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等距节点下三次样条函数的误差估计

等距节点下三次样条函数的误差估计
等距节点下三次样条函数的误差估计

线性系统的稳态误差(精)

3.6线性系统的稳态误差 一个稳定的系统在典型外作用下经过一段时间后就会进入稳态,控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。稳态误差必须在允许范围之内,控制系统才有使用价值。例如,工业加热炉的炉温误差超过限度就会影响产品质量,轧钢机的辊距误差超过限度就轧不出合格的钢材,导弹的跟踪误差若超过允许的限度就不能用于实战,等等。 控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量,是系统的稳态性能指标。由于系统自身的结构参数、外作用的类型(控制量或扰动量)以及外作用的形式(阶跃、斜坡或加速度等)不同,控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量(希望的输出)一致,因而会产生原理性稳态误差。此外,系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成附加的稳态误差。控制系统设计的任务之一,就是尽量减小系统的稳态误差。 对稳定的系统研究稳态误差才有意义,所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。 通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统;而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。 本节主要讨论线性系统原理性稳态误差的计算方法,包括计算稳态误差的一般方法,静态误差系数法和动态误差系数法。 3.6.1 误差与稳态误差 控制系统结构图一般可用图3-29(a)的形式表示,经过等效变换可以化成图3-29(b)的形式。系统的误差通常有两种定义方法:按输入端定义和按输出端定义。 ⑴按输入端定义的误差,即把偏差定义为误差, H s s s =(3-25) E- R C ) ( ) (s ( ) ) ( ⑵按输出端定义的误差 57

58 )() () ()(s C s H s R s E -= ' (3-26) 按输入端定义的误差)(s E (即偏差)通常是可测量的,有一定的物理意义,但其误差的理论含义不十分明显;按输出端定义的误差)(s E '是“希望输出”)(s R '与实际输出)(s C 之差,比较接近误差的理论意义,但它通常不可测量,只有数学意义。两种误差定义之间存在如下关系: )()()(s H s E s E =' (3-27) 对单位反馈系统而言,上述两种定义是一致的。除特别说明外,本书以后讨论的误差都是指按输入端定义的误差(即偏差)。 稳态误差通常有两种含义。一种是指时间趋于无穷时误差的值)(lim t e e t ss ∞ →=,称为“静 态误差”或“终值误差”;另一种是指误差)(t e 中的稳态分量)(t e s ,称为“动态误差”。当误差随时间趋于无穷时,终值误差不能反映稳态误差随时间的变化规律,具有一定的局限性。 3.6.2 计算稳态误差的一般方法 计算稳态误差一般方法的实质是利用终值定理,它适用于各种情况下的稳态误差计算,既可以用于求输入作用下的稳态误差,也可以用于求干扰作用下的稳态误差。具体计算分三步进行。 ⑴ 判定系统的稳定性。稳定是系统正常工作的前提条件,系统不稳定时,求稳态误差没有意义。另外,计算稳态误差要用终值定理,终值定理应用的条件是除原点外,)(s sE 在右半s 平面及虚轴上解析。当系统不稳定,或)(s R 的极点位于虚轴上以及虚轴右边时,该条件不满足。 ⑵ 求误差传递函数 ) () ()(,)()()(s N s E s s R s E s en e =Φ= Φ。 ⑶ 用终值定理求稳态误差 [])()()()(lim 0 s N s s R s s e en e s ss Φ+Φ=→ (3-28) 例3-14 控制系统结构图如图3-30所示。已知t t n t r ==)()(,求系统的稳态误差。 解 控制输入)(t r 作用下的误差传递函数

