奥数专题完全平方数

学而思奥数网奥数专题 (数论问题完全平方数)

1、 五年级数论问题：完全平方数

难度：中难度/高难度

答：

2、五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度

答

3、 五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答：

一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方

求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数

4、 六年级数论问题：完全平方数

难度：中难度/高难度

答：

5、 六年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度

答：

求满足下列条件的所有自然数：

(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数。

甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(

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1、五年级完全平方数习题答案：

解答：设此自然数为x，依题意可得

x-45=m^2; (1)

x+44=n^2 (2)

(m,n为自然数)

(2)-(1)可得 :

n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89

因为n+m>n-m

又因为89为质数，

所以：n+m=89; n-m=1

解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

2、五年级完全平方数习题答案：

解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证

是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明设这四个整数之积加上1为m，则

m为平方数

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

3、五年级完全平方数习题答案：

解答：

形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

或

在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

证明若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

综上所述，不可能是完全平方数。

4、六年级完全平方数习题答案：

解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

11｜N - 4或11｜N + 4

或

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

5、六年级完全平方数习题答案：

解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

05五年级奥数——完全平方数

第八讲 完全平方数 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，…… 判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。 阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示： 分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝21 2a ＝1＋3＝4＝22 3a ＝1＋3＋5＝9＝23 4a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24 ……… n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2 )1(1n n ?-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是奇数个数的平方） 【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1） 一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？

【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？ 练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？ A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。 练习二：2 【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？ 一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？ 【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态； 第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态； 一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态； 那么第200秒时，明亮的灯泡有（）个。

小学奥数教程-完全平方数及应用(一)

1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

小学奥数25完全平方数

2.7完全平方数 2.7.1相关概念 完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。 2.7.2性质推论 例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。 此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数 性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。 证明奇数必为下列五种形式之一： 10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9 分别平方后，得 (10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。 则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6 或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6 即k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；

小学五年级奥数 完全平方数(二)

本讲主线 1. 完全平方数的约数个数 2. 平方差公式的应用. 完全平方数(二) 版块一∶完全平方数的约数个数 【例1】(★★) 不大于100的非零自然数中, 因数个数是奇数的有多少 个？ 【知识要点屋】1、约数个数: ⑴分解质因数到指数形式. ⑵约个等于指数＋1连乘. 2、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) ，. 【例2】(★★) 10000以内的自然数中, 有且仅有3个因数的自然数有多少 个？ 【例3】(★★★) 一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关. 开始时, 所有的灯都不亮. 有100个人依次进入房间, 第1个人进入房间 后, 将编号为1的倍数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后, , , 个人进入房间, 将编号为100的倍数的灯的开关按一下, 然后离开. 问： 第100个人离开房间后, 房间里哪些灯还亮着？【拓展】(★★★)(迎春杯初赛五年级) 200名同学编为1至200号面向南站成一排. 第1次全体同学向右转(转后所 有的同学面朝西)；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号 为3 的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右 转； , ___ . 1

【例4】(★★★) 学而思运动会上, 五年级的女生们准备出一个团体操的节目. 现在的人 数刚好排成一个方阵(每一行人数和每一列人数相等). 后来又加入了23 个女生, 恰好还可以组成一个方阵. 那么你能算出加入23人之前, 方阵共【例5】(★★★)知识大总结 1、A＝a2, 质因数成对出现. 2、完全平方数, 约数个数一定奇数个. 3、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) 性质：完全平方数除以5只能余0、1、4. 完全平方数除以3只能余0、1. 完全平方数除以4只能余0、1. 能否找到这么一个数, 它加上24, 和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【今日讲题】 例2, 例3, 例5 【讲题心得】 ___________________________________________ __________________________________________. 【家长评价】 ____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________. 2

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

五年级奥数题练习及答案(55题)

五年级奥数题练习（55题） 1、（1 +2 +8 ）÷（1 +2 +8 ）＝ 2、奥运吉祥物中的5个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃”，那么，有种不同的放法。 3、有一列数：1，1，3，8，22，60，164，448……其中的前三个数是1，1，3，从第四个数起，每个数都是这个数前面两个数之和的2倍。那么，这列数中的第10个数是。 4、有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐人。 5、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A,B,C,D,E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的仅次于A组，参加C组、D组的人数相同。参加E组的人数最少，只有4人，那么，参加B组的有人。 6、菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的2/5时，装满了3筐还多16千克。摘完其余部分后，又装满6筐，则共收得西红柿千克。 7、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米。因而提前3天完成任务。这条路全长千米。 8、两个完全相同长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是平方厘米。 9、著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6＝3+3，12＝5+7，等。那么自然数100可以写成种两个不同质数和的形式？请分别写出来（100＝3+97和100＝97+3算作同一种形式）

