【中小学资料】2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程疑难规律方法学案 新人教B版选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
1 利用椭圆的定义解题
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值
例1 线段|AB |＝4，|PA |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( ) A ．2 B. 2 C. 5 D ．5
解析 由于|PA |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2
－c 2
＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 C 2．求动点坐标
例2 椭圆x 29＋y 2
25＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．
解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤?
????|PF 1|＋|PF 2|22＝? ??
??1022＝25，
当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．
由????
?
|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝|PF 2|，
解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，
此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3，0)． 答案 (±3，0)
点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标． 3．求焦点三角形面积
例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求
△PF 1F 2的面积．
解 由已知，得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2
－b 2
＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得
|PF 2|2
＝|PF 1|2
＋|F 1F 2|2
－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2
＝|PF 1|2
＋4＋2|PF 1|，
①
由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.
②
将②代入①，得|PF 1|＝6
5.
所以12
1121··sin 1202
PF F S
PF F F ??＝ ＝12×65×2×32＝3
53， 即△PF 1F 2的面积是3
5
3.
点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.
2 如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，
∠AF 2F 1＝60°.∴|AF 2|＝c ， |AF 1|＝2c ·sin 60°＝3c . ∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c .
∴e ＝c a
＝
23＋1
＝3－1.
答案
3－1
点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
例2 椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)、B (0，b )是两个顶点，如
果F 1到直线AB 的距离为
b
7
，则椭圆的离心率e ＝________.
解析 如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋y
b ＝1，
即bx －ay ＋ab ＝0.
∵点F 1(－c ，0)到直线AB 的距离为
b
7
，∴
b
7
＝
|－bc ＋ab |
a 2＋
b 2
，
∴7|a －c |＝a 2
＋b 2
，即7a 2
－14ac ＋7c 2
＝a 2
＋b 2
. 又∵b 2
＝a 2
－c 2
，整理，得5a 2
－14ac ＋8c 2
＝0. 两边同除以a 2
并由e ＝c
a
知，8e 2
－14e ＋5＝0， 解得e ＝12或e ＝5
4
(舍去)．
答案 12
3．利用数形结合求离心率
例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ? ??
??a 2c ，0作
圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析 如图所示，切线PA 、PB 互相垂直，PA ＝PB . 又OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ，
则四边形OAPB 是正方形， 故OP ＝2OA ，
即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝2
2
.
答案
2
2
4．综合类
例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1
＝15°，求椭圆的离心率．
解 由正弦定理得2c sin 90°＝|MF 1|sin 15°＝|MF 2|
sin 75°
＝|MF 1|＋|MF 2|sin 15°＋sin 75°＝2a sin 15°＋sin 75°
， ∴e ＝c a ＝1sin 15°＋cos 15°＝12sin 60°＝63
.
点评 此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cos
α＋β
2
cos
α－β2.
3 活用双曲线定义妙解题
在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹
例1 动圆C 与两定圆C 1：x 2
＋(y －5)2
＝1和圆C 2：x 2
＋(y ＋5)2
＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．
解 设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 因为动圆C 与两定圆相外切，
所以?
??
??
|CC 1|＝r ＋1，|CC 2|＝r ＋4，
即|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|＝10，
所以点C 的轨迹是以C 1(0，5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝3
2
，c ＝5，所以
b 2＝914
.
故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 2
9－4x 2
91＝1(y ≥3
2
)．
点评 依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支． 2．求焦点三角形的周长
例2 过双曲线x 216－y 2
9＝1左焦点F 1的直线与左支交于A 、B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2
为右焦点)的周长是________．
解析 由双曲线的定义知|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8， 两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝16， 从而有|AF 2|＋|BF 2|＝16＋6＝22，
所以△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝22＋6＝28. 答案 28
点评 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧． 3．最值问题
例3 已知F 是双曲线x 2
3－y 2
＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4，2)，求|PM |
＋|PF |的最小值．
解 设双曲线的左焦点为F ′， 则F ′(－2，0)， 由双曲线的定义知： |PF ′|－|PF |＝2a ＝23， 所以|PF |＝|PF ′|－23，
所以|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PF ′|－23，
要使|PM |＋|PF |取得最小值，只需|PM |＋|PF ′|取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，|PM |＋|PF ′|有最小值|MF ′|＝210， 故|PM |＋|PF |的最小值为210－2 3.
点评 本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：①若将M 坐标改为M (1，1)，其他条件不变，如何求解呢？②若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4．求离心率范围
例4 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，
且|PF 1|＝4|PF 2|，试求该双曲线离心率的取值范围． 解 因为|PF 1|＝4|PF 2|，点P 在双曲线的右支上， 所以设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝4m ，
由双曲线的定义，则|PF 1|－|PF 2|＝4m －m ＝2a ， 所以m ＝2
3
a .又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，
即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤5
3.
