三角形及重要的线(整理复习)讲义

三角形与重要的线——课堂讲义

一、典型例题

1.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和4，斜边长是5，则斜边上的高是________.

2.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D.若BC=8，BD=5,则

点D 到AB 的距离是多少？

3.如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S

△ABO ︰S △BCO ︰S △CAO ＝________．

4.如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，DE 垂直平分AB ，

△BEC 的周长为20，BC=9.

（1）求△ABC 的周长

（2）求∠EBC 的度数

5.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE=CE.

求证：(1)△AEF ≌△CEB.

(2)AF=2CD.

二、自主归纳

解三角形讲义

一、正弦定理 1、在ABC ?中： 2R sinC c sinB b sinA a ===（R 为△ABC 的外接圆半径） 。它的变式有：①a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；②； ，R c C R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。 推论1：△ABC 的面积为：S △ABC =21absinC=21bcsinA=2 1 casinB （证明：由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC = C ab sin 2 1 ） 。 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a 。(证明：因为B+C=π－A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a)；还有两个式子为：acosC+ccosA=b ，bcosA+acosB=c 。 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 例1 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=2，?=45B ，分别求出下 式中角A 的值。①b= 2 1 ；②b=1；③b=332；④b=2；⑤b=2。【答①无解；②A=?90；③A=??12060或； ④A=?45；⑤A=?30。】 例2 在△ABC 中，已知AB=1，?=50C ，当B= 时，BC 的长取最大值。【答：?40】 3、推导并记住：42675cos 15sin -= = ，4 2 615cos 75sin +== 。 例3 在锐角△ABC 中，若C=2B ，则 b c 的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答：C 】 例4 在△ABC 中，c=3，C=?60，求a+b 的最大值。 【答：23】 例5 在等腰△ABC 中，已知 2 1 sinB sinA =，BC=3，则△ABC 的周长为 。 【答：15】 4、角平分线定理：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD = 。 例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6，则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为（ ） A 、1:1 B 、1:2 C 、1:4 D 、3:4 【答：B 】 练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解，则x 的取值范围为 ( ) A 、)22,2( B 、22 C 、),2(+∞ D 、]22,2( 【答：A 】

相似三角形全讲义(教师版)

相似三角形全讲义(教师版)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

整理形态 “收敛三角形”讲解

整理形态“收敛三角形”讲解 “收敛三角形”特征：股价在某一阶段出现了徘徊争执局面，每一次上升高点都比上次低，而每一次下跌低点却比上一次高，于是股价波幅越来越小，成“收敛三角形”状，而成交量在这期间呈现出减少的趋势。 “收敛三角形”是个整理形态，整理结果向上突破或向下突破均可。不过在下跌趋势中出现，它最终选择往下的可能性略大些；在上涨趋势中，选择往上的可能性略大。“收敛三角形”向上突破的时间往往选择在“收敛三角形”的中下端，而向下突破的时间往往选择顶端附近。一般来说，“收敛三角形”无论向上或是向下突破都会有成交量放出。 收敛三角形的形态特征是反弹高点不断下移、下跌低点不断抬高。从技术上分析收敛三角形至少需要四个转折点构成，即在一段时间内至少应形成两个高点、两个低点，因为每条直线都需要两个点来加以确定。上面直线向下倾斜，对股价具有压力作用，下面直线向上倾斜，对股价具有支撑作用。 收敛三角形通常表示投资者的投资心态比较缺乏信心和趋于犹疑，投资行为更加谨慎，观望心理占据上风。这种形态在大多数情况下会延续原有的运行趋势，但是也有四分之一的概率会演变成反转形态。 收敛三角形的形态分析的首先是要观察在三角形顶端突破时的成交量，如果成交量能有效放大，说明向上突破是真实可信的，如果是向下突破时放量，则预示着该股可能会出现空头陷阱，往往很快会恢复为上涨行情。如果在三角形顶端突破时的成交量处于萎缩状态，那么证明向下突破是真实可信的，而缩量向上的突破大多是假突破。因此，当股价产生突破性行情时，投资者可以根据量能的变化研判股价最终的发展趋势。 其次是注意股价突破后的回调。收敛三角形突破后通常有回调走势，如果能在短时间内能迅速结束回调走势，并且不跌破原来的顶点位置，说明大盘向上突破是有效的。如果收敛三角形突破后股价无力上攻，回调时轻易跌破顶点位置，则说明大盘向上突破是无效的。 最后是注意形态规模大小，一般三角形形态构筑了数月时间的，产生的突破性行情的力度较大。由于目前的收敛三角形的形成时间较长，构成规模较大，相应的理论上涨空间和下跌空间都可观。按照该收敛三角形的运行轨迹和对目前的量价关系分析，如果向下突破，可能会很快见到阶段性底部，将形成重要买点。 对于收敛三角形的破位是否真实有效主要从以下几个角度进行鉴别： １．股价在收敛三角形顶端处破位时的成交量，如果向下突破时成交量同步放大，则预示着这种破位有可能是空头陷阱，股价往往会很快恢复为上涨行情。因为股价走出收敛三角形时

