动量定理在完全弹性碰撞中的运用简化数学运算

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动量定理在完全弹性碰撞中的运用简化数学运算

作者：陈志杰

来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第29期

（2016全国Ⅱ卷）35.（2）如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m（h小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg，冰块的质量为m2=10kg，小孩与滑板

始终无相对运动。取重力加速度的大小g=10m/s2。

（i）求斜面体的质量；

（ii）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？

本题的第二小题，涉及到完全弹性碰撞的问题。即列出方程组：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′ 和12m1v21+12m1v22=12m1v′21+12m2v′22

正常数学解得：v′1=m1-m2v1+2m2v2m1+m2；v′2=m1-m2v2+2m1v1m1+m2

若v2=0，可得：v′1=m1-m2m1+m2v1；v′2=2m1m1+m2v1

此方程组数学计算对于基础差的学生是一个难题，通常要求强记结论，但是学生容易把两个速度结论搞混乱。此次我先给同学们讲解如何用物理方法轻松快速的解开这个方程组。

我将讲解动量定理在完全弹性碰撞中的运用来简化数学运算。

如图，以质量为m1，速度为v1的小球A与质量为m2，速度为v2小球B发生正面弹性

碰撞为例。弹开后A、B两球的速度分别为u1、u2 。

我们假设两球在相互作用的过程中平均作用力分别为F和F’，碰撞时间为t，当两球的完全弹性碰撞过程中形变量达到最大瞬间，此时两球速度相同，大小为v共。根据对称性，这时候碰撞时间已经过了0.5t，对A球来说，F的冲量为：

I1=0.5Ft=m1（v共-v1）①

两球从形变量最大到刚刚分开的瞬间也过了0.5t的时间，再次对A球分析，F的冲量为：I2=0.5Ft=m1（u1-v共）②