抛物线教师用

1,已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标

原点,向量OA ,OB 满足O A O B O A O B +=- 设圆C 的方程为

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P 的值

1.已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标

原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA +=- 设圆C 的方程为

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0时，求p 的值 【解析】(I)证明1: 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+

整理得: 0OA OB ?=

12120x x y y ∴?+?=

设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?=

即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径

证明2: 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-

222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+

整理得: 0OA OB ?=

12120x x y y ∴?+?=…… (1) 设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则

即211221

1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径

证明3: 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-

222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+

整理得: 0OA OB ?=

12120x x y y ∴?+?= (1)

以线段AB 为直径的圆的方程为

2222121212121()()[()()]224

x x y y x y x x y y ++-+-=-+- 展开并将(1)代入得:

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径

(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则

1212

22

x x x y y y +?=???+?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==>

2212122

4y y x x p ∴= 又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?

2212122

4y y y y p ∴-?= 12120,0x x y y ?≠∴?≠

2124y y p ∴?=-

2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p

+==+=++- 221(2)y p p

=+ 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-

设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则

22221|

(2)2|y p y d +-===

22=当y=p 时,d

5= 2p ∴=

解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则

121

222

x x x y y y +?=???+?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==>

22121224y y x x p

∴= 又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?

2212122

4y y y y p ∴-?= 12120,0x x y y ?≠∴?≠

2124y y p ∴?=-

2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p

+==+=++- 221(2)y p p

=+ 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0

的距离为5

则 2m =±

因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,

所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0

的距离最小值为22220(2)2(3)x y y px p --=??=-?

将(2)代入(3)得222220y py p p -+-=

2244(22)0p p p ∴?=--=

2.p p >∴=

解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则

121

222

x x x y y y +?=???+?=?? 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则

1212|

()|x x y y d +-+= 2211222,2(0)y px y px p ==>

22121224y y x x p

∴=

又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?

22121224y y y y p

∴-?= 12120,0x x y y ?≠∴?≠

2124y y p ∴?=-

2212122221|

()()|y y y y d +-+∴==

22

= 当122y y p +=时,d

5= 2p ∴=

1.已知抛物线2

4x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=> 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（I ）证明.FM AB 为定值； （II ）设ABM ?的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

3.已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是

OAB 的内接圆（点C 为圆心）

（Ⅰ）求圆C 的方程；

（Ⅱ）设圆M 的方程为22

(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF 、，切点为E F 、，求CE CF ? 的最大值和最小值。

（Ⅰ）解法一：设A 、B 两点坐标分别为（121,2

y y ），（222,2y y ），由题设知

221222212222221221)()2

2()2()2(y y y y y y y y -+-=+=+， 解得122221==y y ，

所以A （6，23），B （6，-23）或A （6，-23），B （6，23）。

设圆心C 的坐标为（r,0），则463

2=?=r ，所以圆C 的方程为 .16)4(22=+-y x

解法二：设A 、B 两点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由题设知

22

222121y x y x +=+ 又因为2221212,2x y x y ==，可得22112122x x x x +=+，即

0)2)((2121=+++x x x x 。

由0021＞，＞x x ，可知x 1＝0，故A 、B 两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上，

设C 点的坐标为（r,0），则A 点的坐标为（r 23,23），于是有r r 2

32)23(2?=，解得r=4，所以圆C 的方程为

16)4(22=+-y x 。……4分

（Ⅱ）解：设∠ECF ＝2a ，则

16cos 322cos ||||2-=??=?a a CF CE CF CE ……8分

在Rt △PCE 中，|

|4||cos PC PC r a ==，由圆的几何性质得 1718,1716PC MC PC MC ≤+=+=≥-=-= 所以12cos ,23

α≤≤由此可得 1689

CE CF -≤?≤-

故CE CF ? 的最大值为169

-，最小值为—8。 4.设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，

，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（Ⅰ）若6ED DF = ，求k 的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··············································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，

且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，

故21x x =-=．①

由6ED DF = 知01206()x x x x -=-

，得021215

(6)77x x x x =+==； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =

+． 所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，

解得23k =或38

k =． ············································································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h == 2h ==． ····································································· 9分

又AB ==AEBF 的面积为

121()2

S AB h h =+

12=

=

=

≤

当21k =，即当12

k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······························· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，