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第八节解三角形的应用 文

第八节 解三角形的应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 知识梳理 一、实际问题中的相关术语、名称 1．方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角[]如下图(1). 2．方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等． 3．仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫做仰角．视线在水平线下方的角叫做俯角[]如下图(2). (3) 4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数[如图(3)，角θ为坡角]． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比如图(3)，i ＝h l 为坡比． 二、正、余弦定理可以解决的实际问题 距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等．

基础自测 1．已知A ，B 两地的距离为a ，B ，C 两地的距离为3a ，现测得∠ABC 为锐角，且sin ∠ABC ＝223 ，则A ，C 两地的距离是( ) A.2a B.3a C ．22a D ．23a 解析：由∠ABC 为锐角，sin ∠ABC ＝223得cos ∠ABC ＝13 .余弦定理知AC 2＝a 2＋9a 2－2a ·3a ·cos ∠ABC ＝10a 2－6a 2×13 ＝8a 2，所以AC ＝22a . 答案：C 2．如图所示， 为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60m ，则树的高度h 为 ( ) A ．(15＋33)m B ．(30＋153)m C ．(30＋303)m D ．(15＋303)m 解析：由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PB sin 30° ， 即PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15° ， h ＝PB sin 45°＝30sin 45°sin 15° ＝(30＋303) m ．故选C. 答案：C 3．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100 m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________． 解析：如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100 m ，∠DAC ＝15°， 因为AC ＝DC ·sin 45°sin 15°，所以AB ＝AC ·sin 60°，

高中数学竞赛_解三角形【讲义】

第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长， 2 c b a p ++= 为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB C 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1 sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足 ) sin(sin a b a a -= θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义， BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1 ；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =， 所以) sin() sin(sin sin A a A a --= θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1 -[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2 +pb 2 =(p+q)AD 2 +pq(p+q)，即AD 2 =.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= （2）海伦公式：因为412 =? ABC S b 2c 2 sin 2 A=4 1b 2c 2 (1-cos 2 A)= 4 1 b 2 c 2 16 14)(12 22222=??????-+-c b a c b [(b+c)2-a 2 ][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 .2 c b a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题

初中数学相似三角形的运用~~讲义、练习

C B A 相似三角形运用 班级________姓名___________ 【基础练习】： 1.如图所示，若点C 是AB 的黄金分割点，AB ＝1，则A C=___ ，BC=_____ ； 2.如图,在等腰三角形ABC 中,∠A=36°,BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线,BD 、CE 相交于点O,则图中的黄金三角形有______个。 3．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ， 如图（1）所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为 ____ 4．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 【典型例题】： 例1．（1）如图，以A 为位似中心，将四边形ABCD 放大为原来的2倍． （2）以O 为位似中心，将四边形ABCD 按位似比1:2缩小。 例2.（1）如图的五角星中, AC AB 与BC AC 的关系是( ) A 、相等 B 、AC AB >BC AC C 、AC AB