10、号码分别为2005、2006、2007、2008的4名运动员进行乒乓球赛，规定每2人比赛的场数是他们号码的和被4除所得的余数。那么2008号运动员比赛了场。 11、0.15÷2.1×56= 12、15+115+1115+ (1111111115) 13、一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4.得余数3。若用这个自然数除以6，得余数。 14、有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个相同自然数的乘积）。如：1=1×1=1×1×1，64=8×8=4×4×4。那么，1000以内的自然数中，这样的数有个。 15、有一个自然数，它的最小两个因数的差是4，最大两个因数的差是308，这个自然数是。 16、先将4黑1白共5个棋子放在一个圆圈上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉。如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有个白子。 17、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的3倍，经过60分钟，两人相遇。然后，甲的速度减为原来的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行。那么，当甲到达B地后，再经过分钟，乙到达A地。 18、将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长、宽、高三个方向锯开3次，得到24个长方体木块。这24块长方体木块的表面积的和是平方米。 19、将1~2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1），（3，5），(7，9，11)，(13，

小学数学奥数测试题完全平方数-人教版

2019年小学奥数数论专题——完全平方数 1．1234567654321(1234567654321)?++++++++++++是 的平方． 2． 112123123412345123456+?+??+???+????+?????，这个算式的得数能否是某个数的平方？ 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 6． 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________． 7．已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。 8．已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。 9．考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ． 10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数． 13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ． 14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) 17．A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为 ． 18．已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________． 19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。 23．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？ 24．记(123)(43)S n k =????++，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方． 25．称能表示成123k ++++的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ． 26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？ 27．A 是由2019个“4”组成的多位数，即200244444个，A 是不是某个自然数B 的平方？如

奥数专题完全平方数

学而思奥数网奥数专题 (数论问题完全平方数) 1、 五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 2、五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答 3、 五年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。 求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方 求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数

4、 六年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 5、 六年级数论问题：完全平方数 难度：中难度/高难度 答： 求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数。 甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(

学而思奥数网奥数专题（数论问题完全平方数） 1、五年级完全平方数习题答案： 解答：设此自然数为x，依题意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n为自然数) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89 因为n+m>n-m 又因为89为质数， 所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。 2、五年级完全平方数习题答案： 解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。 证明设这四个整数之积加上1为m，则 m为平方数 而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。 3、五年级完全平方数习题答案： 解答： 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即 或 在两端同时减去1之后即可推出矛盾。 证明若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

五年级奥数完全平方数及应用(一)教师版

1. 五年级奥数完全平方数及应用（一）教师版 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ,则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9． 性质2：完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因 数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p 是质数,n 是自然数,N 是 完全平方数,且21|n p N -,则2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个 完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时,其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0,4）时,其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

小学数学奥数测试题完全平方数_人教版

第 1 页 2019年小学奥数数论专题——完全平方数 1．1234567654321(1234567654321)?++++++++++++是 的平方． 2． 112123123412345123456+?+??+???+????+?????，这个算式的得数能否是某个数的平方？ 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 6． 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________． 7．已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。 8．已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。 9．考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ． 10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数． 13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ． 14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) 17．A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为 ． 18．已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________． 19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。 23．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？ 24．记(123)(43)S n k =????++L ，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方． 25．称能表示成123k ++++L 的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ． 26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？ 27．A 是由2019个“4”组成的多位数，即20024 4444L 14243个，A 是不是某个自然数B 的平方？如

2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版

完全平方数 知识框架 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一 定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

小学奥数知识点梳理(免费下载)

学而思小学奥数知识点梳理 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质

⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若 111 a b c >>， 则c>b>a.。形如：3 12123 m m m n n n > >，则 3 12123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+=++n n n ② ()()6 12121222++= +++n n n n ③()21n a n n n n =+=+ ④() ()4 121212 22 333+= ++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-22

⑦1+2+3+4…（1）（1）+…4+3+2+12 二、数论 1．奇偶性问题 奇±奇=偶奇×奇=奇 奇±偶=奇奇×偶=偶 偶±偶=偶偶×偶=偶2．位值原则 形如：abc=10010 3．数的整除特征：

小学奥数：完全平方数及应用(一).专项练习及答案解析

5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库 教师版 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完 全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

奥数：完全平方数

绝密★启用前 奥数：完全平方数 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分，） 1. 把两个整数平方得到的数“拼”起来（即按一定顺序写在一起）后仍然得到一个平方数，则称最后得到的这个数为“拼方数”．如把整数4，3分别平方后得到16，9，拼成的数“169”是13的平方，称“169”是“拼方数”．在下列数中，属于“拼方数”的是（） A.225 B.494 C.361 D.1219 2. 在不大于100的自然数中，既不是完全平方数（平方根是整数）也不是完全立方数（立方根是整数）的数的概率有（） A.3 25 B.87 101 C.87 100 D.88 101 3. 一个完全平方数的最前两位数为19，最末两位数为99，则这样的完全平方数（） A.不存在 B.只有一个 C.有两个 D.有两个以上 4. 如果对于不<8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全 平方数的和，那么k的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 5. 连续正整数a，b，c，d，e之和为完全立方数，b，c，d之和为完全平方数，则c的 最小值为（） A.100 B.225 C.375 D.675 6. 11，111，1111，11111，…中，完全平方数的个数为（） A.0 B.1 C.10 D.无数多 卷II（非选择题） 二、填空题（本题共计 13 小题，每题 5 分，共计65分，） 7. 一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，则这个自然数是________． 8. 在2001、2002、…、2010这10个数中，不能表示成两个平方数差的数有________个． 9. 有一个整数，加上100则为一个完全平方数，如果加上168，则为另一个完全平方数，则这个数为________． 10. 已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是________．