又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，5
3
]．
点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．
4 抛物线的焦点弦
例1 如图所示，AB 是抛物线y 2
＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
AB 的中点M (x 0，y 0)，过A 、M 、B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，
则有以下重要结论：
(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB |＝2(x 0＋p
2)(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；
(4)A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2
；
(5)A 1F ⊥B 1F ；
(6)A 、O 、B 1三点共线； (7)1|FA |＋1|FB |＝2p
. 以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线AB 的斜率不存在， 即与x 轴垂直时， |FA |＝|FB |＝p ， ∴
1
|FA |＋1|FB |＝1p ＋1p ＝2p . 当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝k ? ?
???
x －p 2，
并代入y 2
＝2px ， ∴?
?
???kx －kp 22
＝2px ，
即k 2x 2
－p (2＋k 2
)x ＋
k 2p 2
4
＝0.
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，
则x A ＋x B ＝
p k 2＋
k 2
，x A x B ＝p 2
4
.
∵|FA |＝x A ＋p
2，|FB |＝x B ＋p
2，
∴|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ， |FA |·|FB |＝? ?
???x A ＋p 2? ????
x B ＋p 2
＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p
2(x A ＋x B ＋p )．
∴|FA |＋|FB |＝|FA |·|FB |·2
p
，
即
1
|FA |＋1|FB |＝2p
. 点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．
例2 设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝________.
解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1，0)． 由FA →＋FB →＋FC →
＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，
|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.
答案 6
5 求曲线方程的常用方法
曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法
求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点
M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1，0)，记点N 的轨迹为曲线E .
(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈??????1
2，32，求点Q 的纵坐标的取值范围．
解 (1) 依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线， ∴|NA |＝|NM |.
∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2＝|AC |，
∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝3.
∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)．
由(1)知a 2
－b 2
＝1.又C (－1，0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋y
b ＝1，即bx －y ＋b ＝0.
设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1，0)关于直线l 对称，
∴?????
y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y
2＋b ＝0，
消去x 得y ＝
4b
b 2
＋1
. ∵离心率e ∈??????1
2，32，∴14≤e 2≤34，
即14≤1a 2≤34.∴43≤a 2
≤4. ∴43≤b 2
＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝
4b b 2
＋1＝4
b ＋
1
b
≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝
3
3
时，y ＝3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]． 2．直接法
若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．
例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与
l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.求圆心M 的轨
迹方程．
解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2， 则d 2
1＋132
＝r 2
，d 2
2＋122
＝r 2
， ∴d 2
2－d 21＝25，
即? ????|3x －2y ＋3|132－? ??
??|2x －3y ＋2|132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.
点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可． 3．待定系数法
若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．
例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA ＝2
3，求椭圆的方程．
解 椭圆的长轴长为6，cos∠OFA ＝2
3，
所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， 所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2
＋|OF |2
＝b 2
＋c 2
＝a ＝3，c 3＝23
，所以c ＝2，b 2＝32－22
＝5，
故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 2
9＝1.
4．相关点法(或代入法)
如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．
例4 如图所示，从双曲线x 2
－y 2
＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．
分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．
解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，∵点P 是线段QN 的中点，
∴N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0)．
又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.
① 又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 0
2x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .
②
由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝1
2(x ＋3y －2)．
又∵点Q 在双曲线上，
∴14(3x ＋y －2)2－14
(x ＋3y －2)2
＝1. 化简，得? ????x －122－? ????y －122＝12
.
∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为
? ????x －122－? ??
??y －122＝12. 点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P 、
Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．
5．参数法
有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．
例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1，0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 解 如图，设OP 的斜率为k ， 则P (2，2k )．当k ≠0时， 直线l 的方程：y ＝－1
k
x ；
① 直线m 的方程：y ＝2k (x －1)．
②
联立①②消去k 得2x 2
＋y 2
－2x ＝0 (x ≠1)．
当k ＝0时，点Q 的坐标(0，0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2
＋y 2
－2x ＝0(x ≠1)．
6 解析几何中的定值与最值问题
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2
＋μ2
为定值．
证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合， 则OM →＝OA →
，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2
＋μ2
＝1，现在需要证明λ2
＋μ2
为定值1.
设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，
∴?????
x 21a 2＋y 21
b
2＝1， ①x 2
2a 2
＋y 22b 2
＝1， ②
①－②得
x 1－x 2
x 1＋x 2
a
2
＋
y 1－y 2
y 1＋y 2
b
2
＝0，
即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－b 2x 0a 2y 0， 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.
∴直线ON 的方向向量为ON →＝? ?
?
??1，－b 2
a 2，
∵ON →
∥a ，∴13＝b 2
a
2.
∵a 2
＝3b 2
，∴椭圆方程为x 2
＋3y 2
＝3b 2
， 又直线方程为y ＝x －c .
联立?
????
y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2
，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2
＝0.
∴x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2
－3b 2
4＝38
c 2
.
又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →
，
得?
??