三次样条插值作业题

例1 设)(x f 为定义在[0,3]上的函数,有下列函数值表: 且2.0)('0=x f ,1)('3-=x f ,试求区间[0,3]上满足上述条件的三次样条插值函数)(x s 本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式: ) ()6()() 6()(6)(6)(211123 13 1j j j j j j j j j j j j j j j j x x h h M y x x h h M y x x h M x x h M x s -- + -- + -+ -= +++++其中,方程中的系数 j j h M 6, j j h M 61+,j j j j h h M y )6(2- , j j j j h h M y ) 6(211++- 将由Matlab 代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。 以下为Matlab 代码: %============================= % 本段代码解决作业题的例1 %============================= clear all clc % 自变量x 与因变量y ,两个边界条件的取值 IndVar = [0, 1, 2, 3]; DepVar = [0, 0.5, 2, 1.5]; LeftBoun = 0.2; RightBoun = -1; % 区间长度向量,其各元素为自变量各段的长度 h = zeros(1, length(IndVar) - 1); for i = 1 : length(IndVar) - 1 h(i) = IndVar(i + 1) - IndVar(i); end % 为向量μ赋值

三次样条插值方法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

三次样条插值方法的应用 一、问题背景 分段低次插值函数往往具有很好的收敛性,计算过程简单,稳定性好,并且易于在在电子计算机上实现,但其光滑性较差,对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度,即有二阶连续导数,早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条(即所谓的样条)用压铁固定在样点上,在其他地方让他自由弯曲,然后沿木条画下曲线,称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成,在连接点即样点上要求二阶导数连续,从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。 二、数学模型 样条函数可以给出光滑的插值曲线(面),因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。 设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<= 10x a ,S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。 ● )(b a C S ,2∈; ● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。 则称S 为关于划分的三次样条函数。常用的三次样条函数的边界条件有三种类型: ● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。 ● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==,其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。 ● Ⅲ型 ()() 3,2,1,0,0==j x S x S n j j ,此条件称为周期样条函数。 鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位,在此主要对它进行详细介绍。 三、算法及流程 按照传统的编程方法,可将公式直接转换为MATLAB 可是别的语言即可;另一种是运用矩阵运算,发挥MATLAB 在矩阵运算上的优势。两种方法都可以方便地得到结果。方法二更直观,但计算系数时要特别注意。这里计算的是方法一的程序,采用的是Ⅱ型边界条件,取名为spline2.m 。 Matlab 代码如下: function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %x0,y0 are existed points,x are insert points,y21,y2n are the second

6.4.12. Ⅲ型误差放大器电路、传递函数和零点、极点位置

不可少的,因为没有ESR 的LC 滤波器相位滞后大。 6.4.12. Ⅲ型误差放大器电路、传递函数和零点、极点位置 具有图6.41(b)的幅频特性电路如图6.42所示。可以用第6.4.6节Ⅱ 型误差放大器的方法推导它的传递函数。反馈和输入臂阻抗用复变量s 表示,并且传递函数简化为)(/)()(12s Z s Z s G =。传递函数经代数处理得到 )] /((1)[1)((])(1)[1()()()(212123321133112C C C C sR C sR C C sR C R R s C sR s U s U s G in o +++++++== (6-69) 可以看到,此传递函数具有 (a ) 一个原极点,频率为 ) (212110C C R f p +=π (6-70) 在此频率R 1的阻抗与电容(C 1+C 2)的阻抗相等且与其并联。 (b ) 第一个零点,在频率 1 2121C R f z π= (6-71) 在此频率,R 2的阻抗与电容C 1的阻抗相等。 (c ) 第二个零点,在频率 3 1331221)(21C R C R R f z ππ≈+= (6-72) 在此频率,R 1+R 3的阻抗与电容C 3的阻抗相等。 (d ) 第一个极点,在频率 2 221212121)]/([21C R C C C C R f p ππ≈+= (6-73) 在此频率,R 2的阻抗与电容C 2和C 1串联的阻抗相等。 (e ) 第二个极点,在频率 33221C R f p π= (6-74) 在此频率R 3的阻抗与电容C 3阻抗相等。 为画出图6.41(b)的幅频特性,以f z 1=f z 2,f p 1=f p 2选择RC 乘积。双零点和双极点频率的位置由k 来决定。根据k 获得希望的相位裕度。图6.41(b)中误差放大器在希望的f c 0处以斜率+20dB/dec 处的增益(图6.41(a))令其等于LC 滤波器的衰减量,但符号相反。 从表6.3和传递函数式(6-69),可以设置希望的零点和极点频率,设计例子如下。 6.13. 设计举例-具有3型反馈环路的正激变换器稳定性 设计一个正激变换器反馈环路,正激变换器具有如下的参数: U 0=5.0V; I o =10A; I o min =1.0A; 开关频率f s =50kHz; 输出纹波(p-p )<20mV 。并假定输出电容按广告说的没有ESR 。 首先,计算输出LC 滤波器和它的转折频率。在6.4.9节中得到 66 103010 1020533--?=???==o o o I T V L H 假定输出电容的ESR 为零,所以由于ESR 的纹波也为零,但有小的电容纹波分量。通常很小,因此所用的电容比2型误差放大器例子中应用的2600μF 要小得多。但保守些本设计电容仍采用2600μF ,且其ESR 为零,于是 570102600103021216 6=???==--ππo o c C L f Hz C 2 o 图6.42 具有式(22)的Ⅲ型误差放大器