小学五年级奥数题及答案解析

小学五年级经典奥数题 题1、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为1元和1角的人民币，求换来的这两种人民币各多少张？ 题2、有一元，二元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各多少张？ 题3、有3元，5元和7元的电影票400张，一共价值1920元，其中7元和5元的张数相等，三种价格的电影票各多少张？ 题4、用大、小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱，现在有18车货，价值3024元，若每箱便宜2元，则这批货价值2520元，问：大、小汽车各有多少辆？ 题5、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次，平均每天运14次，这几天中有几天是雨天？ 题6、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克大西瓜？ 题7、甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶每次倒扣6分，两人各投10次，共得152分，其中甲比乙多得16分，问：两人各中多少次？

题8、某次数学竞赛共有20条题目，每答对一题得5分，错了一题不仅不得分，而且还要倒扣2分，这次竞赛小明得了86分，问：他答对了几道题？ 一、填空题（每小题5分，共60分） 1、（1 +2 +8 ）÷（1 +2 +8 ）＝ 2、奥运吉祥物中的5个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃”，那么，有种不同的放法。 3、有一列数：1，1，3，8，22，60，164，448……其中的前三个数是1，1，3，从第四个数起，每个数都是这个数前面两个数之和的2倍。那么，这列数中的第10个数是 4、有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐人。 5、一个拧紧瓶盖的瓶子里装着一些水（如图1），由图中的数据可推知瓶子的容积 是立方厘米；（取3.14） 6、某小区有一块如图2所示的梯形空地，根据图中的数据计算，空地的面积 是平方米。 7、如图3，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是平方厘米。 8、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A,B,C,D,E五个小组，若参加A 组的有15人，参加B组的仅次于A组，参加C组、D组的人数相同。参加E组的人数最少，只有4人，那么，参加B组的有人。 9、菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的时，装满了3筐还多16千克。摘完其余部分后，又装满6筐，则共收得西红柿千克。 10、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米。因而提前3天完成任务。这条路全长千米。 11、王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分到达北京。北京、上海两市间的路程是千米。 12、两个完全相同长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是平方厘米。

小学奥数 公式大全

目录 计算板块 (2) 计数板块 (5) 数论板块 (7) 应用题板块 (11) 几何板块 (15) 行程板块 (21)

计算板块 1、加法交换律：a b b a +=+，b c a c b a ++=++ 2、加法结合律：()()c b a c b a ++=++ 3、乘法交换律：a b b a ?=?，b c a c b a ??=?? 4、乘法结合律：()()c b a c b a ??=?? 5、乘法分配律：()c a b a c b a ?+?=+? 6、“除法分配律”：()c b c a c b a ÷+÷=÷+ 7、减法性质：()c b a c b a +-=-- 8、除法性质：()c b a c b a ?÷=÷÷ 9、商不变性质：()()()()n b n a m b m a b a ?÷?=÷÷÷=÷，()0,0≠≠n m 10、积不变性质：()()m b m a b a ÷??=?，()0≠m 11、等差数列相关：项数()n ，公差()d ，首项()1a ，第n 项()n a ，前n 项和()n S ， 通项公式：()d n a a n ?-+=11， ()d m n a a m n ?-+=， 项数公式：()11+÷-=d a a n n ， 若q p n m +=+，q p n m a a a a +=+ 求和公式：()21÷?+=n a a S n n ， 中项定理，奇数项等差数列：n a S n n ?=+2 1 从1开始连续自然数求和： ()2 121+= +++n n n 从1开始连续奇数求和：()2 1231n n =-+++ 从2开始连续偶数求和：()1242+=+++n n n 12、多位数乘法： ( ) 110999 -?=?n n M M 个 当 9 99个n M ≤时，积的数字和为n 9 13、()2 2 2 2b ab a b a ++=+，()2 2 2 2b ab a b a +-=-

五年级奥数完全平方数及应用(二)学生版

1. 五年级奥数完全平方数及应用（二）学生版 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ,则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9． 性质2：完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因 数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p 是质数,n 是自然数,N 是 完全平方数,且21|n p N -,则2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个 完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时,其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0,4）时,其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 知识点拨 教学目标 5-4-5.完全平方数及应用（二）