??
x ＝λx 1＋μx 2，
y ＝λy 1＋μy 2，
代入椭圆方程整理得
λ2
(x 2
1＋3y 2
1)＋μ2
(x 22＋3y 2
2)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2
. 又∵x 2
1＋3y 2
1＝3b 2
，x 2
2＋3y 2
2＝3b 2
，
x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2
＝32c 2－92
c 2＋3c 2
＝0， ∴λ2
＋μ2
＝1，故λ2
＋μ2
为定值．
例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >0，b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等
差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →
. (1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1， 且(2a )2
＋(2b )2
＝2(2c )2
，又a 2
＝b 2
＋c 2
，所以a 2
＝3. 所以椭圆的方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，
N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，
由PM →＝λ1MQ →
知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1
－1.
同理由PN →＝λ2NQ →
知λ2＝m y 2
－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，
①
联立?
??
??
x 2
＋3y 2
＝3，x ＝t y －m 得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2
－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m 2t 4
－4(t 2
＋3)(t 2m 2
－3)>0，
②
且有y 1＋y 2＝2mt 2
t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2
－3t 2＋3，
③
③代入①得t 2m 2
－3＋2m 2t 2
＝0，
∴(mt )2
＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②， 得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点． 2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等，求解最大或最小值．
例3 已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋
|PA |的最小值为________．
解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4，0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，|PF ′|＋|PA |最小需P 、F ′、A 三点共线，最小值即4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝4＋5＝9. 答案 9
点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4 已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →
的最小值． 解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有
x －
2
＋y 2
－|x |＝1.
化简得y 2＝2x ＋2|x |.
当x ≥0时，y 2
＝4x ；当x <0时，y ＝0.
所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2
＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)． (2) 如图，
由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由???
??
y ＝k x －，
y 2
＝4x
得k 2x 2
－(2k 2
＋4)x ＋k 2
＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4
k
2，x 1x 2＝1.
因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1
k
.
设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，
则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2
，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1
＝1＋?
??
??2＋4k
2＋1＋1＋(2＋4k 2
)＋1
＝8＋4?
??
??k 2＋1k
2≥8＋4×2
k 2·1
k
2＝16.
当且仅当k 2
＝1k
2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.
7 圆锥曲线中存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题
例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2
－y 2
＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，
B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．
分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为?
??
??x 1＋x 22，y 1＋y 22.
依题设有
y 1＋y 2
2
＝2·
x 1＋x 2
2
，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)， ①
又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，
②
由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，
③
联立?
????
y ＝ax ＋1，3x 2－y 2
＝1得(3－a 2
)x 2
－2ax －2＝0，
∴x 1＋x 2＝
2a
3－a
2， ④
把④代入③，得(2－a )·
2a 3－a 2＝2，
解得a ＝32，经检验符合题意，∴k AB ＝3
2
，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝3
2×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题
例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原
点O ，椭圆x 2a 2＋y 2
9
＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C 的方程；
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在． 解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上， 设圆心的坐标是(－p ，p ) (p >0)， 则圆的方程可设为(x ＋p )2
＋(y －p )2
＝8， 由于O (0，0)在圆上，∴p 2
＋p 2
＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝8.
(2)椭圆x 2a 2＋y 2
9
＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝
10，a ＝5，
∴椭圆右焦点为F (4，0)．
假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，
则有?
??
??
m ＋2＋
n －
2
＝8，
m －
2
＋n 2
＝16
且m 2＋n 2
≠0，
解得?????
m ＝45，n ＝12
5，
故圆C 上存在满足条件的点Q ? ??
??45，125.
3．直线存在型问题
例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 2
3
＋y 2
＝1交于两个不同的点M ，
N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明
理由．
分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．
由?????
y ＝kx ＋m ，x 23
＋y 2
＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2
－3＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x P ＝
x 1＋x 2
2＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m
1＋3k
2， ∴k AP ＝3k 2
－m ＋1
3mk
.∵AP ⊥MN ，
∴3k 2
－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2
＋12.
