(完整版)2019年全国II卷文科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)

C ．(-1，2)

D ．?

2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．-1+2i

C ．1-2i

D ．-1-2i

3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=

A B ．2

C ．

D ．50

4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

A ．

2

3 B ．

35 C ．25

D ．15

5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙

C ．丙、乙、甲

D ．甲、丙、乙

6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x

-，则当x <0时，f (x )= A ．e

1x

--

B ．e

1x

-+ C ．e

1x

---

D ．e

1x

--+

7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=

4π，x 2=4

3π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3

2

C ．1

D ．1

2

9．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆

2213x y p p

+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3

C ．4

D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为

A ．10x y --π-=

B ．2210x y --π-=

C ．2210x y +-π+=

D ．10x y +-π+=

11．已知a ∈（0，

π

2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=

A ．15 B

C

D 12．设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2

交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为

A

B

C．2 D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若变量x，y满足约束条件

2360

30

20

x y

x y

y

?

?

?

?

?

+-≥

+-≤

-≤

，

，

，

则z=3x–y的最大值是___________.

14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.

15．ABC

△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A+a cos B=0，则B=___________.

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；

（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 18．（12分）

已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 19．（12分）

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）

8.602≈. 20．（12分）

已知12,F F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．

（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；

（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．

21．（12分）

已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；

（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=

3

θπ

时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.

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文科数学·参考答案

1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A

9．D

10．C

11．B

12．A

13．9

14．0.98

15．

3π4

16．261

17．解：（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ?平面ABB 1A 1，

故11B C BE ⊥．

又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．

（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ?

∠=∠=，故AE =AB =3，

126AA AE ==.

作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1

363183

V =

???=．

18．解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得

22416q q =+，即2280q q --=．

解得2q =-（舍去）或q =4．

因此{}n a 的通项公式为121

242n n n a --=?=．

（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L

．

19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为

147

0.21100

+=． 产值负增长的企业频率为

2

0.02100

=． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1

(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100

y =

-?+?+?+?+?=， ()52

2

1

1100i i

i s n y y ==-∑ 22222

1(0.40)2(0.20)240530.20140.407100

??=

-?+-?+?+?+??? =0.0296，

0.020.17s ==≈，

所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．

20．解：（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，

1290F PF ∠=?，2PF c =

，1PF =，

于是1221)a PF PF c =+=，故C

的离心率是1c

e a

=

=. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ?=，1y y

x c x c

?=-+-，22221x y a b +=，

即||16c y =，①

222x y c +=，②

22

221x y a b

+=，③ 由②③及2

2

2

a b c =+得42

2b y c =，又由①知22

216y c

=，故4b =．

由②③得()22

222a x c b c

=-，所以22

c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=

故a ≥

当4b =

，a ≥P ． 所以4b =，a

的取值范围为)+∞． 21．解：（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.

11

()ln 1ln x f x x x x x

-'=

+-=-. 因为ln y x =单调递增，1

y x

=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，

1ln 41

(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.

又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.

（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()

22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根

x α=.

由01x α>>得01

1x α

<<.

又1111()1ln 10f f αααααα????=---==

? ?????

，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

22．解：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=

时，04sin 3

ρπ

==由已知得||||cos

23

OP OA π

==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ??

-

== ??

?

， 经检验，点(2,)3

P π在曲线cos 23ρθπ??

-

= ???

上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ??

-

= ???

． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ??

????

.

所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ??=∈????

π .

23．解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.

当1x <时，2

()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.

当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．