反馈系统的传递函数

一个反馈控制系统在工作过程中,一般会受到两类信号的作用,统称外作用。 一类是有用信号或称输入信号、给定值、指令等,用)(t r 表示。通常)(t r 是加在控制系统的输入端,也就是系统的输入端;另一类则是扰动,或称干扰)(t n ,而干扰 )(t n ,可以出现在系统的任何位置,但通常,最主要的干扰信号是作用在被控对象 上的扰动,例如电动机的负载扰动等。 一、系统的开环传递函数 系统反馈量与误差信号的比值,称为闭环系统的开环传递函数, 二、系统的闭环传递函数 1、输入信号)(s R 作用下的闭环传递函数 令0)(=s D ,这时图1可简化成图2(a)。输出)(s C 对输入)(s R 之间的传递函数,称输入作用下的闭环传递函数,简称闭环传递函数,用)(s Φ表示。 而输出的拉氏变换式为 2、干扰)(s D 作用下的闭环传递函数 同样,令0)(=s R ,结构图1可简化为图3(a)。 以)(s D 作为输入,)(s C 为在扰动作用下的输出,它们之间的传递函数,用)(s n Φ表示,称为扰动作用下的闭环传递函数,简称干扰传递函数。 系统在扰动作用下所引起的输出为 三、系统的误差传递函数 系统的误差信号为)(s E ,误差传递函数也分为给定信号作用下的误差传递函数和扰动信号作用下的传递函数。前者表征系统输出跟随输入信号的能力,后者反映系统抗扰动的能力。 1、输入信号)(s R 作用下的误差传递函数 为了分析系统信号的变化规律,寻求偏差信号与输入之间的关系,将结构图简化为如图2)(b 。列写出输入)(s R 与输出)(s ε之间的传递函数,称为控制作用下偏差传递函数。用表示。 )()()()()() ()()(2 1s H s G s H s G s G s E s B s G K ===)()()(21s G s G s G =)()(1) ()()()(1)()()()()(2121s H s G s G s H s G s G s G s G s R s C s += +== Φ)() ()()(1)()()(2121s R s H s G s G s G s G s C +=) ()(1)()()()(1)()() ()(2212s H s G s G s H s G s G s G s N s C s n += +== Φ) () ()()(1) ()(212s N s H s G s G s G s C += ) ()()(s R s s εΦε=

第二章 函数的插值

第二章函数的 插值 学习目标:掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等,等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值方法。