三角形整理-对称三角形

三角形整理分为对称三角形整理、上升三角形整理和下行三角形整理。 对称三角形整理，根据大小不同，在突破后的级别也不同。通常对称三角形整理再被突破之后是保持原有的运动方向，趋势向上既向上突破，趋势向下既向下突破。通常来说，在三角形内整理会随着时间的延续，量能逐渐萎缩，也就意味着变盘的临近。若原趋势是向上的，在缩量之后，放量站上三角形上档压力线，则为成功突破的可能性较大，突破后的高度测算就是做平行四边形。若向下突破，也是同做平行四边形。当然很多时候，庄家也会利用三角形突破来诱骗散户，尤其是对一个处于上升趋势的对称三角形整理下档支撑线的跌破，通常在技术分析上来说在跌破支撑线3%后，就要止损离场。 下面给大家简单的介绍几个对称三角形整理： 上海汽车在图上，原有趋势向上，对称三角形整理，区间量能萎缩，之后放量跳空突破。按照标度的测算是在20.73元，但是第一波的拉升并没有完全的到达。这个也就是给大家心理一个大概的数，在设定目标位置的时候一定不要完全按照标度去设定，要在标度之下的一些点位设定。虽然之后该股价达到了22元之多，同时也是做了个头肩顶。后续会为大家介绍头肩顶。

这是上海汽车之前的一段走势，上海汽车在一波急跌之后，出现了一个下降期的对称三角形整理，区间内量能萎缩，突破方向选择了向下，高度的测算也基本复合。大家细看的话，这个走势也很符合我写的《拒绝左侧交易》里面的，我们应该回避的一些选股的特征。

这是南玻A的一段走势，这是一个顶部的对称三角形突破，突破后基本上也是到了一个测算位置。其实他的头肩顶的特征也是比较明显的。他的突破的跌幅比较大，一个是这个三角形的区间很大，再就是他的下档支撑线也是头肩顶的颈线位置，又有一条原始上升趋势线，它在跌破之后的回踩跌破的动作也是很标准 的，但不是所有的股票在跌破之后都会有这个回踩动作。

中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A

解三角形知识点汇总和典型例题

中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导教案讲义 授课对象 杨文、黄银 授课教师 程锐 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课 使用教具 人教版教材 教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形 教学重点和难点 灵活解斜三角形 参考教材 人教版必修5第一章 教学流程及授课详案 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ；

最全面的解三角形讲义

解三角形 【高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦定 理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接 圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

三角形整理形态

三角形是股市图表中比较常见的一种形态,在实际走势中常出现于各个时间段,虽然有时也作为反转形态出现,但大多数时候属于中继整理形态,所谓整理是指股价经过一段时间的快速变动后,即不再前进或后退,而在一定区域内上下窄幅变动,等时机成熟后再继续决定以后的方向.这种显示以往走势的形态称之为整理形态.三角形整理形态大体可分为两类:收敛三角形和发散三角形,由于篇幅所限,本文主要谈谈收敛三角形中常见的三种型态:上升三角形,对称三角形和下降三角形! (1)上升三角形 <1>型态分析 上升三角形(ascending triangle),通常在回升高点的连线趋近于水平而回档连线的低点,逐步垫高,因而形成往上倾的上升斜线,而在整理形态的末端,伴随着