由Δ＝36m 2k 2
－4(1＋3k 2
)(3m 2
－3)
＝9(1＋3k 2
)·(1－k 2
)>0，得－1 8 圆锥曲线中的易错点剖析 1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误 例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程． 错解 如图所示，设A (0，y )，B (x ，0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为? ?? ??x 2，y 2，连接OP ， 由直角三角形斜边上的中线性质有|OP |＝12|AB |＝12a .故? ????x 22＋? ????y 22＝? ?? ??a 22 ， 即所求的轨迹方程为x 2 ＋y 2 ＝a 2 . 错因分析 求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为x ，y 上述解法 是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误. 正解 设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n ，0)， 则m 2 ＋n 2 ＝a 2 ，x ＝n 2，y ＝m 2， 于是所求轨迹方程为x 2＋y 2 ＝14a 2. 2．忽视定义中的条件而致误 例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0，4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段 错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A. 错因分析 在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF 1|＋|MF 2|>|F 1F 2|，亦即2a >2c .而本题中|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2. 正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 D 3．忽视标准方程的特征而致误 例3 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程． 错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m 4. 又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m 4＝4.∴m ＝8或m ＝－16. 所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2 或y ＝－16x 2 . 错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x 2 ＝1m y 的形式，再求解. 正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2 ＝1m y ， 其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－1 16. 则所求抛物线的标准方程为x 2 ＝8y 或x 2 ＝－16y . 4．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误 例4 正方形ABCD 的A ，B 两点在抛物线y ＝x 2 上，另两点C ，D 在直线y ＝x －4上，求正方形的边长． 错解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 2 1)，B (x 2，x 2 2)， 则由??? ?? y ＝x ＋b ，y ＝x 2 ?x 2－x －b ＝0， |AB |2 ＝(1＋k 2 )[(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2]＝2(1＋4b )． ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4| 2， ∴2(1＋4b )＝ b ＋ 2 2 ，即b 2 －8b ＋12＝0， 解得b ＝2或b ＝6，∴|AB |＝32或|AB |＝5 2. 错因分析 在考虑直线AB 与抛物线相交时，必须有方程x 2 －x －b ＝0的判别式Δ>0，以此来限制b 的取舍. 正解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 2 1)，B (x 2，x 2 2)， 则由??? ?? y ＝x ＋b ，y ＝x 2 ?x 2－x －b ＝0， |AB |2 ＝(1＋k 2 )[(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2]＝2(1＋4b )． ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2， ∴2(1＋4b )＝ b ＋ 2 2 ，即b 2 －8b ＋12＝0， 解得b ＝2或b ＝6，∵Δ＝1＋4b >0，∴b >－1 4. ∴b ＝2或b ＝6都满足Δ>0，∴b ＝2或b ＝6. ∴|AB |＝32或|AB |＝5 2. 5．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误 例5 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程． 错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以抛物线方程可设为y 2 ＝2px (p >0)． 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p 2＋m ， 所以???? ? －2 ＝2pm ，p 2 ＋m ＝5， 解得????? p ＝1，m ＝9 2 或???? ? p ＝9，m ＝1 2 . 所以抛物线方程为y 2 ＝2x 或y 2 ＝18x . 错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为 y 2＝2px (p >0)． 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p 2＋m ， 所以???? ? －2 ＝2pm ，p 2 ＋m ＝5，解得???? ? p ＝1，m ＝9 2 或???? ? p ＝9，m ＝1 2 . 所以抛物线方程为y 2 ＝2x 或y 2 ＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限， 抛物线方程可设为y 2 ＝－2px (p >0)， 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p 2＋m ， 所以???? ? －2 ＝－2pm ，p 2 ＋m ＝5， 解得? ??? ? p ＝5＋34，m ＝5－34 2或? ??? ? p ＝5－34， m ＝5＋34 2(舍去)． 