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海淀区2019届初三期中数学试题及答案(官方版)

初三第一学期期中学业水平调研

数学

2018．11

学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．

1．抛物线21y x =+的对称轴是 A ．直线1x =-

B ．直线1x =

C ．直线0x =

D ．直线1y =

2．点(21)P -，

关于原点对称的点P '的坐标是 A ．(21)-，

B ．(21)--，

C ．(12)-，

D ．(12)-， 3．下列App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是

A B C D 4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是 A ．()2

13x -=

B ．()214x -=

C ．()215x -=

D ．()2

13x +=

5．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点. 若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为 A ． B ．

D ．2

6．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为

A ．1-

B ．1

C ．2-

D ．2

7．下图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是

A B C D

8．已知一个二次函数图象经过11(3

)P y -，，22(1)P y -，，33(1)P y ，，44(3)P y ，四点，若324y y y <<，则1234y y y y ，，，的最值情况是

A ．3y 最小，1y 最大

B ．3y 最小，4y 最大

C ．1y 最小，4y 最大

D ．无法确定

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．写出一个以0和2为根的一元二次方程：________．

10．函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac 0．（填“>”，“=”，或“<”）

11．若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k

的取值范围是． 12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为直径CD 延长线上一点，

且AB ∥CD ，若∠C =70°，则∠ADE 的大小为________．

13．已知O 为△ABC 的外接圆圆心，若O 在△ABC 外，则

△ABC 是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．

14．在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车

保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为．

2015年和2017年我国新能源汽车保有量统计图保有量/

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与

x 轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足0y <的x 的值．

16．如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，

BED α∠=(090)α?<

②90OAB α∠=?-，③12

ABC α∠=中，一定成立的是（填序号）．

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分） 17．解方程：()236x x x +=+．

18．如图，将ABC △绕点B 旋转得到DBE △，且A ，D ，C

三点在同一条直线上．求证：DB 平分ADE ∠．

19．下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

已知：⊙O ．

求作：⊙O 的内接正三角形

作法：如图，

① 作直径AB ；

② 以B 为圆心，OB 为半径作弧，与⊙O 交于C ，D 两点； ③ 连接AC ，AD ，CD ．所以△ACD 就是所求的三角形．

根据小董设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：

证明：在⊙O 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ，

∵ OC =OB =BC ，

∴ △OBC 为等边三角形（___________）（填推理的依据）． ∴ ∠BOC =60°．

∴ ∠AOC =180°-∠BOC =120°．同理 ∠AOD =120°，

∴ ∠COD =∠AOC =∠AOD =120°．

∴ AC =CD =AD （___________）（填推理的依据）． ∴ △ACD 是等边三角形．

20．已知1-是方程20x ax b +-=的一个根，求222a b b -+的值．

21．生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以

O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）

22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点()20A -，，()13B -，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC ∠的度数．

23．用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x 米，窗户的透光面积为y

平方米（铝合金条的宽度不计）．

（1）y 与x 之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．

24．如图，在△ABC 中，AB AC =，以AB 为直径作

⊙O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．

米

（1）求证：DE 与⊙O 相切；

（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长．

25．有这样一个问题：探究函数332

x x y -++=的图象与性质．

小东根据学习函数的经验，对函数33

x x y -++=的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完成：

（1）化简函数解析式，当3x ≥时，y =___________，当3x <时y =____________；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数33

x x y -++=

的图象；

备用图

（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程33

x x ax -+++=

只有一个

实数根，直接写出实数a 的取值范围：___________________________．

26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax x a =-≠与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．

（1）当1a =-时，求A ，B 两点的坐标；

（2）过点(30)P ，

作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当2a =时，求PB PC +的值；

②若点B 在直线l 左侧，且14PB PC +≥，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．

27．已知∠MON =α，P 为射线OM 上的点，OP =1．

（1）如图1，?=60α，A ，B 均为射线ON 上的点，OA =1，OB >OA ，△PBC 为等边三

角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ． ①依题意将图1补全；

②判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；

（2）若?=45α，Q 为射线ON 上一动点（Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角△PQR ，