§2.1 多项式插值 一、插值问题的基本概念: 设有函数 ,只知道它在n+1个不同的点 上的函数值,y 是另外一点。 不知道,如何求它的近似值?插值就是一种办法,它的思想是:找一个简单的已知解析表达式的函数 ,使得 (1) 并且 容易计算,我们就用 来代替 。 )(x f 121,,,+n x x x )(y f )(x p , 1,,2,1),()(+==n i x f x p i i )(y p )(y p )(y f 称为插值函数, 称为被插值函数, 称为节点或结点。如果限制 为n 次多项式,那么上述问题称为多项式插值, 称为 的n 次插值多项式。 )(x p )(x f 1 21,,,+n x x x )(x p )(x p )(x f 本节主要介绍插值问题的基本概念、方法和理论。

对于多项式插值,我们主要讨论以下几个问题: 插值问题是否可解,如果有解,解是否唯一? 插值多项式的常用构造方法有哪些? 插值函数逼近的误差如何估计,即截断误差的估计; 当插值节点无限加密时,插值函数是否收敛于 。 本节主要讨论前三个问题。 二、多项式插值的方法 令 是n 次多项式: (1) 考察(1)式,就有方程组: (2) n n n k k k x a x a a x a x p +++==∑= 100 )(1,,2,1,0 +==∑=n i f x a i n k k i k )(x p )(x f

关于三次样条插值函数的学习报告(研究生)资料

学习报告—— 三次样条函数插值问题的讨论 班级:数学二班 学号:152111033 姓名:刘楠楠

样条函数: 由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数;最常用的样条函数为三次样条函数,即由三次多项式组成,满足处处有二阶连续导数。 一、三次样条函数的定义: 对插值区间[,]a b 进行划分,设节点011n n a x x x x b -=<< <<=,若 函数2()[,]s x c a b ∈在每个小区间1[,]i i x x +上是三次多项式,则称其为三次样条函数。如果同时满足()()i i s x f x = (0,1,2)i n =,则称()s x 为()f x 在 [,]a b 上的三次样条函数。 二、三次样条函数的确定: 由定义可设:101212 1(),[,] (),[,]()(),[,] n n n s x x x x s x x x x s x s x x x x -∈??∈?=???∈?其中()k s x 为1[,]k k x x -上的三次 多项式,且满足11(),()k k k k k k s x y s x y --== (1,2,,k n = 由2()[,]s x C a b ∈可得:''''''()(),()(),k k k k s x s x s x s x -+-+== 有''1()(),k k k k s x s x -++= ''''1()(),(1 ,2,,1)k k k k s x s x k n -+ +==-, 已知每个()k s x 均为三次多项式,有四个待定系数,所以共有4n 个待定系数,需要4n 个方程才能求解。前面已经得到22(1)42n n n +-=-个方程,因此要唯一确定三次插值函数,还要附加2个条件,一般上,实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求,即所谓的边界条件。 1、第一类边界条件:给定函数在端点处的一阶导数,即 ''''00(),()n n s x f s x f == 2、第二类边界条件:给定函数在端点处的二阶导数,即

试求三次样条插值S(X)

给定数据表如下: 试求三次样条插值S(X),并满足条件: i)S’(0.25)=1.0000, S’(0.53)-0.6868; ii) S”(0.25)= S”(0.53)=0; 解: 由给定数据知: h0 =0.3-0.25 - 0.05 , h 1=0.39-0.30-0.09 h 2=0.45-0.39-0.06, h 3=0.53-0.45-0.08 由μ i=h i/(h i1+h i), λ i= h i/(h i1+h i) 得: μ1= 5/14 ; λ 1= 9/14 μ2= 3/5 ; λ 2= 2/5 μ3= 3/7 ; λ 3=4/7 0.25 0.5000 ﹨ ﹨ 1.0000 ∕﹨ 0.25 0.5000 ∕ -0.9200-f[x 0,x 0, x 1 ] ﹨∕ 0.9540 ∕﹨ 0.30 0.5477 -0.7193-f[x 0,x 1,x 2 ] ﹨∕

