(上海专版)高考数学分项版解析专题12排列组合、二项式定理、算法文

专题12 排列组合、二项式定理、算法 文

一．基础题组

1. 【2010上海,文11】 2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在下边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________．

【答案】S ←S ＋a

2. (2009上海,文4)某算法的程序框图如图所示 ，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 ___________.

【答案】?

??≤>-=1,2,1,2x x x y x 【解析】由程序框图可知,当输入实数满足x ＞1时,输出y=x-2;

否则,即输入实数满足x≤1时,

输出y=2x .综上可知???≤>-=.1,2,

1,2x x x y x

3.【2016高考上海文数】在n x x ??? ?

?-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.

【答案】112

【考点】二项式定理

【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.

4. 【2015高考上海文数】 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.

【答案】120

【解析】①男教师选1人，女教师教师选4人，有454613=C C 中不同的选法；

②男教师选2人，女教师教师选3人，有603623=C C 中不同的选法；

③男教师选3人，女教师教师选2人，有152633=C C 中不同的选法；

由分累计数原理得不同的选取方式的种数为120156045==+种.

【考点定位】组合，分类计数原理.

【名师点睛】 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误． 5.【2015高考上海文数】.在62)12(x

x +

的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.

【答案】240

【考点定位】二项式定理.

【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

二项式定理历年高考试题荟萃

圆梦教育中心二项式定理历年高考试题 一、填空题( 本大题共24 题, 共计120 分) 1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是。（用数字作答） 2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是. 3、已知,则(的值等于。 4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。（用数字作答） 6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 7、的二项展开式中常数项是。(用数字作答). 8、(x2+)6的展开式中常数项是。(用数字作答) < 9、若的二项展开式中的系数为，则。（用数字作答） 10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。 11、（x+）9展开式中x3的系数是。（用数字作答） 12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。其展开式中的常数项为。（用数字作答）

13、的展开式中的系数为。(用数字作答) 14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。 15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为. 16、的展开式中常数项为; 各项系数之和为.（用数字作答） 17、(x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答) 18、(1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________. < 19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________. 20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________. 21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝. 22、(x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答) 23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________. 24、展开式中x的系数为.

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令,则， 所以 故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】

决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________． 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，

，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】 试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 8.【2017浙江，13】已知多项式() 1x +3 ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________．

高考数学专题之排列组合小题汇总

温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 12 4．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A ． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A． 240种 B． 188种 C． 156种 D． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a如下：* t N ?∈，满足 1 t t a a + <，且* s N ?∈，满足 1 S S a a + >.已知“有增有减”数列{}n a共4项，若{}() ,,1,2,3,4 i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a共有（） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2019年上海高中数学 第59讲 排列组合与二项式定理教案(多份)

1 第59讲 计数原理1—乘法原理（分步计数原理） 一、问题引入 常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？ 路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？ 这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起． 二、教学过程 1、（1）参照《课本》49P 图，讨论从A 到B 的不同走法情况． 答： （2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 2、乘法原理 ①一般地，如果做成一件事情要分为n 个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方 法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m = 种不同的方法． ②注意：1m 、2m 、n m 对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算完成． 例1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？ （3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？ （4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？ （5）3封信投4个邮箱，几种投法？ （6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？ （7）四台不同型号电视机搞促销呢？ （8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座 例2、（1）()()()123123412a a a b b b b c c ++++++展开后共有多少项？ （2）540的不同正约数有多少个？

高三数学 二项式定理

二项式定理 1． 知识精讲： （1）二项式定理：()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（* ∈N n ） 其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555 156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（* ∈N n ） 其中，r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解：设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解：（1）7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =． （2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果

二项式定理高考题(带答案)

年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令,则，所以 故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, % 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】 决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D.

【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为 __________． ' 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解： 的展开式为： ，当 ，时，，当 ， 时，，据 此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】 试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 ￥ A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C

二项式定理典型例题

高考数学专题复习二项式定理练习题 1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项. I 2仮丿 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为： 前三项的r =01,2. 1 1 1 1 得系数为：1 =1,上 2 =。；一 =— n,t 3 = cn — = —ng-1 ), 2 2 4 8 1 由已知：2t 2 =匕 叫 3 n= 1 + — n(n —1), 8 ??? n =8 通项公式为 _ 16 J3r 1 --- TF=c8-rx 4 r =0,1,2" 8,Tr + 为有理项，故 16 —3r 是 4 的倍数, 2 /. r =0,4,8. 依次得到有理项为「= X 4 ,丁5 = C ； —4 X =— X ,T 9 = c 8 A x° =—— x 2 ? 2 8 2 256 说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，（J 2 +3 /3）100 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 系数和为3n . 2. （1）求（1 —x ）3 （1+x ）10 展开式中X 5 的系数；（2）求（x + 1 +2）6 展开式中的常数 项. X 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式. 解：（1 ） （1-x ）3 （1 +x ）10 展开式中的X 5 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用（1 —X ）3 展开式中的常数项乘以 （1 +x ）10 展开式中的 X 5 项，可以得到 C lo X 5 ;用 “c"严k 丿 2n J3r =c n 2^ x 4 r 的取值，得到共有 （1）可以

2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 计数原理的基本应用 例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．18种 【答案】 C . 【解析】 可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有 62312=?C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=?C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C 【易错点】注意先分类再分步 【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置 例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（ ）种.（用数字作答） 【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母，有12036 =A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑 【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题 例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）个.

沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第五章 排列组合与二项式定理 本章测试(wd无答案)

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二 项式定理本章测试 一、单选题 (★★) 1. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 (★) 2. 在某次数学测验中，记座号为的同学的考试成绩为，若 且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能有（）． A．15种B．20种C．30种D．35种 (★★) 3. 用0,1, 2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有 A．48个B．12个C．36个D．28个 (★★) 4. 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有（） A．240种B．180种C．120种D．60种 (★) 5. 设，则（）．A．B．C．D． (★★) 6. 等于（）． A．B．C．D． 二、填空题

(★★) 7. 若，则 ________ ． (★★★) 8. 有4个男生、3个女生，高矮互不相同，现将他们排成一行，要求从左到右女生从 矮到高排列，共有______种排法． (★) 9. 在1到100这100个正整数中，取两个不同的数相乘，其积为7的倍数，这样的取法有_______种． (★) 10. 一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个． (★★) 11. 若把英文单词“ hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有 _________ 种．(★★) 12. 如图，用6种不同颜色对图中 A， B， C， D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 ________ 种． (★★) 13. 从一个小组的若干人中选出4名代表的方法种数为 A，又从该小组 B中选出正、副 组长各一人的选法种数为 B，且，则此小组的人数为 __________ ． (★)14. 若展开式中各项系数的和为128，则展开式中项的系数为_________． (★★★) 15. 展开式的项数共有_________项． (★★★) 16. 的展开式中，项的系数为________．(★★) 17. 某商场开展促销抽奖活动，摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的 每位顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客 抽出的6个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖．一位顾客可能抽出 的不同号码组共有组，其中可以中奖的号码共有组，求的值． 三、解答题 (★★) 18. 从，，，，这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数 的系数，，，求： 可组成多少个不同的二次函数？ 其中对称轴是轴的抛物线有多少条？ (★★★) 19. 从中任取三个或三个以上的数，使其和为偶数的取法共有多少种？ (★★★) 20. 求证：当，且时，能被整除． (★★★) 21. 求多项式展开式中 x奇次项系数的和．

高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理 考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式 系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量 的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值： 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +， 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +

高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法

高考数学 《二项式定理》

二项式定理 主标题：二项式定理 副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数 难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知 识 梳 理 1．二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策 浙江省温州22中学 高洪武 325000 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 题型一：求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4 )13(x x + 的展开式； 解：原式=4 )13( x x += 2 4 ) 13(x x + = ])3()3()3()3([144 3 4 2 2 4 3 1 4 4 42 C C C C C x x x x x ++++ = )112548481(12 3 4 2 ++++x x x x x =5411284812 2 ++ + +x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4 )13(x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4 )13(x x - 改写成4 )]1(3[x x - +的形式然后按照二 项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3 )1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 3 3 2 2 1 1 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 题型二：求二项展开式的特定项

2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 二项式定理展开的特殊项 例 在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数． 题型二 求参数的值 例 若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值． 题型三 展开项的系数和 例 已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B

【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解 【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型 题型四 二项式定理中的赋值 二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和． 【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值 【巩固训练】 题型一 二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A

高考数学排列组合常见题型

选修2-3：排列组合常见题型 可重复的排列（求幂法） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）4 3（2）34 （3）3 4 相邻问题（捆绑法） 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【解析】：C 相离问题（插空法 ） 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法 【解析】： 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。

高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳

绵阳市开元中学高2014级高三复习 《二项式定理》 知识点、题型与方法归纳 制卷：王小凤 学生姓名：___________ 一．知识梳理 1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定 理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数 C r n (r ＝0,1，…，n )叫 二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1 . 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项 式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例 【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解：由条件得 C 5n 35＝C 6n 36，∴ n ！ 5！（n －5）！ ＝ n ！6！（n －6）！ ×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B. 例2：(2014·大纲)? ????x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答) 解：? ????x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8? ????x y 8－r ? ????－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 4 8＝70.故填70. 【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项 例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121 解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 3 8(－1)3＝－121. 【题型三】求()()m n a b x y +?+展开特定项 例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax · C 1 5x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.