<< 在R 上是增函数。 例1 讨论函数()()201
ax
f x a x =
>- 在()1,1-上的单调性。 解：任取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则
()()()
()()
()()()()()()
()()
()()
()()
12
122212*********
2221212122212221221212212122121221
22112221
2()11
1111111111111ax ax f x f x x x ax x ax x x
x ax x ax ax x ax x x ax x ax x ax ax x x ax x x x a x x x
x a x x x x x
x -=
-
-----=
----+=
---+-=
---+-=---+=
--
1211x x -<<<
()()222112120,10,110x x x x x x ∴->+>-->
又()()120,0a f x f x >∴->
故函数()()201
ax
f x a x =>-在()1,1-上为减函数。
二、函数的奇偶性
1、奇函数、偶函数的概念
2、判断（证明）函数的奇偶性的步骤
（1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称； （2）求()f x -；
（3）判断()f x -是否等于()f x 或()f x -：
a. 若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；
b. 若()()f x f x -=-,则()f x 是奇函数；
c. 若()()f x f
x -=且()()f x f x -=-,则()f x 既是偶函数又是奇函数；
d. 若()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-,则()f x 既不是偶函数也不是奇函数；
例2 判断下列函数的奇偶性
（1）()(1f x x =-
（2）(
)33
f x x =+-
（3）()22
21
(0),
21
(0);
x x x f x x x x ?-++>=?+-
解：（1）因为要使函数有意义，要满足
101x
x
+≥-，即 1010x x +≥??
->? 或10
10x x +≤??-
解得 11x -≤<
由于定义域关于原点不对称，所以函数()f x 既不是偶函数也不是奇函数。
（2）因为要使函数有意义，要满足2
40
330
x x ?-≥??+-≠??
解得 22x -≤≤ 且0x ≠ 所以函数的定义域关于原点对称。
(
)33f x x x
∴==+-
又()
f x x
-=
=-
()()f x f x ∴-=- ，即函数是奇函数。
（3）函数的定义域为}{0x x ≠ ，关于原点对称，
当0x >时，()()()()2
20,2121x f x x x x x f x -<-=-+--=--=-， 当0x <时，()()()()2
20,2121x f x x x x x f x ->-=--+-+=--+=-，
()()f x f x ∴-=- ，即函数是奇函数
三、二次函数 1、二次函数的定义
形如()2(0)f x ax bx c a =++≠ 的函数叫做二次函数。
2、二次函数的三种表示形式
（1）一般式：()2
(0)f x ax bx c a =++≠；
（2）顶点式：()2
24(0)24b ac b f x a x a a a -?
?=++≠ ??
?；
（3）两根式：()()()12(0)f x a x x x x a =--≠。 3、二次函数的图象和性质
四、幂函数
1、幂函数的定义
形如y x α= 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数。 2、幂函数的性质
（1）当0α> 时，幂函数y x α=有下列性质：
a. 图像都通过点()()0,0,1,1 ；
b. 在第一象限内，函数值随x 的增大而增大。 （2）当0α< 时，幂函数y x α=有下列性质： a. 图像都通过点()1,1 ；
b. 在第一象限内，函数值随x 的增大而减小
例 1 若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，求（1）()f x 的函数表
达式；（2）求12f ??
???
。
解：设()f x x α=，
()()432,43*2f f αα=∴= ，223*2α?= ，即23α=，故
2log 3α= ，所以()2log 3
f x x
=，则12f ?? ???=
22log 3
log 31
122
3
-==
。 例2 已知幂函数()()2
23m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，求()f x 的函数表达式
解：()f x 在区间()0,+∞上是单调增函数
2230m m ∴-++> ，即2230m m --<
13,m ∴-<< 又,0,1,2m Z m ∈∴=
当0,2m =时，()3f x x =不是偶函数，而当1m = 时，()4f x x =是偶函数
()4f x x ∴= 。