高三函数练习题难题
函数练习题
1、设函数
（1）求的单调区间、最大值；
（2）讨论关于的方程的根的个数．
2、已知函数f(x)的定义域是（0，+∞），当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)+f(y)，
(1)求f(1)的值；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f( 3 )=1，求满足不等式f(x)－f()≥2的x的取值范围．
3、已知函数．
（I）当时，求函数的定义域；
（II）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
4、已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
5、已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围.
6、
7、
(1)求常数c的值；
(2)解不等式f(x)>＋1.
二、填空题
8、下列四个命题，是真命题的有(把你认为是真命题的序号都填上).
①若在区间(1,2)上有一个零点；，则p∧q为假命题；
②当时，的大小关系是；
③若，则在处取得极值；
④若不等的解集为，函数的定义域为，则“”是“”
9、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，
且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是_ _.
10、已知为常数,若函数有两个极值点，则的取值范围
是
三、选择题
11、定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的集合为()
A. (－∞，)∪(2，＋∞)
B. (，1)∪(1,2)
C. (，1)∪(2，＋∞)
D. (0，)∪(2，＋∞)
12、已知是上的奇函数，且当时，，那么的值为（）
A．0 B． C． D．
13、已知是R上的偶函数，当时，是函数的零点，则
的大小关系是( )
A． B．
C． D．
14、已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.或
15、已知函数f(x)＝sin x＋e x＋x2 011，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，
A．sin x＋e x B. cos x＋e x
C．－sin x＋e x D．－cos x＋e x
四、综合题
（每空？分，共？分）
16、设函数f(x)＝e x－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
参考答案
一、简答题
1、解：（1）………………1分
由得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是…………3分
∴的最大值为…………4分
（2）令＝…………5分
①当时，
∴
∵∴
∴在上单调递增………………7分
②当时，，
∵
∴∴在（0,1）上单调递减
综合①②可知，当时，…………9分
当即时，没有零点，故关于方程的根的个数为0
当即时，只有一个零点，故关于方程的根的个数为1
……………………11分
当即时，当时
由（1）知
要使，只需即
当时，由(1)知
要使，只需即
所以时，有两个零点………………13分
综上所述
当时，关于的方程根的个数为0
当时，关于的方程根的个数为1
当时，关于的方程根的个数为2 …………14分
2、解：（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0. ………………………………2分
(2)令y= ,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=－f(x). ………………………………4分
任取x1,x2∈（0，+∞）,且x1 由于>1，故f()>0，从而f(x1)>f(x2). ∴f(x)在（0，+∞）上是增函数. …………8分(3)由于f(3)=1，在f(x·y)＝f(x)+f(y)中，令x=y=3，得f(9)=f(3)+f(3)=2。……10分 又－f()=f(x－2)，故所给不等式可化为f(x)+f(x－2) ≥f(9)，即 f [x(x－2)] ≥f(9)， 解得.∴x的取值范围是.…………………14分 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集： ，或，或，…………4分 解得函数的定义域为；…………6分 （II）不等式即，…………8分 ∵时，恒有，…………10分 ∵不等式解集是， ∴，求得的取值范围是．………12分 4、解：若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减， ∴0<2a－6<1，∴3 若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足 ，∴，故a>， 又由题意应有p真q假或p假q真． ①若p真q假，则，a无解． ②若p假q真，则，∴ 故a的取值范围是{a| 5、解：由已知函数的定义域均为,且. …1分 （Ⅰ）函数 , 当且时,;当时,. 所以函数的单调减区间是,增区间是. ………………3分 （Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立． 所以当时，． 又， 故当，即时，． 所以于是，故a的最小值为．…………………………6分 （Ⅲ）命题“若使成立”等价于 “当时，有”． 由（Ⅱ），当时，，． 问题等价于：“当时，有”．………………………8分 当时，由（Ⅱ），在上为减函数， 则=，故． 当0<时，由于在上为增函数， 故的值域为，即． 由的单调性和值域知， 唯一，使，且满足： 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以，=，． 所以，，与矛盾，不合题意． 综上，得．…………………………14分 6、解: (Ⅰ)当时,. 因为当时,,, 且, 所以当时,,且 由于,所以,又, 故所求切线方程为, 即 (Ⅱ) 因为,所以,则 ①当时,因为,, 所以由,解得, 从而当时, ②当时,因为,, 所以由,解得, 从而当时, ③当时,因为, 从而一定不成立 综上得,当且仅当时,, 故 从而当时,取得最大值为 (Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,即“(*)对恒成立” ①当时,,则当时,,则(*)可化为 ,即,而当时,, 所以,从而适合题意 ②当时,. ⑴当时,(*)可化为,即,而, 所以,此时要求 ⑵当时,(*)可化为, 所以,此时只要求 (3)当时,(*)可化为,即,而, 所以,此时要求，由⑴⑵⑶,得符合题意要求. 综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是 7、解析(1)∵0 (2)由(1)得f(x)＝ 由f(x)>＋1，得当0 当≤x<1时，解得≤x<. ∴f(x)>＋1的解集为. 二、填空题 8、①②④ 9、； 10、 0 三、选择题 11、D 12、D 13、C 14、A 解析 ∵f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2 011x 2 010，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ＋e x ＋2 011×2 010x 2 009，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ＋e x ＋2 011×2 010×2 009x 2 008，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ＋e x ＋2 011×2 010×2 009×2 008x 2 007，…，∴f 2 012(x )＝sin x ＋e x . 