0.8533 ∕﹨ 0.39 0.6245 -0.5440-f[x1,x2,x 3 ] ﹨∕ 0.7717 ∕﹨ 0.45 0.6708 -0.4050-f[x 2,x 3,x 4 ] ﹨∕ 0.7150 ∕﹨ 0.53 0.7280 -0.3525-f[x 3,x 4,x 5 ] ﹨∕ 0.6868 ∕ 0.53 0.7280 i)已知一节导数边界条件,弯矩方程组 ┌┐┌┐ │ 2 1 │┌M 0 ┐│-0.9200 ︳ ︳5/14 2 9/14 ︳︳M ︳︳-0.7193 ︳ 1 ︳3/5 2 2/5 ︳︳M 2 ︳_6 ︳-0.5440︳ ︳ 3/7 2 4/7 ︳︳M ︳︳-0.4050 ︳ 3

三次样条函数

计算方法实验报告 1、实验题目 三次样条插函数。 2、实验内容 三次样条插值是建立在Hermite 插值的基础上的。Hermite 插值是在一个区间上的插值,而三次样条插则是建立多个区间上插值,构造一个具有二阶光滑度的曲线,在求出给定点上对应的函数。本实验就是建立一个能根据三次样条插值函数求根的程序。 3、算法思想 给定一个区间,并把它分成n 等份,并且给出了每个结点对就的横坐标和纵坐标。利用程序输出给定插值点对应的值。横坐标设为:X 0, X 1, X 2, X 3, …X n 纵坐标为Y 0, Y 1, Y 2, …Y n ,设插点为u 。则令h k =X k+1-X k ,λk =1-+k k k h h h , μk =11--+k k k h h h , g k =3(1 11--+-+-k k k k k k k k h y y h y y λμ), 其中k=1,2,…,n-1 再根据第一类边界条件则可以确定公式6.16,再根据6.17解出方程中的m 向量,最后代入公式6.8求解。 4、源程序清单 #include #define N 21/*最大结点个数减一*/ void sanCi() { /*定义过程数据变量*/ float x[N],y[N],h[N]; /*横纵坐标及区间长度*/ float rr[N],uu[N],gg[N]; /*计算m 用的中间数组rr 、uu 、gg 分别对应:λ、μ、g 数组*/

float aa[N],bb[N],tt[N]; /*矩阵分解时用到的中间变量aa、bb、tt分别对应:α、β数组以及A=LU时中间矩阵*/ float mm[N]; /*最后要用到的系数m*/ int n,k,kv,chose; /* n为实际结点个数,k为下标,kv为最后确定k的值*/ float s,u; /*最后计算u对应的值*/ printf("请输入区间段数:"); scanf("%d",&n); /*输入结点个数*/ /*输入所有横坐标:*/ printf("输入所有横坐标:"); for(k=0; k<=n; k++) scanf("%f",&x[k]); /*输入对应纵坐标:*/ printf("输入对应纵坐标:"); for(k=0; k<=n; k++) scanf("%f",&y[k]); for(k=0; k

三次样条拟合范例

1设计目的、要求 对龙格函数2 2511 )(x x f += 在区间[-1,1]上取10=n 的等距节点,分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合,画出)(x f 及各逼近函数的图形,比较各结果。 2设计原理 (1) 多项式插值:利用拉格朗日多项式插值的方法,其主要原理是拉格朗日多项 式,即: 01,,...,n x x x 表示待插值函数的1n +个节点, ()()n n j k k j j k L x y l x y ===∑,其中0,1,...,j n =; 011011()...()()...() ()()...()...()...() k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----= ---- (2) 三次样条插值:三次样条插值有三种方法,在本例中,我们选择第一边界条 件下的样条插值,即两端一阶导数已知的插值方法: 00'()'S x f = '()'n n S x f = (3)三次曲线拟合:本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是 利用已知的数据得出一条直线或者曲线,使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中,n= 10,故有11个点,以这11个点的x 和 y 值为已知数据,进行三次多项式拟合,设该多项式为 23432xi i i i p a a x a x ax =+++,该拟合曲线只需2[]xi i p y -∑的值最小即可。 3采用软件、设备 计算机、matlab 软件