故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S S S =+△△

222x y =+ ·

····························································································································· 9分

=

=

=

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ·················································· 12分

5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、

B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

2

（I ）求a ，b 的值； （II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+ 成立？

若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

解:(I ）设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离为2

2=1c =.又c e a b a ==∴==（II ）由(I ）知椭圆的方程为22

:132

x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+

代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然0?>。 由韦达定理有：1224,23m y y m +=-+1224,23

y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+ 成立，则其充要条件为： 点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即22

1212()()132

x x y y +++=。 整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=。

又A B 、在椭圆上，即22221122236,236x y x y +=+=.

故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212

m =

1222y y ∴+=-,12x x +=22432232m m -+=+,即3(,22

P ±.

当3,(,),:12222

m P l x y =-=+;

当3,(:12m P l x y ==+. 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理

和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破

口和切入点。

6已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89

FA FB = ，求BDK ?的内切圆M 的方程 .

已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2

2

12y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足.

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(

1

2

y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处

两曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

如图，抛物线21:4,C x y =()22:20.C x py p =->点00(,)M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，B （M 为原点时，A ，B 重合于O

）。当

01x =时，切线MA 的斜率为12

-。 （I ）求P 的值。

（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程

（A,B 重合于O 点时，中点为O ）。

（I ）解：21:4,C x y =即214y x =，12y x '=。令1122

x =-， 求得A 点横坐标为-1.代入214

y x =，得 A 点横坐标为14。所以1(1,)4A -

。01x =，代入 ()22:20C x py p =->

，得032y p

=

。3(1)2B p

112-=-，解得2p =。………………………………………………………6分

设抛物线2:2(0)C x py p =>的交点为F ，准线为l ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.

（Ⅰ）若090=∠BFD ，ABD ?的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；

（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

初中抛物线常见结论汇总(教师版)

初中抛物线常见结论汇总（教师版） 1. （唯一交点或最值） （1）已知抛物线y=x 2－2x －3，过点D （0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式) （2）已知抛物线y=x 2－2x －3，在第四象限的抛物线上求点P ，使四边形ACPB 的面积最大。 2. (焦点—准线：顶点上下14a 个单位)已知抛物线y ＝12 x 2－x ＋1，直线过点P （1，1）与抛物线交于A 、B 。过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。 （1）连PM 、PN ，求证：△PMN 为直角三角形； （2）①求证：AB ＝AM+BN ；②求1AP ＋1BP 的值。 （3）已知点D （1，0），求证：DP 经过△AB D 的内心。 3. 如图，抛物线y ＝12x 2﹣x －32 顶点为D ，对称轴上有一点E （1，4），在抛物线上求点P ，使∠EPD=90°。 4. （定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点构成以O 点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。（定点：顶点向上平移1/a 个单位长度）

5. （定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，交点C 向上平移t 个单位长度到D ，过D 作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠ECF＝90°。求t 与a 的关系。 6. （定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点P （m,n ）为抛物线 上任意一点，过D （0，n+t ）作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠EPF＝90°。求t 与a 的关系。 7. （纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点为A 、B ，在对称轴负半轴上有点Q （0，-2），且∠AQB 被对称轴平分，求P 点坐标。 8. （纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y ＝x 2-x －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点D 和点C 关于对 称轴对称，MN ∥AD ，交抛物线于M 、N ，直线MD 、ND 分别交y 轴于E 、F 。求证：CF ＝CE 。

高二数学教案：抛物线教案人教版

人教版抛物线教案 一．教学目的： １．掌握抛物线的概念． ２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点： １．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程： 引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。） 如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线． 结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，则焦点Ｆ的坐标为F(2 p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－ 2 p ． 设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝． ∵MF ＝2 2y p x +??? ?? - ， ｄ＝2 p x +， ∴2 2y p x +??? ?? - ＝2 p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2 =2px(ｐ＞０) 让学生自己总结，写出抛物线标准方程的其他几种形式．教师总结如下表：

最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象. 接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础. 例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: ⑴ｘ２＝２ｙ： ⑵ｙ２－６ｘ＝０： 例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．