所以抛物线方程为y 2 ＝－2(5＋34)x . 综上所述，抛物线方程为y 2 ＝－2(5＋34)x 或y 2 ＝2x 或y 2 ＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论. 正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐 高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。 (3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 谈高中数学新课改 发表时间：2012-04-27T11:42:55.090Z 来源：《少年智力开发报》2012年第35期供稿作者：王秀敏[导读] 我认为,新课改的实质,就是落实素质教育和创新教育。 河北省清河中学王秀敏 一、高中数学课程改革前的教学现状 从我国课程的现状来看,我们的数学课程内容比较系统,重视数学理论,学生基础知识掌握得比较扎实,常规计算等基本技能比较熟练,这是联系实际、培养能力的重要基础。但是数学课程中的不足也亟待改革,过分关注基本知识和基本技能的掌握,忽视学生的感悟和思考过程,忽视对数学的科学价值、应用价值和文化价值的揭示,忽视对学生学习兴趣、信心的激发和培养,我们的课程内容缺少与学生的生活经验、社会实际的联系以及与其他分支、学科之间的联系,没有体现数学的背景和应用以及时代发展和科技进步与数学的自然联系,会使学生感到数学无用。我们更应看到:科学技术的发展进入到信息时代后,原高中数学教学内容的陈旧,刻意的形式化的表达,以及对数学作为工具课所应起的作用的忽视,都制约了数学课的功能的发挥。所以我国高中数学教学内容及教学方法的改革势在必行。 二、新课标实施中的亮点 高中《数学新课程标准》中,倡导数学课程应该反璞归真,努力揭示数学的概念、法则、结论发生、发展过程和数学的本质,教师在教学过程中,根据数学知识结构,学生已有的认知水平,让学生了解知识产生的背景,体验数学知识的发生和发展过程,这样将有利于培养学生科学的学习态度和方法,激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯,培养创新精神。借着新课程改革的东风,我们应当认真学习、不断反思、开拓创新,在继承和发扬优秀的教学传统的基础上,让自己跟上时代的步伐。新课程理念理应走进广大一线教师的心里,落实到实际的课堂教学中。 三、新课程改革存在的一些问题 1.教师教学理念与新课标的要求不合拍。教学方式的改变追根究底是教育理念的转变,新课标的特点具有开放性、创造性、不确定性。实施过程中,教师应积极转变传统的教育教学方式,解放自己的思想,转变教育思想观念,改革教学方法,使自己从高中数学课程的忠实执行者向课程决策者转变,创造性地开发数学教学资源,大胆地改变现有的教学模式,彻底改变教学方法,多给学生发挥的机会,为学生提供丰富多彩的教学情境,引导学生自己探索数学规律、自己去推论数学结论,要善于创设数学问题情境,引导学生体验数学结论的探究过程。 2.教材的编排顺序和学生理解知识程度的矛盾。对于立体几何的教学,人们通常采用直观感知,操作确认,思维论证,度量计算等方法认识和探究几何图形及其性质。必修2中第一章内容的编排,似乎和编者的意图不相符合,往往造成把直观图一节内容忽略化。根据学生认知的特点,我的建议是想让学生对空间几何体的结构有一个初步的认识(直观感知部分),然后让学生了解这些几何体的画法,即直观图一节(操作确认部分),接着介绍空间几何体的表面积和体积,把三视图放在最后(以上是思维论证与度量计算),通过对三视图的理解,会根据三视图想象空间几何体的形状,画出直观图,去求其表面积和体积,水到渠成,并与高考相呼应。另外课本中例题与习题的难易不相匹配,例题简单,与新理念匹配,但习题部分直接加强了难度,没有过度之意。学生一时很难接受,教师不知如何下手。好似“新鞋子,老路子”。 3.学生对课程内容的把握受学校的硬件设施的制约。科学技术的发展过渡到了信息时代,很多数据图像的处理已经不再单独依赖传统计算。但一年的教学下来,很多老师有同感:新课标适合学生素质高,学校硬件设施较强的学校,必修1中的第三章内容是函数的应用似乎体现了数学来源于生活,又可以解决生活中的一些问题,事实上很多知识是靠计算机来完成的,如数据的处理,图像的做法完全借助于计算机,学生虽了解其然至知其所以然,但由于缺乏动手操作能力,理论缺乏实践的检验,往往效果不佳。这对于普通高中甚至是条件不好的地区来讲,恐怕不能涉足。这样限制了学生才能的发挥,对高校选拔人才也会受到影响,教材的编写者是否忽略了这一点呢。 我认为,新课改的实质,就是落实素质教育和创新教育。数学课程改革是一个动态的持续发展过程,我们数学教师应顺应时代发展的趋势,转变教育观念,本着以人为本、注重个性发展的教育新思路,面向全体学生,通过恰当的教育模式和方法,培养学生的创造性思维与综合实践能力,为社会培养出具有创新精神和实践能力的复合型人才作出新的贡献。 高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a) tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa 初中数学公式表 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积 1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 高中数学新课改文章 教师是新课改的实施主体,对一线教师而言,最重要的就是课堂教学。我结合自己对新课改的理解,结合教学实践谈一些看法与认识。 一、低起点，融知识于符号中 尝试:在常用数集的符号表示中,正整数集记作N+或N+,在教学过程中,一些细心的学 生就有疑问:原本表示自然数集,在右上角或右下角分别添加+怎么就能表示正整数集呢?在日常教学过程中,面对这样的小问题尤其是数学符号的选用,考虑到教学时间,用“约定俗成”加以回答也未尝不可。但也很有可能出现这样一种结果:时间是节省了,学生心中却对数学产生一种“冷冰冰”的感觉,打消了学习数学的兴趣。我在教学中花了不多的时间作 了简单解释虽然此时还没有学习补集运算,但丝毫不影响学生理解,学生茅塞顿开,令我感 到意外的是,有不少学生在学习函数定义域时用类似方法又“发明”了许多数集的符号,看到这些符号真有一种“心有灵犀”的感觉。而更重要的是,我用实际行动验证了数学的严 谨性和精确性,这比口头动员的效果要好得多。受此启发,在后面的教学中,每当引进一个 新的符号时,我总是尽量将相关符号的发展历史展现给学生。如幂的符号“a”,三角函数 符号“sin、cos、tan”,对数函数的底“e”,虚数单位“i”,积分号“∫”,等等,它们就像星星之火,照亮了学生学习数学的道路。 反思:符号是数学的语言,是记录、表达科学语言的文字。数学语言系统是一个符号化的系统,现代数学如果没有精确的符号是难以想象的。用符号表达数学的方法和内容是数 学的一大特点。正因为如此,数学语言的系统,不同于一般的语言系统,如汉语、英语、德语,数学语言是一种国际化的语言。因此,培养学生的符号感,对学生体会数学语言的简洁美、概括美,增强学习数学的兴趣,提高学习数学的积极性是很有必要的。 二、从全局把握,融知识于体系中 在教学过程中,我以函数为主线分两个方向重新安排了教学内容。