4设计内容 1、多项式插值: 在区间[]1,1-上取10=n 的等距节点,带入拉格朗日插值多项式中,求出各个节点的插值,并利用matlab 软件建立m 函数,画出其图形。 在matlab 中建立一个lagrange.m 文件,里面代码如下: %lagrange 函数 function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 建立一个polynomial.m 文件,用于多项式插值的实现,代码如下: %lagrange 插值 x=[-1:0.2:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.02:1]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+25*x0.^2); plot(x0,y0,'--r') %插值曲线 hold on %原曲线 plot(x0,y1,'-b') 运行duoxiangshi.m 文件,得到如下图形:

6牛顿、拉格朗日或等距节点插值

数值分析实验报告(六) (信息一班-----陈宣羽----20100810010107) 一、实验名称 牛顿、拉格朗日或等距节点插值 二、实验目的 用牛顿、拉格朗日或等距节点插值实现插值法 三、题目 已知插值点 ?? ???===-1)2(f 1)1(f 2 )1(f 利用牛顿、拉格朗日或等距节点求当x=3.6时y 的值 四、程序 #include #include typedef struct data { float x; float y; }Data; Data d[20];//最多二十组数据 float lagrange(float x,int count) { float y=0.0; for(int k=0;k

int count; cout<<"请输入x[i],y[i]的组数,不得超过20组:";//要求用户输入数据组数cin>>count; //获得各组数据 for(int i=0;i>d[i].x; cout<<"请输入第"<>d[i].y; } cout<<"请输入x的值:";//获得变量x的值 cin>>x; cout<<"拉格朗日插值计算方法,其结果为:"<>n; float t=1.0; float y=d[0].y; float yt=0.0; for(int j=1;j<=n;j++) { t=(x-d[j-1].x)*t; yt=f(0,j)*t;

样条函数(三次样条)

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法,三次样条又是其中用的较为广泛的一种。 1. 三次样条曲线原理 假设有以下节点 1.1 定义 样条曲线是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点,共有n个区间,三次样条方程满足以下条件: a. 在每个分段区间(i = 0, 1, …, n-1,x递增),都是一个三次多项式。 b. 满足(i = 0, 1, …, n ) c. ,导数,二阶导数在[a, b]区间都是连续的,即曲线是光滑的。 所以n个三次多项式分段可以写作: ,i = 0, 1, …, n-1 其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。 1.2 求解 已知: a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n b. 每一分段都是三次多项式函数曲线 c. 节点达到二阶连续 d. 左右两端点处特性(自然边界,固定边界,非节点边界) 根据定点,求出每段样条曲线方程中的系数,即可得到每段曲线的具体表达式。 插值和连续性: , 其中i = 0, 1, …, n-1 微分连续性:

, 其中i = 0, 1, …, n-2 样条曲线的微分式: 将步长带入样条曲线的条件: a. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出 b. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出 c. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出 由此可得: d. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出 设,则 a. 可写为:

,推出 b. 将ci, di带入可得: c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, …, n-2)可得: 端点条件 由i的取值范围可知,共有n-1个公式,但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组,还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。选择不是唯一的,3种比较常用的限制如下。 a. 自由边界(Natural) 首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力,即。具体表示为和 则要求解的方程组可写为: b. 固定边界(Clamped) 首尾两端点的微分值是被指定的,这里分别定为A和B。则可以推出