中考压轴大题--抛物线+三角形 教师版

001如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式； （2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； 解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B （3，0）， ∴BC=3 ， 点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC ﹣ OC=3 ﹣3 ∴P 1（0，3+3 ），P 2（0，3﹣3 ）； ②当BP=BC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，﹣3）； ③当PB=PC 时， ∵OC=OB=3 ∴此时P 与O 重合， ∴P 4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）； 002如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为 （6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8； （2）①∵OA=8，OC=6， ∴AC==10， 过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0

⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右

考点52 抛物线(教师版) 备战2020年高考理科数学必刷题集

考点52 抛物线 1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线2 :4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆2 2 20x y x +-=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14 |||| PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A 【解析】 作图如下：可以作出下图， 由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-， 24y x =，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有 112 1m n p +==， 1m n mn +∴ =，则m n mn +=， 14||||PM QN ∴ +14 11m n =+ --4545()1m n m n mn m n +-==+--++ 又 11(4)1(4)( )m n m n m n +?=+?+441m n n m =+++452m n n m ≥+? 得49m n +≥，454m n ∴+-≥ 则 14 |||| PM QN +的值不可能为3，

答案选A 2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ） A ． 9 4 B ． 92 C ．9 D ．18 【答案】B 【解析】 设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H 由4BC BF =，得： 4 5 BH BC PF CF == 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 倾斜角为θ 由抛物线焦半径公式可得：41cos 5 p BF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4 θ= 4 6131cos 3 144 p p p AF p θ∴= ====--，解得：9 2 p = 本题正确选项：B 3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为 双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ．

双曲线及抛物线(作业及答案)

5 5 13 双曲线及抛物线（作业） 例 1： 已知双曲线 x 4 y 2 - = 1 的右焦点与抛物线 y 2 b 2 = 12x 的焦点 重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 【思路分析】 B ． 4 C.3 D ．5 先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】 ∵抛物线 y 2 = 12x 的焦点坐标为(3，0) ， ∴双曲线 x 4 y 2 - = 1的右焦点坐标为(3，0) ，即 c =3， b 2 ∴ 4 + b 2 = 9 ，即b = ， ∴双曲线的渐近线方程为 y = ± 5 x ，即 5x ± 2 y = 0 ， 2 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d = | 3? 3 5 | = ．故选 A ． x 2 y 2 例 2： 如图， F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b 2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、 右焦点，过点 F 1 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB |:| BF 2 |:| AF 2 |= 3 : 4 : 5 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B ． 【思路分析】 C ．2 D ． 利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系． 设| AB |= 3t ，则| BF 2 |= 4t ，| AF 2 |= 5t ，可得△ ABF 2 是以 B 为直角顶点的直角三角形； 5 2 15 3 2 2

13 根据双曲线的定义，得| AF 2 | - | AF 1 |=| BF 1 | - | BF 2 | ， 根据| BF 1 |=| AB | + | AF 1 | ，得 5t - | AF 1 |=| AF 1 | +3t - 4t ，解得| AF 1 |= 3t ， ∴| AF 2 | - | AF 1 |= 2t = 2a ，即a = t ， ∵∠ F 1BF 2 = 90? ， ∴| F 1F 2 | = = 2 13t ，即c = 13t ， ∴离心率e = c = ．故选 A ． a 例 3： 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线 交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p 的值为 ． 【思路分析】 利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】如图所示： ∵AB ⊥OF ，| AB |= 8 ， ∴| AF |= 4 ， ∴点 A 到准线 x = - p 的距离d = 4 ， 2 ∵点 A 到准线 x = - p 的距离为 p ， 2 ∴ p = 4 ． | BF |2 + | BF |2 1 2

高中数学双曲线及抛物线

双曲线及抛物线（讲义） 知识点睛 一、双曲线 1. 双曲线的标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=． 因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-， 两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以． 类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，． 双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>．

2.双曲线的几何性质 二、抛物线 1.抛物线的标准方程 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的

轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-． 设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==． 因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+． 将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>． 抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质

人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】

抛物线 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性 质 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ? ????p 2，0 F ? ????－p 2，0 F ? ?? ??0，p 2 F ? ?? ??0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2 ＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( ) A ．217 B .17 C ．215 D .15 【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 由????? y ＝kx －2，y 2 ＝8x ， 得k 2x 2 －4(k ＋2)x ＋4＝0. ∵直线与抛物线交于A 、B 两点，