其一,在讲授完函数概念后,向学生介绍一批具体函数的模型:指数函数、对数函数、幂函数,再介绍两个特殊 函数:具有周期性的函数——三角函数,以正整数集或其有限子集为定义域的函数——数列,最终目的是让学生从多方面、多角度深刻理解函数本质。其二,以函数为工具,把其它知识纳入其中。如果用函数的观点看待方程,那么方程的根就是函数的零点。如果用函数的观 点看待一元二次不等式,那么不等式的解就是使函数值大于0或小于0的x的取值范围。 如果用函数的观点看待线性规划,那么线性规划问题就是目标函数二元函数在可行域函数 定义域内的最值问题,最终目的是使学生体会函数思想给我们带来的好处。 摘要：当前高中数学新课改相当关键，尤其对于学生的能力以及素质均提出了全新 的要求和新的标准，所以在今后的教学过程当中还应当时刻明确高中数学新课改的难点和重点，更好地实现教育工作的发展。针对这一内容展开论述，详细分析了高中数学新课改 高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2 y =上的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点， F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 高中数学必背公式、常用结论 一．二次函数和一元二次方程、一元二次不等式 1． 二次函数 y ax 2 bx c 的图象的对称轴方程是 x b b 4a c b 2 ，顶点坐标是 2a ， 。 2a 4a 2. 实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0的解： ①若 b 2 4ac 0, 则 x 1,2 b b 2 4a c ; 2a ②若 b 2 4ac 0, 则 x 1 x 2 b ; 2a ③ 若 b 2 4a c 0，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 x b(b 2 4ac)i (b 2 4ac 0) . 2a 3. 一元二次不等式 ax 2 bx c 0(a 0) 解的讨论 : 二次函数 y ax 2 bx c （ a 0 ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax 2 bx c 0 x 1, x 2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 b 无实根 a 0 的根 2a ax 2 bx c 0 x x 1 x 2 x x b (a 的解集 x 或x 2a R 0) ax 2 bx c 0 x x 1 x x 2 (a 0)的解集 二、指数、对数函数 1．运算公式 m n m m 1 ⑴分数指数幂： a n ； a n （以上 a 0, m,n N ，且 n 1 ） . a m a n ⑵ . 指数计算公式： a m a n a m n ； (a m )n a mn ；（ a b)m a m b m ⑶对数公式：① a b N log a N b ； ② log a MN log a M log a N ； ③ log a M log a M log a N ； ④ log a m b n n log a b . N m 》 初中高中数学定理公式大全（超全） 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ~ 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 ？ 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 @ 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 高中数学新课程改革心得体会 高一年级数学组万舒婷随着社会经济时代的迅速发展，普通高中新课改主动适应了时代的需要，最终反映在高中生的素质发展上，因而，“以人为本”是高中新课改的根本理念，通过这两个月在工作实践中的学习，深深地感知，高中新课程要求尊重高中生的人生历程的发展需要，尊重他们作为人的人格和尊严，尊重他们的个体差异和个性发展的需要，从课程设计到课程实施都应体现选择性和多样性。 高中生面对的最根本的问题是人生道路的选择问题，那么高中课程的设计与实施突出引导学生思考并规划人生，形成合理的人生观，具有基本的职业意识和创新意识。比九年义务教育课程更关注学生深层次的生活需要。 首先，谋求课程的基础性、多样化和选择性的统一。其次，将学术性课程与学生的经验和职业发展有机结合。第三，适应时代要求，增设新的课程。除了在传统的学科课程中引进与课程目标相匹配的、鲜活的、有时代感的课程内容外，适时增加新的课程领域或门类。第四，倡导学生自定学习计划。那么每一学生在入学的时候，根据自己的兴趣、爱好、特点以及学校所提供的课程信息，制定个人的学习计划。随着学习进程的深入，学生可以根据自己的内部和外部的情景变化，不断调整所形成的计划，以尽可能适应自己的需要和特点。第五，实行学生选课指导制度，为了帮助学生形成合理的学习计划。最后，实行学分制管理。总之，都强调对高中学生公民的责任感，个性发展 与适应时代要求的基本能力、创造力与批判性的思维、交流、合作与团队精神和信息素养的培养，并要求学生具有国际视野。教材的设计更注重学生学会学习、学会合作、学会研究，充分发挥自己的独特潜能与创造性。我们知道每一个学生因为生活环境，智力发展，性格特点等多种原因会造成，每个人对知识的理解和接受有差异，表现出学习的效果不尽相同。这种现象是切实存在的，而教师应充分尊重学生的这种差异，对每个学生提出合理的要求，使每个学生都学有价值的数学，不同的人在数学上获得不同的发展。新课程通过问题的解决进行学习是信息技术教学的主要途径之一，可以激发学生的学习动机，发展学生的思维能力、想象力以及自我反思与监控能力，其次贴近学生的日常的学习和生活实际。还要引导学生通过交流，评价和反思问题解决问题的各个环节以及效果，在“做中学”、“学中做”的过程中提升他们的信息素养。 课程改革前途光明，但眼下困难与阻力也不容忽视。高中与初中的数学衔接问题，高考的问题；课程标准与教材中的问题；市场上大量充斥的滥编滥印的教辅教材问题；教师的素质水平和对课程改革的认识以及培训的一些问题……特别是课改后课堂上又要求让学生通过自己的探知和研究获取知识，老师不能直接告知，要重视学生探求的过程。这就需要耗费大量的时间，虽然这对提高学生的能力大有好处，但是课改后数学实际任务加重但课时又明显减少，要如何协调两者之间的矛盾，目前是我们很多老师都很困惑的一个问题。同时高考将会如何考，传统的重点，新增的内容，在高考中将如何体现，如何 学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．抛物线的焦点是? ?? ??－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝x D ．y 2＝－x 【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左， 其方程应为y 2＝－x . 【答案】 D 2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2 【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1. 【答案】 A 3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝y D ．