攻击量能的扩增,一般往上突破的机会较大.由于股价在某水平呈现相当强大的卖压,价格从低点回升到水平便告回落,但市场的购买力十分强,股价未跌回至上次低点即告弹升,这情形一直持续,使股价沿着一条阻力水平线波动,并且日渐收窄.我们若把每一个短期波动高点连接起来,可画出一条水平阻力线;同时再把每一个短期波动低点相连,则可画出另一条向上倾斜的线,这就是上升三角形.成交量在整个型态的形成过程中是逐步减少的.通常在上升三角形里的每一波上升的部分成交量较大,而下跌回落部分的成交量则较少. <2>市场含义 上升三角形显示买卖双方在该范围内的较量,但买方的力量在争持中已稍占上风.卖方在其特定的股价水平不断沽售虽不急于出货,但却不看好后市,于是股价每升到理想的沽售水平,卖方便即沽出.这样在同一价格的沽售就形成了一条水平的供给线.不过,随着市场的购买力量加强,买方不待股价回落到上次的低点,更急不可待地购进,因此形成一条向右上方倾斜的需求线.另外,也可能是有计划的市场行为,不排除部分人士有意把股价暂时压低,以达到逢低大量吸纳之目的. <3>显示出的信号 [1]上升三角形是属于整理型态,大部分的上升三角形都在上升的趋势中出现,且暗示有向上突破的倾向.总的来说,上升趋势中的上升三角形和对称三角形最终向上突破,及下降趋势中的下降三角形最终向下突破,都是以顺势突破为主,可作为比较经典的中继形态. [2]在向上突破上升三角形顶部的水平供给阻力时,如果有成交量激增的配合,突破点就是一个短期较佳的买入时机.此型态属于整理形态,有一般向上突破的规律性,但亦有可能朝相反方向发展.即上升三角形最终也可能向下突破,在实际走势中,假突破也经常出现,那么如何来鉴定假突破呢?推荐的常见判别方法有三：一是收盘价越过突破线原则;二是突破后站稳于突破线之上并且突破幅度达到三角形最长一个边的3%,三是在向上突破时,有大成交量的配合!

解三角形练习题及答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 解三角形习题及答案 一、选择题（每题5分，共40分） 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A．90°B．120°C．135°D．150° 2、在△ABC中，下列等式正确的是( )． A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin B C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A．1∶2∶3 B．1∶3∶2 C．1∶4∶9 D．1∶2∶3 4、在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( )． A．25B．5C．25或5D．10或5 5、已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小( )． A．有一种情形B．有两种情形 C．不可求出D．有三种以上情形 6、在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0，则△ABC是( )． A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．形状不能确定 7、) ? sin的值为 ? 7 -? ? 83 37 ( sin sin 37 cos

A.2 3- B.2 1- C.21 D.2 3 8、化简 1tan151tan15+-等于 （ ） A B C ．3 D ．1 二、填空题（每题5分，共20分） 9、已知cos α－cos β=2 1，sin α－sin β=3 1，则cos （α－β）=_______． 10、在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ． 班别： 姓名： 序号： 得分： 、 、 、 、 三、解答题 13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角 形．

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性（讲义） 知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图 结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例： 一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求 解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．

精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使 点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．

3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴 交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1． （1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）． （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．

四年级下册三角形的整理与复习教案复习课程

四年级下册三角形的整理与复习教案

第十三周 第一课时： 教学内容：三角形内角和 教学目标：1、探索与发现三角形的内角和是180°，已知三角形的两个角度，会求出第三个角度。 2、培养学生动手操作和合作交流的能力，促进掌握学习数学的方法。 3、培养学生自主学习、积极探索的好习惯，激发学生学习数学应用数学的兴趣。 教学重点：掌握三角形的内角和是180°，会应用三角形的内角和解决实际问题 难点：探索性质的过程。 教学过程: 一、创设情境，激发兴趣。 提出两个两个疑问： 1、两个大小不一样的两个三角形的对话我比你大，所以我的内角和比你大，是这样的吗？ 2、三个形状不一样的三角形的争论。我们的形状不一样，所以我们的内角和各不相同，是这样的吗？老师发现它们争论的焦点是三角形的内角和的问题，那什么是三角形的内角？什么又是三角形的内角和呢？ 二、初建模型，实际验证自己的猜想