解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．

抛物线的参数方程(教师版)

14?抛物线的参数方程 主备5 审核J 学习目标:L r 解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义： 2.掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习臺点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材P33-P34的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，井复习以下问题: 1?将下列参数方程化为普通方程： X = 2-1 x = f-- (1) y = 2x-，其中A = f-y (f 为参数人答「 (2) 3y-=4x ，其中x = t (f>0为参数人 答：? 二. 新课导学, (-)新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设M (儿刃为抛物线上除顶点外的任意一点，以 射线OM 为终边的角记为a ,当住在内变化时, 2 2 点M 在抛物线上运动，并且对于住的毎一个值，在抛物 线上都 有唯一的M 点与对应?因此，可以取为参数探求 抛物线的参数 方程. 根据三角函数的定义得，tana =上，KP y = xtan

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结 一、 椭圆的标准方程及其几何性质 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨 迹叫做椭圆。符号语言：()12222MF MF a a c +=> 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图 形 性质 焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦 距 c F F 221= c F F 221= 范 围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点坐标 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴 长 长轴长=a 2，短轴长=b 2；长半轴长=a ,短半轴长=b a b c 、、关系 222a b c =+ 离 心 率 )10(<<= e a c e 通 径 22b a 焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2 2 10,0,mx ny m n m n +=>>≠ 与椭圆12222=+b y a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()22 22 21x y k b a k b k +=>-++

二、 双曲线的标准方程及其几何性质 双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：()12 -222MF MF a a c =< 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在 标准方程 22 22 1x y a b -= (0,0)a b >> 22 22 1y x a b -= (0,0)a b >> 图 形 性质 焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦 距 c F F 221= c F F 221= 范 围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点坐标 )0,(a ± ),0(a ±， 实轴、虚轴 实轴长=a 2，虚轴长=b 2；实半轴长=a ,虚半轴长=b a b c 、、关系 222c a b =+ 离 心 率 (e 1)c e a => 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 通 径 22b a 焦点位置不确定的双曲线方程可设为：()2 2 10mx ny mn -=> 与双曲线22 221x y a b -=共焦点的双曲线系方程可设为：() 22 222 21x y b k a a k b k -=-<<-+ y o a b x x y o a b x y a o

圆锥曲线(椭圆_双曲线_抛物线)的定义、方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<

3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。

3.3.1-3.3.2抛物线的方程与性质 教师版

抛物线的方程与性质 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为( ,0)2p ，准线l 的方程为2 p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合 }|||{d MF M P ==. .|2 |)2(|,2 |,)2(||2222p x y p x p x d y p x MF +=+- ∴+=+-= 将上式两边平方并化简，得2 2(0)y px p => ① 方程①叫抛物线的标准方程， 它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是( ,0)2p 它的准线方程是2 p x =-. 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p > 要点三、抛物线的简单几何性质：

抛物线标准方程2 2(0)y px p =>的几何性质 范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈， 抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 对称性：关于x 轴对称 抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴 顶点：坐标原点 抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0） 离心率：1e =. 抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。 用e 表示，e=1。 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ?? ??? ，,2p p ??- ??? ，所以抛物线的通径长为2p ；这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义。 另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P 刻画了抛物线开口的大小，P 值越大，开口越宽；P 值越小，开口越窄． 抛物线标准方程几何性质的对比

抛物线的参数方程(教师版)

14. 抛物线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程： （1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=； （2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程： （1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ； （2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数） ，答：x t y =???=?? . 二、新课导学： （一）新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时， 点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞U ，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数 ）， 当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程 .

第51讲 抛物线(达标检测)(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

《抛物线》达标检测 [A组]—应知应会 1．（2020春?平谷区期末）已知抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是（）A．2B．4C．6D．8 【分析】直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可． 【解答】解：抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是：4． 故选：B． 2．（2020?新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（） A．2B．3C．6D．9 【分析】直接利用抛物线的性质解题即可． 【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 故有：9+＝12?p＝6； 故选：C． 3．（2020?北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l 于Q，则线段FQ的垂直平分线（） A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 【分析】不妨设抛物线的方程为y2＝4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案． 【解答】解：不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1， 不妨设P（1，2）， ∴Q（﹣1，2）， 设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0）， 可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，