无法确定 【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2 ＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以 所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C. 【答案】 C 4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－2,0) B ．(2,0) C ．(2,0)或(－2,0) D ．(4,0) 【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为???? ??a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C. 【答案】 C 5．若抛物线y 2 ＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，即p ＝4. 【答案】 D 二、填空题 6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)， 半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2. 【答案】 2 7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________． 【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2 高中数学必修2知识点 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 一.初中你可以刷题，运气好你可以刷到和中考很像的题,过程方法老师都帮你总结好了一套模板你就用吧，错不到哪去 高中你还想刷到高考的题？基本上没什么可能,固定过程模板套路是没有的，每道题都有区别,方法你得自己总结，它也是因人而异的。必须跳出自己的思维定势你才能在高中活下去 二、知识的差异初中数学知识少、浅、难度容易。高中数学知识广，难度大，是对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善——例如函数，将会陆续学到指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，甚至抽象函数等；例如几何，将由初中的平面几何推广到立体几何。 1.抽象与具体的差异——高中知识抽象程度完爆初中！高中学生普遍感到数学公式枯燥难记忆、数学符号抽象难想象、数学习题晦涩难理解，以函数的概念为例，初中的“变量说”是以生活中的事例为依托通过文字的叙述给出的，抽象程度较低，而高中教材采用了抽象程度更高的“函数映射说”通过引进函数符号f(x)，使得函数的众多性质可以通过形式化加以定义和证明。初高中课本的函数定义的对比：初中的定义：高中的定义：你觉得这样的定义抽象么？而且数学研究对象的抽象性还有逐层递进的特点，如果不能理解抽象程度较低的知识，学习抽象程度较高的知识就会有困难。有一个问题没听懂，后面不懂的就越来越多，致使学生丧失学习的激情，失去学习的兴趣，从而形成数学学习的恶性循环。 2.动态与静态的差异——变才是唯一不变的！在初中阶段往往习惯于“静态”思维，而高中数学无论从思维的广度和深度上都有很大的提高．所以，为了更好地感知高初中数学的区别，我们先复习圆的以下五个定理．从运动的观点看P点，如果我们允许P点可以在一条弦上自由运动，当P点运动到使圆中两弦垂直，且其中一条为直径时，其线段间的关系为定理(1)，若P点运动到圆外，则两弦变成割线，即为定理(3)，若其中一条割线变成切线的位置，即为定理(4) ，若另一条割线也变成切线，则成定理(5)了．尽管它们表述的容不一，但都有△APC∽△DPB这一统一关系式．辩证唯物论告诉我们，一切事物都是运动的．在解高中的有关问题时，要学会运用运动思想，善于处理动与静之间的关系． 三、知识学习过程的差异新教材高中数学体现了“螺旋式上升过程”的理念，将同一模块的知识分成片，每一片知识安排在的不同的学时或学年，例如函数，在必修1、必修4、选修2-2，分别是在高一和高二学年学习。这样的学习，要求学生循序渐进的掌握知识，提升能力。但在学习的过程中，在讲授某一知识的进阶容时，学生经常忘记之前的学习的容，这就要求在学习知识的过程中，尤其是第一次的学习时，一定要及时解决问题，不遗留问题，要不断的进行巩固。知识网络较初中知识更加复杂，需要注重知识结构的在联系。 四、学习方式的差异 1.学习时间上的差异：初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂教慢的速度，争取同学全面理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多（有九门课学生同时学习），每天至少上六门课，这样分配到各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少，而高中数学难度广度又上了一个台阶。时间就像海绵里的水，挤一挤总是会有的——能多挤出时间学习数学，你就可以比他人获得更高的成绩。 2.解题方式的区别：初中学生更多是模仿式的做题，他们模仿老师思维推理或者甚至是机械的记忆，而到了高中，随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即就是学生全部模仿训练做题，也不能开拓学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察(尤其是全国卷)，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿和机械的训练使学生带来了不利的思维定势，对高中学生带来了保守的、僵化的思想，封闭了学生的丰富反对创造精神。高中的试题，往往涉及到的知识点较初中更多，要求对高中数学知识网络之间有着整体的把握，要求对基础知识掌握的牢固，才能产生知识点与知识点之间的连节点。 3.学生自学能力的差异：①可以自学么？初中的容比较简单直观，看书一般就能够理解，基本上可以自学。但高中的数学知识，过于抽象，难度提升，需要老师的必要的讲解与指导。②是否需要自学？大部分初中考试中所用的解题方法和数学思想，老师会不断的进行整理归纳，学生也进行反复大量的训练，学生基本上不需自学，甚至一部分学生已经养成了饭来口的习惯，只要掌握好老师归纳总结的，基本成绩都不会太差。但高中的知识面广，要全部要训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，课后还需要通过自学归纳对课堂上的容进行整理。高中生学习数学时差异程度大，还要根据自身实际情况进行适度练习。学好数学，很大程度上要靠学生本身的自觉学习。 五、对思维习惯提出更高的要求初中学生由于学习数学知识的围小，知识层次低，知识面窄，对实际问题的思维受到了局限。举几何的例子来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格 学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________ 数学试题 圆锥曲线与方程 ． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟， 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ． 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项 ． 设12F F 、 为定点，126F F =，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 ． 若抛物线焦点在x 轴上，准线方程是3x =-，则抛物线的标准方程是 A ．2 12y x = B ．2 12y x =- C ．2 6y x = D ．2 6y x =- ． 已知椭圆方程为 22 1916 x y +=，那么它的焦距是 A ．10 B ．5 C ．7 D ．27 ． 抛物线2 6y x =-的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 ． 若椭圆满足4a =，焦点为()()0303-，，， ，则椭圆方程为 A ． 22 1167 x y += B ． 22 1169x y += C ． 22 1167y x += D ． 22 1169 y x += ． 抛物线2 40y x +=上一点到准线的距离为8，则该点的横坐标为 A ．7 B ．6 C ．7- D ．6- ． 一椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为 A ．34 B ． 32 C ． 22 D ．12 8． 椭圆的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，则该椭圆的离心率是 A ． 12 B ． 32 C ． 2 D ． 14 9． 椭圆 22 1164 x y +=在y 轴上的顶点坐标是 A ．()20±， B ．()40±， C ．()04±， D ．()02±， 10． 若双曲线的焦点在x 轴上，且它的渐近线方程为3 4 y x =± ，则双曲线的离心率为 A ． 54 B ． 53 C ． 7 D ． 7 11． 椭圆 22 1169 x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，则AB 等于 A ．5 B ．7 C ． 5 D ．4 12． 如果椭圆22 221x y a b +=经过两点()()4003A B ，、，，则椭圆的标准方程是 A ． 221259 x y += B ． 22 1163x y += C ． 22 1169x y += D ． 22 1916 x y += 13． 双曲线2 2 44x y -=的顶点坐标是 A ．()()2020-，、， B ．()()0202-，、， C ．()()1010-，、， D ．()()0101-，、， 14． 若双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．32 15． 双曲线 22 1169 x y -=的焦点坐标为 A ．()40±， B ．()30±， C ．()50±， D ．() 高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义：_____________________________________； 空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________（常用集合字母表示） 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义：对定义域内任意x ，都有___________y 值与之对应，称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式： ①分式要求：__________________； ②根式，开偶次方根，则_______________________； ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义：__________________________________________； 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义：__________________________________。 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义：_______________________________________。 当0>α时，图像恒过______________和_______________；在第一象限内单调_________； 当0<α时，图像恒过______________；在第一象限内单调_________； 6、如果函数是奇偶函数，其定义域一定关于_______________对称； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为奇函数； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为偶函数； 7、函数单调性定义：在区间D 内任取两个值1x 、2x ，设21x x <， 如果______________，则函数在此区间内单调递增； 如果______________，则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系：_____________、________________、_________________； 空间两平面位置关系：________________、______________； 空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________； 9、空间两直线所成角的范围：____________________； 直线与平面所成角的范围：____________________； 两异面直线所成角的范围：_____________________； 10、线面平行判定定理：_________________________________________________________； 线面平行性质定理：_________________________________________________________； 线面垂直判定定理：_________________________________________________________； 线面垂直性质定理：_________________________________________________________； 面面平行判定定理：_________________________________________________________； 面面平行性质定理：_________________________________________________________； 面面垂直判定定理：_________________________________________________________；高中数学公式大全(必备版)
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