四、综合题 16、 解析 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于 k ＋x (x >0)． ① 令g (x )＝ex －1x ＋1＋x ，则g ′(x )＝(ex －12－xex －1＋1＝(e x －12ex(ex －x －2. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)． 当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 高一培优专题：数列 一．选择题（共8小题） 1．已知数列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n ∈N*，都有，则=（） A．81 B．9 C．729 D．730 2．在正项数列{a n}中，若a1=1，且对所有n∈N*满足na n+1﹣（n+1）a n=0，则a2017=（） A．1013 B．1014 C．2016 D．2017 3．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（） A．2 B．1 C．D．﹣1 4．设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最 小值为（） A．7 B．8 C．D． 5．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（） A．（，）B．（，）C．[，]D．[，] 6．设数列{a n}满足，a n+1=a n2+a n（n∈N*），记， 则S10的整数部分为（） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若函数，， ，，在等差数列{a n}中，a1=0， a2019=1，b n=|g k（a n+1）﹣g k（a n）|（k=1，2，3，4），用p k表示数列{b n}的前2018项的和，则（） A．P4＜1=P1=P2＜P3=2 B．P4＜1=P1=P2＜P3＜2 C．P4=1=P1=P2＜P3=2 D．P4＜1=P1＜P2＜P3=2 8．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前64项和为（）A．4290 B．4160 C．2145 D．2080 二．填空题（共9小题） 9．已知数列{a n}满足则{a n}的通项公式． 10．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=a n2+1，n∈N*，设b n=，若数列{b n}的前 2018项和S2018＞t，则整数t的最大值为． 11．已知数列{a n}满足a1=﹣1，|a n﹣a n﹣1|=2n﹣1（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2018=． 12．数列{a n}中，a n=3n﹣1，现将{a n}的各项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：（2，5），（8，11，14，17），（20，23，26，29，32，35），…，则第n 组中各数的和为． 13．已知数列{a n}的前n项和是S n，，4S n S n﹣1+S n=S n﹣1（n≥2），则S n=． 高一经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳 一、选择题 1．若,2παπ??∈ ??? ，2cos2sin 4παα?? =- ???，则sin 2α的值为（ ） A ．7 8 - B ． 78 C ．18 - D ． 18 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为2cos2sin 4παα?? =- ??? 所以( ) 22 2cos sin sin cos cos sin 4 4 π π αααα-=- 所以()())2cos sin cos sin cos sin 2 αααααα-+= - ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ??? Q ， 所以cos sin 4 αα+= 所以()2 1cos sin 8αα+=，即22 1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28 α+= 所以7sin 28 α=- 故选：A 【点睛】 本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题； 2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102 x << B ． 1 12 x << C ．12x << D ．01x << 【答案】D 【解析】 【分析】 根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】 将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ， 设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则 cos 0A '∠<， 所以()()()()()2222342340x x x x x x x ?+++<+? +++>+??>? ，解得01x <<. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70?方向的C 处，且A 与C 的距离为15 3千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ） ( ) 7 2.6≈ A ．10分钟 B ．15分钟 C ．20分钟 D ．25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=?，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】 根据条件可得30BAC ∠=?，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ?=+-??=， 则5713BC =≈（千米）， - 1 - 高一函数经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为 [a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a -1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2 f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 【高中数学】高中数学《数列》期末考知识点 一、选择题 1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16， 得810 2 16a q a = =，得q 2＝2. ∴4 624a a q ==，即a 6＝b 6＝4， 又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()111116 1111442 b b S b +?= ==. 故选：C. 【点睛】 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题. 2．已知数列{}n a 的通项公式是2 21sin 2n n a n π+?? = ??? ，则12312a a a a +++???+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．