在第一步的基础上学生自然想到要量出三角形每个角的度数就能够求出三角形的内角和，从而证明三角形的内角和与三角形的大小和形状没有关系都接近180度。这时教师要组织学生进行小组合作，每人用量角器量出一种三角形（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形）的三个内角，并计算出它们的总和是多少？把小组的测量结果和讨论结果记录下来以便全班进行交流。 三角形的形状三角形每个内角的度数内角和 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 等腰三角形 等边三角形 三、再建模型，彻底的得出正确的结论 因为在上一环节学生已经得出三角形的内角和大约都是或接近180度。因为我们在测量时由于测量人不同、测量工具不同可能产生一些误差。有的同学难免可能猜想三角形的内角和就是180度呢？我们继续研究和探索。除了测量外我们是否可以利用我们手中的三角形通过拼一拼、折一折、画一画的方法来证明三角形的内角和都是180度呢？教师放手让学生去思考、去动手操作，对有困难和有疑问的同学进行提示和指导。

2018届三角函数及解三角形二轮复习讲义

三角函数及解三角形二轮复习讲义 分值：15-17分 题型：题型不固定，一般2-3个小题或一个小题1个解答题； 难度：低、中、高都有，以中低档为主； 第一讲 三角函数的图像与性质、三角恒等变换 高考体验 1.（2017年全国Ⅰ卷）已知0, 2πα?? ∈ ?? ?，tan 2α=，则cos 4πα? ?-= ?? ?________． 2、（2016年全国卷Ⅱ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12 π 个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ） A.()26k x k Z ππ=-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=-∈ D. ()212 k x k Z ππ=+∈ 3、（2014年全国Ⅰ）在函数①cos y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π =+ ，④tan(2)4 y x π =-中，最 小正周期为π的所有函数为（ ） A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 4、（2016年全国卷Ⅱ）函数()cos 26cos( )2 f x x x π =+-的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 5、（2015年全国Ⅰ卷）函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A.13 (,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ C. 13 (,),44k k k Z -+∈ D ．13 (2,2),44 k k k Z -+∈ 6、（2016年全国Ⅰ卷）已知θ为第四象限角，且3sin()45π θ+=，则tan()4 π θ-= 7、（2015年四川卷）已知sin 2cos 0αα+=，则2 2sin cos sin ααα-的值为 高考感悟： 考查角度：（1）三角函数的定义及应用；（2）三角函数的性质：奇偶性、对称性、周期性、单调性、最值 等；（3）三角函数的图像变换（或由图像变换求参数），由图求解析式；（4）三角恒等变换：给值求值或与解三角形相结合。

解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点: 1、正弦定理：或变形: 2、余弦定理：或 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式? 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,… 【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ） A. cosA>sinB 且cosB>sinA B. cosAsinB 且cosBsinA 9、三角形内切圆的半径：，特别地, 正弦定理 专题：公式的直接应用 1、已知中，，，，那么角等于（） A. B. C. D. 2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ） A. 30 ° B. 60 ° C. 60 或120 ° D 30 或150 3、的内角的对边分别为，若，则等于（） A. B. 2 C. D. 4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ） A. B. C. D. 5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ） A. B. C. D. 6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（） 7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ） A . B. C . D . & △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ） A . B . C . D . 9、在△ AB（中，证明：。 证明： 由正弦定理得： 专题：两边之和 1、在厶AB(中, A= 60 ° B= 45 则a = （,）

九上学生相似三角形讲义全

第1讲相似图形与成比例线段 【学习目标】 1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。 2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。 【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。 【学习难点】成比例线段概念。 【学习过程】 知识点一：比例线段 定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两 条线段的比，如果a c b d ，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线 段，简称比例线段。 例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？ 解： 练习一： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC、 CD DE、 AC BE、 AC CD （2）试指出图中成比例线段 2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？ 3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？ 4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的

比是___________ 5、已知线段a= 12、 b =2+c=2若a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>， 则y =__________ 6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ） A a=3 b=6 c=2 d=4 C a=4 b=6 c=5 d=10 知识点二：比例线段的性质 比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b = （2） 合比性质：如果 a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3） 等比性质：如果 a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么 a c e m a b d f n b ++++=+++ + 例2 填空： 如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b -= 练习二： 1、已知35a b =，求a b a b +- 2、若 234a b c ==，则23a b c a ++=_________ 3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ） A m x n y = B m n y x = C y m x n = D x y n m = 4、已知570x y -=，则 x y =_______

