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高中数学第二章第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值

分层训练A 级基础达标演练

(时间：30分钟满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f (x )＝1

x ；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)”的函数序号是________．

解析由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f (x )＝1

x 符合题意．答案 ①

2．下列函数中：①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2

x ，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．

解析 y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝2

x 在R ＋上递减．答案 ②

3．(2012·镇江调研)若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析因为f (x )是二次函数且开口向上，所以要使f (x )在(－∞，1]上是单调递减函数，

则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2

－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3.

答案 [1,3]

4．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数．

答案 ②

5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________．解析由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，得f (1－x )＜－f (1－x 2)，所以f (1－x )＜f (x 2－1)．

又因为f (x )在(－1,1)上是减函数，所以???

－1＜1－x ＜1，

－1＜1－x 2

＜1，解得0＜x ＜1.

1－x ＞x 2－1.

故原不等式的解集为(0,1)．答案 (0,1)

6．(2012·南师附中检测)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的．答案 ①

二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝1a －1

x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

(2)若f (x )在??????12，2上的值域是??????

12，2，求a 的值．

(1)证明法一设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.

因为f (x 2)－f (x 1)＝? ????1a －1x 2－? ????1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1

x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，

因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数．法二因为f (x )＝1a －1

x ，

所以f ′(x )＝? ????

1a －1x ′＝1x 2>0，

所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．

(2)解因为f (x )在??????12，2上的值域是??????

12，2，

又f (x )在??????

12，2上单调递增，

所以f ? ??

??12＝1

2，f (2)＝2，故a ＝25.

8．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2

(1)求证：f (x )在R 上是减函数． (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

(1)证明法一因为函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，所以令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又由x ＞0时，f (x )＜0，

而x 1－x 2＞0，所以f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．

因此f (x )在R 上是减函数．法二设x 1＞x 2，

则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又由x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，所以f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在R 上为减函数． (2)解因为f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，

所以f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．

而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.

所以f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

分层训练B 级创新能力提升

1．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是________．

解析由题意，得f (x )在[－2,2]上递增，且由f (x －4)＝－f (x )得f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，所以f (－25)＜f (80)＜f (11)．答案 f (－25)＜f (80)＜f (11)

2．(2012·盐城模拟)如果对于函数f (x )的定义域内任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)且存在两个不相等的自变量m 1，m 2，使得f (m 1)＝f (m 2)，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数g (x )的定义域、值域分别为A ，B ，A ＝{1,2,3}，B ?A 且g (x )为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数g (x )共有________个．

解析分B 中元素为1个，2个，3个讨论．B 中只有一个元素时，此时各有一个函数；B 有两个元素，此时各有两个函数；B 有3个元素时，不合题意．因此共有3＋6＝9个函数．答案 9

3．已知函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论：

①(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＜0；②f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1；③f (x 1)＋f (x 2)2＞f ?

x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．

解析函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为???

x 2－x 1＞0，

f (x 2)＜f (x 1)，

即f (x )在x ∈[0,1]上是单调递减函数，结合图象可知，结论①

错误；结论②可变形为

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意