78 【答案】D 【解析】 【分析】 先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+?? ??? 的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++???+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】 解：由题意得，当n 为奇数时， 213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+????? ?=+=+==- ? ? ?????? ?， 难点突破 一．选择题（共18小题） 1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2） C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1） 2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（） A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞） 3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列 C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列 4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种． 例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（） A．48 B．60 C．96 D．120 5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1 最新成都高一期末考试难题汇编（含解析）高一培优 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共16小题） 1．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a的值是（） A．B．3 C．D．2 2．已知函数y=sinx+1与y=在[﹣a，a]（a∈Z，且a＞2017）上有m个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=（）A．0 B．m C．2m D．2017 3．数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S30=（） A．294 B．174 C．470 D．304 4．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（） 且（a n +1 A．（﹣，）B．（﹣∞，）C．（﹣，6）D．（﹣2，）5．已知函数，若，则=（） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 6．已知平面向量，，满足，，且，则 的取值范围是（） A．[0，2]B．[1，3]C．[2，4]D．[3，5] 7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（） A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（） A．（，）B．[，]C．（，）D．[，] 9．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c ﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（） A．B．C．D． 10．定义符号函数为sgn（x）=，则下列命题： ①|x|=x?sgn（x）； ②关于x的方程lnx?sgn（lnx）=sinx?sgn（sinx）有5个实数根； ③若lna?sgn（lna）=lnb?sgn（lnb）（a＞b），则a+b的取值范围是（2，+∞）； ④设f（x）=（x2﹣1）?sgn（x2﹣1），若函数g（x）=f2（x）+af（x）+1有6个零点，则a＜﹣2． 正确的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 精选 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 精选 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?I ，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2 f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1) 一、选择题 1．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3 π +），则f （x ）的最小值为（ ） A ． 12 B ． 14 C ． 3 D ． 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π? ?=-+ ?? ?，再求最值. 【详解】 已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3 π + ）， =21cos 21cos 2322 x x π? ? -+ ?-?? + ， =1cos 23sin 2111cos 22223x x x π??? ?--=-+ ? ? ????? ， 因为[]cos 21,13x π?? + ∈- ?? ? ， 所以f （x ）的最小值为12 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ） A ． 2 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 设AE BF a ==，1 3 B EBF EBF V S B B '-'= ??V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角， 再利用余弦定理求解. 【详解】 设AE BF a ==，则()()2 3119333288B EBF a a V a a '-+-?? =???-?≤=???? ，当且仅当3a a =-，即3 2 a = 时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '= ，352AF =，2292 A F AA AF ''=+=，132 2EF AC = = ， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角， 由余弦定理得2 2 2 81945 2424cos 93222222 A F EF A E A FE A F EF +- ''+-'∠= =='????， ∴4 A FE π '∠=． 方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ?? ??? ， ∴3,3,32A F ?? '=-- ??? u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ， 所以9922cos ,9322 A F AC A F AC A F AC +'?'==='??u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 2018年普通高等学校招生全国统一考试 1. 已知四棱锥SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1， SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角SABC 的平面角为θ3，则( ) A . θ1≤θ2≤θ3 B . θ3≤θ2≤θ1 C . θ1≤θ3≤θ2 D . θ2≤θ3≤θ1 2. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 24eb +3=0，则|ab |的最 小值是( ) A . 1 B . +1 C . 2 D . 2 3. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( ) A . a 1a 3，a 2a 4 D . a 1>a 3，a 2>a 4 4. 已知λ∈R ，函数f (x )= ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是_____________________，若函数f (x ) 恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________ 5. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________ 个没有重复数字的四位数(用数字作答) 6. 已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足 =2，则当m =____________________时，点B 横坐标 的绝对值最大 7. (15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中 点均在C 上 (1) 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴 (2) 若P 是半椭圆x 2+=1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取 值范围 8. (15分)已知函数f (x )= lnx (1) 若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>88ln 2 (2) 若a ≤34ln 2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） P M B A O y x 函数的最值、极值问题专题训练 【复习指导】 本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 双基自测 考点一 极值问题 【例1】设函数f (x )＝ax 2＋e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1 ＝0，故 f (x 1)＝12 1 +e x ax ＝1 11e e 2 x x x -＝231e x ，故1 1231e 1e e 02x x x --=．记 R (x )＝2 3 12 x x e e e x --(0 函数与基本初等函数 一、选择题 1．(2009·汕头金山中学月考)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈R D ．y ＝(1 2)x ，x ∈R 2．(2009·广东卷文)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝ ( ) A ．log 2x B.1 2 x C ．log 12 x D ．2x － 2 3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 是奇函数，则 ( ) A ．b ＝c ＝0 B ．a ＝0 C ．b ＝0，a ≠0 D ．c ＝0 4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x ＜1时，f (x )＝x 2＋1, 则x ＞1时，f (x )的解析式为 ( ) A ．f (x )＝x 2－4x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋5 C ．f (x )＝x 2－4x －5 D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5 5．函数f (x )＝3x 2 1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是 ( ) A ．(－13，＋∞) B ．(－1 3，1) C ．(－13，13) D ．(－∞，－13) 6．(2008·重庆)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是 ( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )为偶函数 C ．f (x )＋1为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 7．(2008·全国Ⅰ)设奇函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，且f (1)＝0，则不等式 f (x )－f (－x ) x ＜0的解集为 ( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) 8．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12 b ，(1 2)c ＝log 2c ，则 ( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c 二、填空题 最新高一数学必修一函数选择填空难题突破练习 一．选择题（共16小题） 1．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个 零点，则a的取值范围是（） A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞） 2．函数的零点个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 3．偶函数f（x）和奇函数g（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（g（x））=1，g（f（x））=2的实根个数分别为m、n，则m+n=（） A．16 B．14 C．12 D．10 4．已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x） =f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（） A．[2，3） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3] 5．若函数f（x）=4x﹣m?2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（） A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6） D．（2，+∞） 6．若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围（）A．（﹣）B．（0，）C．（﹣∞，o）D．（0，+∞） 7．已知函数y=g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），若y=f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，且其解析式为，则g（﹣2017）的值为（） A．﹣1 B．0 C．D． 8．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1 9．