初三数学三角形知识点整理

2019年初三数学三角形知识点整理 【编者按】为了丰富同学们的学习生活，查字典数学网初中频道搜集整理了2019年初三数学三角形知识点整理，供大家参考，希望对大家有所帮助! 2019年初三数学三角形知识点整理 ☆内容提要☆ 三角形 分类：⑴按边分; ⑵按角分 1.定义(包括内、外角) 2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中， 3.三角形的主要线段 讨论：①定义②线的交点三角形的心③性质 ①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线 ⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质 5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS) ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6.三角形的面积 ⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7.重要辅助线 ⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8.证明方法 ⑴直接证法：综合法、分析法 ⑵间接证法反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。⑹证面积关系：将面积表示出来 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让

三角形的整理与复习

三角形的整理和复习 教学内容：苏教版小学数学四年级下册第三单元“三角形”的整理和复习 教学目标： 1．通过整理复习，让学生经历建构知识体系的过程，培养学生简单的归纳概括能力，加深学生对三角形的认识，完善其三角形的知识结构。 2．通过整理复习，培养学生自主探索、合作交流、分析解决实际问题的能力。 3．通过整理复习，使学生获得积极的成功的情感体验，产生数学学习兴趣，增强学好数学的信心。 教学重点、难点：让学生领悟知识间的内在联系，体会到三角形“角”和“边”知识的重要性。 教学过程： 一、知识系统整理： 1．揭示课题。 2．回顾知识。 （1）师：我想用三根小棒，围成一个三角形，对这三根小棒的长度有什么要求？ 导出：任意两边之和大于第三边。 师:仔细看，老师用这样的三根小棒围了一个三角形： （三根小棒围成等腰直角三角形。并出现a 、b 、c 、∠1、∠2。） （2）围绕这个三角形出示四道题。 ① ④ ② ③ 师：任选其中的一个问题回答，并说说从这个问题你还能联想到我们所学的哪些 a 是以（ ） 为底的高。 这既是一个（ )三角形， 又是一个（ ）三角形。 ∠1=（ ）° ∠2=（ ）° 三角形有什么基本特征？

三角形的知识？ 学生交流。 追问：还有需要补充的三角形的知识点吗？ （根据学生回答出示相应的知识点） (设计意图：从一个特殊的三角形引出的几个题目旨在帮助学生唤起三角形的各知识点，为有序整理三角形的知识作好准备。) 3．小组合作，整理知识点。 （1）师：通过观察一个三角形同学们联想到了这么多三角形的知识点，那这些知识点间有联系吗？你能根据这些知识点间的联系把它整理一下吗？ （2）合作交流，每位学生在小组里交流自己整理的思路，在相互补充的过程中完善知识体系，形成“知识树”。 4．全班交流，形成知识网络。 全班交流，介绍自己的整理意图，形成清晰的知识网络。 5.小结整理，提升认识。 小结整理过程，体会学习中整理的重要性。 （设计意图：教会学生将知识进行归纳、整理，构建“知识树”，让学生深刻感受到三角形各知识点间的联系。） 二、查缺补漏训练。 1．辩一辩，说说判断的依据是什么。 （1）等边三角形是等腰三角形，等腰三角形也是等边三角形。（） （2）钝角三角形只有一条高。（） （3）自行车的三角架是应用了三角形的稳定性的特性。（） （4）大三角形的内角和比小三角形的内角和大。（） （5）一个三角形中，如果一个角是88°，它是一个锐角三角形。（） 小结：我们在做判断题时，考虑问题一定要仔细、全面、深入。 2.生活中的问题。 出示：工厂里有5根废弃的钢条，工人师傅想选3根钢条做一个三角形的架子。可选那三根钢条围成三角形呢？把所有的情况写下来。 钢条长度如下：3分米、4分米、5分米、7分米、7分米。 （1）独立完成，个别扮演。（要求：有序书写） 追问：哪三根钢条是不能围成三角形的？为什么？ （2） ①围成的三角形中有特殊的吗？