901自动控制原理控制系统的传递函数过渡过程误差分

公开 901 自动控制原理:控制系统的传递函数、过渡过程、误差分析、根轨迹法和频率特性法、综合与校正、非线性控制系统的分析、线性离散系统的分析、李 雅普洛夫稳定性分析,现代控制理论基础(占20%,不考最优控制及滤波估计)。 《自动控制原理》(1-9章),胡寿松主编,国防工业出版社。 903 信号与系统:连续时间系统的时域分析;傅氏变换及其应用--滤波、调制与抽样;拉氏变换与S域分析;离散时间系统的时域分析,Z变换及Z域分 析。《信号与系统》(第二版)上、下册,郑君里等编,高等教育出版社。 904 材料力学:轴向拉压应力与材料的力学性能,轴向拉压变形、扭转、弯曲内力、应力、变形,应力应变状态分析,复杂应力状态强度问题,压杆稳定性, 能量法,静不定问题分析,应力分析的试验方法,疲劳与断裂。普通高等教育“十 五”国家级规划教材《材料力学》(Ⅰ)、(Ⅱ),第二版,单辉祖编著,高等 教育出版社。 905 理论力学:各种力学平衡,滑动摩擦与滚动摩擦,重心,点的运动,刚体的运动,质点的运动微分方程,质点直线振动,碰撞,动力学普遍定理,达朗 贝尔原理,虚位移原理,点在非惯性力学中的运动,第二类拉格朗日方程。《理 论力学》(第七版),哈尔滨工业大学理论力学教研室编,高等教育出版社。或 《理论力学》(第二版),李俊峰,张雄主编,清华大学出版社。 906 普通物理:力学:质点的运动、牛顿运动定律、运动守恒定律、刚体的转动(相对论基础不作要求)。热学:气体动理论,热力学基础(多方过程不做 要求)。电场和磁场:真空中的静电场,导体和电介质中的静电场,恒定电流和 恒定电场,真空中恒定磁场,磁介质中的磁场,电磁感应和暂态过程,麦克斯韦 方程组,电磁场(电场的边值关系,基尔霍夫定律不作要求)。振动和波动:机 械振动和电磁振动,机械波和电磁波,波动光学(干涉条文的可见度,旋光现象 不作要求)。《普通物理学》(第五版一、二、三),程守洙、江之水编,高等 教育出版社。 907 工程热力学:基本概念及气体的基本性质、热力学第一定律、气体的热力过程、热力学第二定律、气体的流动、气体动力循环、实际气体和水蒸气、完 全气体混合物及湿空气、热力学一般关系式、蒸汽动力循环、制冷循环、热化学、

数值分析作业-三次样条插值..

数值计算方法作业 实验4.3 三次样条差值函数 实验目的: 掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。 实验函数: dt e x f x t ?∞ -- = 2 2 21 )(π x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 F(x) 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.7554 求f(0.13)和f(0.36)的近似值 实验内容: (1) 编程实现求三次样条插值函数的算法,分别考虑不同的边界条件; (2) 计算各插值节点的弯矩值; (3) 在同一坐标系中绘制函数f(x),插值多项式,三次样条插值多项式的曲线 比较插值结果。 实验4.5 三次样条差值函数的收敛性 实验目的: 多项式插值不一定是收敛的,即插值的节点多,效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢?理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的,通过本实验可以证明这一理论结果。 实验内容: 按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点,并不断增加插值节点的个数。 实验要求: (1) 随着节点个数的增加,比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情 况,分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较; (2) 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子,考 实验名称 实验 4.3三次样条插值函数(P126) 4.5三次样条插值函数的收敛性(P127) 实验时间 姓名 班级 学号 成绩

虑如下例子:某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线,其中一 段数据如下: k x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k y 0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 k y ' 0.8 0.2 算法描述: 拉格朗日插值: 错误!未找到引用源。 其中错误!未找到引用源。是拉格朗日基函数,其表达式为:() ∏ ≠=--=n i j j j i j i x x x x x l 0) ()( 牛顿插值: ) )...()(](,...,,[....))(0](,,[)0](,[)()(1102101210100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 其中????? ?? ?? ?????? --=--= --= -)/(]),...,[],...,[(]...,[..],[],[],,[)()(],[01102110x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f n n n n i k j i k j k j i j i j i j i 三样条插值: 所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数,它在节点Xi(a

