立体几何复习
立体几何综合复习一、立体几何
线?线
平行
相交
异面
问题：求异面直线夹角
线?面
平行
垂直
相交
问题：○1理解概念、判定定理，
○2求线面线面角
面?面
平行
相交（二面角）
问题：○1求二面角
○2点到面的距离
一）概念定理:
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则
线线平行）。
6、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
7、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
8、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。
二）向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
1）直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.
2）平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.
3）平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．
②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．
③求出平面内两个不共线向量的坐标),,(111z y x a =
，),,(222z y x b =
④根据法向量定义建立方程组0
n a n b ??=???=??.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行：设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. ⑵线面平行：设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明l ∥α，只需证明n a ⊥，即0=?n a
. ⑶面面平行：若平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，要证α∥β，只需证1n ∥2n ，即证21n n
λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直：设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=.
⑵线面垂直：设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0
,.0
a m l a n α??=?⊥?
?=??则 ⑶面面垂直（二面角）： 若平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，要证αβ⊥，只需证21n n
⊥，即证
021=?n n
.
4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角
已知AC l 与BD l 为两异面直线，AC l 与BD l 所成的角为θ，则BD
AC BD AC BD AC ??>=
?<=cos cos θ
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ，a 与n
的夹角为?，则θ为
?的余角或?的补角
的余角.即有：cos s .in a u a u
?θ?==
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠
为二面角βα--l 的平面角.
如图：
求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为?，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角?或其补角.π?- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m n
θ??==
， 即arccos
m n m n
θ?=；
如果θ是钝角，则cos cos m n
m n θ??=-=-， 即arccos m n m n θ??
? ?=-
???
. 5、点A 到平面α的距离
若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.
即cos ,d MP n MP
=n MP MP n MP
?=?
n MP n
?=
O
A
B
O
A
B
l
高考真题训练：
1.（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900
。
(1) 求证：PC ⊥BC ；
(2) 求点A 到平面PBC 的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。 （1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。
由∠BCD=900
，得CD ⊥BC ， 又PD
DC=D ，PD 、DC ?平面PCD ，
所以BC ⊥平面PCD 。
因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC 。
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：
易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。 易知DF=
2
2
，故点A 到平面PBC 的距离等于2。 （方法二）体积法：连结AC 。设点A 到平面PBC 的距离为h 。 因为AB ∥DC ，∠BCD=900
，所以∠ABC=900
。 从而AB=2，BC=1，得ABC ?的面积1ABC S ?=。 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133
ABC V S PD ?=?=。 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。 又PD=DC=1，所以222PC PD DC =
+=。
由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ?的面积22
PBC S ?=。 由A PBC P ABC V V --=，
11
33
PBC
S h V ?==，得2h =， 故点A 到平面PBC 的距离等于2。
M
A
B
D
C
O
2. (2009闸北区) 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ABCD ⊥底面，
2OA =，M 为OA 的中点．
（Ⅰ）求四棱锥O ABCD -的体积； （Ⅱ）求异面直线OB 与MD 所成角的大小． 解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD 的面积4=S ，……………………………2分 所
以
，
求
棱
锥
A B
O -的体积
3
8
2431=??=
V ………………………………………4分 （Ⅱ）方法一（综合法）
设线段AC 的中点为E ，连接ME ，
则EMD ∠为异面直线OC 与M D 所成的角（或其补角） ………………………………..1分 由已知，可得5,3,2===
MD EM DE ，
222)5()3()2(=+
DEM ?∴为直角三角形 …………………………………………………………….2分
3
2tan ==
∠∴EM
DE
EMD ， …………………………………………………………….4分
3
2
3arctan =∠∴EMD ． 所以，异面直线OC 与MD 所成角的大小3
2
3arctan ． …………………..1分 方法二(向量法)
以AB,AD,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，
则)0,2,0(),1,0,0(),0,2,2(),2,0,0(D M C O , ………………………………………………2分
)2,2,2(-=OC ，)1,2,0(-=MD ， …………………………………………………………………………..2分
设异面直线OC 与MD 所成角为θ，
5
15
|
|||||cos =
??=
MD OC MD OC θ．……………………………………3分 ∴OC 与MD 所成角的大小为5
15
arccos
．……………………………………………1分
3．（池州市七校元旦调研）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ? 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．
（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；
（II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ． 证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在 直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则
()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-，因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =，(4,4,3FG =--得0n FG ?=，又直线FG
不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE （II ）设点M 的坐标为
()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--，因为FM ⊥平面BOE ，所以有//FM n ，因此有
0094,4x y ==-
，即点M 的坐标为94,,04??-
??