已知函数f（x）=﹣mx有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（） 10．已知函数的值域是（m，n），则f（m+n）=（） A．22018B． C．2 D．0 11．已知函数f（x）是定义域在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x ＞0时，f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣2的零点个数为（） A．2 B．4 C．6 D．8 12．已知函数f（x）=log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（） A．（1，4） B．（1，4]C．（1，2） D．（1，2] 13．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1?a2?…?a n为整数的数n 叫做“劣数”，则在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A．1016 B．2018 C．2024 D．2026 14．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（） A．B．C．D． 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈Ｒ且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈（-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 2018 高一数学必修一（难） 一．选择题（共12 小题） 1．已知定义在R 上的偶函数f（x）满足 f （x+1）=﹣f（x），且当 x∈[ ﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（） A．（﹣ 2，﹣ 1）∪（﹣ 1，0） B． C．D． ．已知定义在 R 上的奇函数（）满足：当3，若不等式 f（﹣ 2 f x x≥ 0 时，f（ x）=x 4t）＞ f（ 2m+mt 2）对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0） C．（﹣∞， 0）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） 3．定义域为R 的函数 f（ x）满足： f（ x+2） =2f（ x），当 x∈ [ 0， 2）时， ，若 x∈[ ﹣4，﹣2）时，恒成立， 则实数 t 的取值范围是（） A．B．C．（0，1]D．（0，2] 4．对于函数f（x），若 ? a，b，c∈R，f（ a），f （b）， f（c）为某一三角形的三边长，则称（fx）为”可构造三角形函数“，已知函数（fx）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值范围是（） A．[ 1，4] B．[ 1，2] C．[，2] D．[ 0，+∞） 5．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时， f（x）=x（ 1﹣ x），若数 列 { a n} 满足 a1，且 n+1 =2015）+f（a2016）=（） =a，则 f（ a A．﹣ 8 B．8C．﹣ 4 D．4 6．函数 f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数 m 的取值范围为（） A．[ 4，+∞）B． [ 3，+∞）C．[ 2，+∞）D． [，+∞）7．已知 x＞ 0，y＞0，若不等式 a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B．C．+2 D．+ 8．已知函数 f（ x）=若函数g（x）=f[ f（x）]﹣2的零点个数为 （） A．3B．4C．5D．6 9．已知定义在 R 上的偶函数 g（ x）满足 g（ x）+g（ 2﹣ x）=0，函数 f（x）=的图象是 g（x）的图象的一部分．若关于x 的方程 g2（x）=a（ x+1）2有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为（） A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）10．已知函数 f（x）定义域为 [ 0，+∞），当 x∈[ 0，1] 时， f（ x）=sin πx，当 x∈[ n，n+1] 时， f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b 有且仅有 2016 个交点，则 b 的取值范围是（） A．（0，1） B．（，） C．（，）D．（，） 11．已知函数：， ，设函数 F（x）=f（x+3） ?g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间 [ a，b] （ a＜ b，a，b∈Z）内，则 b﹣a 的最小值为（）A．8B．9C．10D．11 函 数 练 习 题 令狐采学 班级 姓名 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33 y x = +- ⑵y = 01(21)111 y x x = +-+ -2 ___； ________； 3、若函数(1)f x + 则函数(21)f x -的定义域是；函数1 (2)f x +的定义域为。 4 、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的 定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴ 223y x x =+-() x R ∈⑵ 223y x x =+-[1,2] x ∈⑶311 x y x -= +⑷ 311 x y x -= +(5)x ≥ ⑸y =22 5941x x y x +=-＋⑺31y x x = -++⑻2y x x =- ⑼y = 4y =⑾y x =-6、已知函数 22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解 析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x =。 4、设 ()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+， 则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____ ()f x 在 R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++⑵y =⑶261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增 区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是；函数y = 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ，52 -=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶ x x f =)(，2)(x x g =；⑷x x f =)(，()g x =； ⑸21)52( )(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵B、 ⑵、⑶C、 ⑷D、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范高中数学必修一函数难题
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