2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分．

1.设集合{1,2,3,,99}A =L ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C I 的元素个数 .

解析：因为{1,2,3,,99}A =L ，所以{2,4,6,,198}B =L ,{1,2,3,,49}C =L ,于是 {2,4,6,,48}B C =I L ，共24个元素.

2.设点P 到平面α

，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30o 且不大于60o ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9

8πππ-=.

3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 .

解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有66720A =种不同的排法，要使abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数.

（1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形；

（2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为648972010=. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每P O M N α

种情况有333336A A ?=种不同情形，共有72中不同情形，abc def +是偶数的概率为729172010

-=. 4.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别是12,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ．已知线段PU 、PS 、PV 、PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ?的面积为 .

解析：不妨设弦ST 与UV 的交点位于第一象限，如图所示.则8ST =，4UV =，则点P 的坐标为(2,1).直线2x =被椭圆C 截得的弦长为4UV =，由22

2212x y a b x ?+=???=?

得

2222(4)b a y a -=

，24UV y ===，

即2a =.同理，由22

2212x y a b y ?+=???=?

得4b =.联立得220a =，25b =，所以215c =

，c =，12PF F ?的面积

为112

S =?=. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足

()1f π=,(2)2f π=，则不等式组121()2

x f x ≤≤??≤≤?的解集为 .

解析：()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，()()f x f x =-,(2)()f x f x +=, (2)()f x f x +=-，函数的图像关于1x =对称，()f x 在区间[0,1]上严格递减，所以()f x 在区间[1,2]上严格递增.(2)()1f f ππ-==,122π<-<且(82)(2)f f ππ-= 2=，1822π<-<.1()2f x ≤≤在[1,2]等价于(2)()(82)f f x f ππ-≤≤-，解之得

282x ππ-≤≤-.即不等式组121()2

x f x ≤≤??≤≤?的解集为[2,82]ππ--.

6.设复数z 满足1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为 .

解析：设复数z a bi =+，（,a b R ∈）.因为1z =，所以221a b +=.设方程222zx zx ++

0=的实根为m （0m ≠），则2220zm zm ++=，2()2()20a bi x a bi x ++-+=， 2222020

am am bm bm ?++=?-=?.由220bm bm -=得，0b =或2m =. （1）当0b =时，又由221a b +=，得1a =或1a =-.

当1a =时，2220am am ++=可化为2220m m ++=，方程无实根，舍去； 当1a =-时，2220am am ++=可化为2220m m --+=，方程有实根. 此时，1z i =-.

（2）当2m =时，代入2220am am ++=可得14

a =-，又由221a

b +=

，4b =或

4b =-.

此时2144z =-+

，3144

z i =--. 综上所述，12332z z z ++=-. 7.设O 为的ABC ?外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则sin BAC ∠的值为 .

解析：延长AC 到E ，使得CE AC =.连接OA ，OC ，OE .作直径BD ，连接DE .

因为2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，即AO AB AE =+u u u r u u u r u u u r ，所以，

四边形ABOE 为平行四边形，四边形ODEA 为菱形.

设AC m =,则2OC OA OB m ===.在AOC ?中， 利用余弦定理可得：1cos 4

OAC ∠=

，从而sin OAC ∠=. 又OAC AOD π∠+∠=，1cos 4

AOD ∠=-.2AOD BAO ∠=∠, 利用二倍角公式可得21cos cos 22cos 14

AOD BAO BAO ∠=∠=∠-=-

，所以，cos BAO ∠=,从而 B A C E O D

sin 4

BAO ∠=. 于是，sin sin()BAC BAO OAC ∠=∠+∠

sin cos BAO OAC =∠?∠+cos sin BAO OAC ∠?∠=

144444+?=. 8.设整数数列1210,,,a a a L 满足1013a a =，2852a a a +=且1{1,2}i i i a a a +∈++， 1,2,,9i =L ，则这样的数列的个数为 . 解析：因为1{1,2}i i i a a a +∈++，所以11i i a a +=+或12i i a a +=+. 一方面，1019a a ≥+,1013a a =,1139a a ≥+,192a ≥，1a 为整数，15a ≥；另一方面，10129a a ≤+?,1013a a =,11318a a ≤+,19a ≤.于是，159a ≤≤. 由2852a a a +=且1{1,2}i i i a a a +∈++，且1210,,,a a a L 都是整数，得: 当15a =时，1015a =,这时满足条件的数列共3个； 当16a =时，1018a =,这时满足条件的数列共28个； 当17a =时，1021a =,这时满足条件的数列共36个； 当18a =时，1024a =,这时满足条件的数列共12个； 当19a =时，1027a =,这时满足条件的数列共1个； 共计80个.