?，在平面直角坐标系xoy 中，AOB ?的内部区域满足不等式组0
08x y x y >??
，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，
4.（2010四川理）（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCD －A 'B 'C 'D '的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点.
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线； （Ⅱ）求二面角M －BC '－B '的大小； （Ⅲ）求三棱锥M －OBC 的体积.
本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：（1）连结AC ，取AC 中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK 因为M 是棱AA ’的中点，点O 是BD ’的中点 所以AM 1
//
'//2
DD OK
?D '
A
B
C
D M O
A '
B '
C '
?
所以MO //AK 由AA ’⊥AK ，得MO ⊥AA ’ 因为AK ⊥BD ,AK ⊥BB ’，所以AK ⊥平面BDD ’B ’ 所以AK ⊥BD ’ 所以MO ⊥BD ’
又因为OM 是异面直线AA ’和BD ’都相交故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线 （2）取BB ’中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC ’B ’ 过点N 作NH ⊥BC ’于H ，连结MH 则由三垂线定理得BC ’⊥MH
从而,∠MHN 为二面角M -BC ’-B ’的平面角
MN =1,NH =Bnsin 45°=
122
224
= 在Rt △MNH 中，tan ∠MHN =
1
222
4
MN NH ==故二面角M -BC ’-B ’的大小为arctan 22 (3)易知，S △OBC =S △OA ’D ’，且△OBC 和△OA ’D ’都在平面BCD ’A ’内 点O 到平面MA ’D ’距离h ＝
12 V M -OBC =V M -OA ’D ’=V O -MA ’D ’=13
S △MA ’D ’h =
124
解法二：
以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz
则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),A ’(1,0,1),C ’(0,1,1),D ’(0,0,1) (1)因为点M 是棱AA ’的中点,点O 是BD ’的中点 所以M (1,0,
12),O (12,12,12) 11
(,,0)22
OM =-,'AA =(0,0,1),'BD =(-1,-1,1)
'OM AA =0, 11
'22
OM BD =-++0=0所以OM ⊥AA ’,OM ⊥BD ’
又因为OM 与异面直线AA ’和BD ’都相交
故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线.………………………………4分 (2)设平面BMC '的一个法向量为1n =(x ,y ,z )
BM =(0,-1,
1
2
), 'BC ＝(－1,0,1) 1
10'0n BM n BC ?=??
=?? 即1020
y z x z ?-+=???-+=? 取z ＝2,则x ＝2,y ＝1，从而1n =(2,1,2) 取平面BC 'B '的一个法向量为2n ＝(0,1,0)
cos 12121211
,3
||||91n n n n n n <>=
==
由图可知，二面角M -BC '-B '的平面角为锐角 故二面角M -BC '-B '的大小为arccos
1
3
………………………………………………9分 (3)易知，S △OBC ＝
1
4
S △BCD 'A '＝121244=
设平面OBC 的一个法向量为3n ＝(x 1,y 1,z 1)
'BD ＝(－1,－1,1), BC ＝(－1,0,0)
31'0
n BD n BC ?=??=?? 即111100x y z x --+=??
-=? 取z 1＝1,得y 1＝1，从而3n ＝(0,1,1)
点M 到平面OBC 的距离d ＝
31
||2
24||2
BM n ==
V M
－OBC
＝
11221
334424
OBC S d ?==
…………………………………………12分