故选：B． 4．（2020?汉阳区校级模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上第一象限上的点，B为l上一点，满足，则直线AB的斜率为（） A．B．C．3D． 【分析】作出图形，根据抛物线的定义及已知条件可得直线AB的斜率，进而得解． 【解答】解：作出图形，过点A作AD⊥直线l，垂足为D，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，设|AF|＝m， ∵， ∴|FB|＝2|AF|＝2m， ∴， 设直线AB的倾斜角为θ，则， ∴直线AB的斜率为． 故选：D． 5．（2020?沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|＝1，则抛物线C的方程为（） A．B．y2＝2x C．y2＝3x D．y2＝4x 【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出A的坐标，利用|AF|＝1，求解p，然后推出抛物线方程．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛

双曲线和抛物线

双曲线和抛物线 一、知识梳理 1. 双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值为常数2a (122a F F <)的动点P 的轨迹叫双曲线，其中两个定点F 1、F 2叫双曲线的焦点. 当12122PF PF a F F -=<时， P 的轨迹为双曲线; 当12122PF PF a F F -=>时， P 的轨迹不存在; 当12122PF PF a F F -==时， P 的轨迹为以F 1、F 2为端点的两条射线. 2. 双曲线的标准方程和几何性质 a b a b

3.抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线. 4.抛物线的标准方程和几何性质 二、方法归纳 1.(1)求双曲线离心率必须分两种情况，共渐近线的双曲线方程为：λ=-22 22b y a x ) 0(≠λ的形式，它们的渐近线为x a b y ± =. (2)关于双曲线的渐近线，可做如下小结： 若已知双曲线方程为12222=-b y a x 或122 22=-b x a y ，则它们的渐近线方程只需将常数“1” 换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若已知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即

02 222=-b y a x 的形式，再设出双曲线方程λ=-22 22b y a x )0(≠λ. 2.抛物线题型：利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 题型一：双曲线的定义及标准方程 【例1】双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 【例2】已知双曲线C 与双曲线22 1164 x y -= 有公共焦点，且过点（2）.求双曲线C 的方程. 【适时导练】 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）过点??? ??4153，P ，?? ? ??- 5316，Q . （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上. 2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点()31 -，P ，且离心率为2的双曲线方程. 题型二：与渐近线有关的问题 【例1】已知双曲线的渐近线方程是1 2 y x =±，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 . 【例2】若双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离 心率为 2 2 21x y -=

抛物线.板块二.抛物线的几何性质.教师版 普通高中数学复习讲义Word版

【例1】 抛物线24y x =上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（ ） A ．3 B ．2 C ．1.5 D ．1 【考点】抛物线的几何性质 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】B ； 【答案】B ； 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】B ； 【答案】B ； 【例3】 抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（ ） A ．84ABO A B S ==△， B ．82AOB AB S ==△， C ．42AOB AB S ==△， D ．44AOB AB S ==△， 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】抛物线24x y =-的焦点为(01)-，，对称轴为y 轴，故点A ，B 的纵坐标为1-， 典例分析 板块二.抛物线的几何性质

代入得其横坐标分别为22-，，故4AB =，1 4122 ABC S ?=??-=，故选C ； 【答案】C ； 【例4】 过点(12)M ，且以y 轴为准线的抛物线的焦点的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 【考点】抛物线的几何性质 【难度】星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】设焦点为F ，则由抛物线的性质，||1FM =． 【答案】A ； 【例5】 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点， 若4OA AF ?=-，则点A 的坐标是（ ） A ．(2,± B ．(2, C ．(1,2)± D ．(1,2) 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】(1,0)F ，不妨设11(,)A x y ，于是有221111111(,)(1,)4x y x y x x y ?--=-=--，又 2114y x =，故有211340x x +-=，从而14x =-（舍去）或11x =．此时12y =±． 【答案】C ； 【例6】 抛物线24y x =的弦AB 过定点(20)，，则AOB ∠是（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．以上都可能 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】若AB 过点(40)，，则AOB ∠为直角，点(20)，在点(40)，左侧，故为钝角． 【答案】C ； 【例7】 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．114??- ???， B ．114?? ???， C ．(12)， D ．(12)-， 【考点】抛物线的几何性质