使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ．根据（1）的解答经验，直接写出△POR 的面积．

图1 备用图

28．在平面直角坐标系xOy 中，点A 是x 轴外的一点，若平面内的点B 满足：线段AB

的长度与点A 到x 轴的距离相等，则称点B 是点A 的“等距点”．

（1）若点A 的坐标为（0，2），点1P （2，2），2P （1，4-），3P （1）中，

点A 的“等距点”是_______________；

（2）若点M （1，2）和点N （1，8）是点A 的两个“等距点”，求点A 的坐标；

（3）记函数y =

（0x >）的图象为L ，T 的半径为2，圆心坐标为(0,)T t .若在L 上存在点M ，T 上存在点N ，满足点N 是点M 的“等距点”，直接写

出t 的取值范围．

初三第一学期期中学业水平调研

数学参考答案 2018．11

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．2

20-=x x （答案不唯一） 10．< 11．5

解：(2)3(2)x x x +=+，

(2)3(2)0+-+=x x x ，

(2)(3)0+-=x x ， 20x +=或30x -=，

12=-x ，23x =．

解法二：

解：方程化为 2

60x x --=. 2

425b ac ?=-=.

x ±==

, 12=-x ，23x =．

18．证明：∵ 将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ， ∴△ABC ≌△DBE

∴BA=BD ．

∴∠A =∠ADB ． ∵∠A =∠BDE ， ∴ ∠ADB =∠BDE ． ∴ DB 平分∠ADE ．

19．解：（1）

（2）三条边都相等的三角形是等边三角形．

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．

20．解：∵1-是方程2

0+-=x ax b 的一个根， ∴ 10--=a b ． ∴1+=a b ． ∴222a b b -+

()()2a b a b b =+-+

2a b b =-+

a b =+ 1= ．

21．解：如图，连接OC ．

由题意知0.8 3.226=++=AB a a a a ．

3OC OB a ∴==． ∴=-=OE OB BE a ．

由题意可知AB CD ⊥于

E ，

∴2

CD CE =.

在Rt OCE △中，

===CE ．

CD ∴=．

22．解：（1）∵抛物线2

y x ax b =++经过点(20)(13)A B --，，

，， ∴4201 3.

a b a b -+=??

-+=?，

解得68.a b

=??=?

，

∴268y x x =++．

（2）(3,1)C --，90BOC ∠=?．

23．（1）2

332

+y x x ；注：没有化简不扣分．

（2）当3

1322()

b x a =-=-=?-时，y 有最大值

24933424()2ac b a --==?-．答：当窗框的高为1米，宽为32米时，窗户的透光面积最大，最大面积为3

平方米． 24．（1）证明：连接OD ．

∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB ∠=°． ∴AD BC ⊥. 又∵AB AC =， ∴12∠=∠． ∵OA OD =， ∴2ADO ∠=∠． ∴1ADO ∠=∠． ∴OD ∥AC ． ∵DE AC ⊥于点E ， ∴=90ODF AED =?∠∠． ∴OD ⊥ED ． ∴DE 与⊙O 相切．（2）∵AB AC =，AD BC ⊥，

∴12∠=∠，CD BD =. ∵CD BF =， ∴=BF BD ． ∴3F =∠∠．

∴4323F =∠+∠=∠∠． ∵OB OD =， ∴5=423=∠∠∠． ∵90ODF =?∠，

∴330F ==?∠∠，4560=∠=?∠． ∵90ADB =?∠， ∴2130∠=∠=?.

∴2F =∠∠． ∴ DF AD =．

∵130=?∠，90AED =?∠， ∴2AD ED =．

∵222

AE DE AD +=，3AE =，

∴AD =

∴DF =

25．（1）化简函数解析式，当3x ≥时，y =x ，当3x <时y = 3 ；

（2）根据（1）中的结果，画出函数33

x x y -++=