等距节点插值公式

2013-2014(1)专业课程实践论文 等距节点插值公式

将Newton 差商插值多项式中各阶差商用相应差分替代,就可得到各种形式的等距节点插值公式。 如果节点错误!未找到引用源。要计算错误!未找到引用源。附近点x 的函数()f x 值,可令错误!未找到引用源。于是 ()()()()110 1k k k j j x x x t t t k h ω++==-=--∏ ,得 ()()()2000011(1)2!! n n o t t t n t t N x th f t f f f n --+-+=+?+?++? , 称为Newton 前插公式。 如果要求表示函数在n x 附近的值()f x 错误!未找到引用源。此时应用 Newton 插值公式,插值点应按错误!未找到引用源。的次序排列,有 ()()[]()[]()()[]()()1121101,,,,,,n n n n n n n n n n n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x -----=+-+--++-- 做变换错误!未找到引用源。带入公式得 ()()()2011(1)2!! n n n n n n t t t n t t N x th f t f f f n ++-++=+?+?++? 为Newton 后插公式。

class Interpolation { public: Interpolation(int num, double x1, double x2, double func[]); double ComputeForwardValue(double x); ~Interpolation(); private: void GetForwardTable(); private: int m_num; double m_x1, m_x2; double m_step; double* m_func; double* m_ftable; }; #include #include using namespace std; #define NUM 11 #define MIN 0 #define MAX 10 int main() { double func[NUM]= { 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 }; double x1=MIN, x2=MAX, x; int num=NUM; char flag='Y'; Interpolation test(num, x1, x2, func); while(flag=='Y') { cout<<"Input x: "; cin>>x; if (!cin) {

Matlab程序三次样条插值函数

已知一组数据点,编写一程序求解三次样条插值函数满足 并针对下面一组具体实验数据 求解,其中边界条件为. 解:Matlab计算程序为: clear clc x=[0.25 0.3 0.39 0.45 0.53] y=[0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280] n=length(x); for i=1:n-1 h(i)=x(i+1)-x(i); end for i=1:n-2 k(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1)); u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1)); end for i=1:n-2 gl(i)=3*(u(i)*(y(i+2)-y(i+1))/h(i+1)+k(i)*(y(i+1)-y(i))/h(i)); end g0=3*(y(2)-y(1))/h(1); g00=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1); g=[g0 gl g00]; g=transpose(g) k1=[k 1]; u1=[1 u]; Q=2*eye(5)+diag(u1,1)+diag(k1,-1) m=transpose(Q\g) syms X; for i=1:n-1 p1(i)=(1+2*(X-x(i))/h(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*y(i); p2(i)=(1-2*(X-x(i+1))/h(i))*((X-x(i))/h(i))^2*y(i+1); p3(i)=(X-x(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*m(i); p4(i)=(X-x(i+1))*((X-x(i))/h(i))^2*m(i+1);

三次样条函数程序

a = [1.0000 0.5000 0.2500 0.0500 0.0100 0.0050 0.0010]; b = [100.0000 97.8000 94.5000 79.0000 32.8000 23.0000 13.2000]; xx= [ 1.0000 0.0500 0.0020]; yy=interp1(a,b,xx,'pchip'); %plot绘图 plot(a,b,'o',a,b); hold on xxx=1:-0.01:0.001; yspline=interp1(a,b,xxx,'spline'); ypchip=interp1(a,b,xxx,'pchip'); ycubic=interp1(a,b,xxx,'cubic'); plot(xxx,yspline, '--bo'); hold on plot(xxx,ypchip,'-rs'); hold on plot(xxx,ycubic, '-kx'); grid on xlabel('土壤粒径(毫米)'); ylabel('颗粒累积百分数(%)'); title('土壤颗粒级配曲线') hold off 三种三次样条插值函数比较 批量转换程序: a = [2 1.0000 0.5000 0.2500 0.0500 0.0100 0.0050 0.0010]; b = [100.4 100 99 97.6 87.2 36.2 24.8 10 100.5 100 99.1 97.9 88 38 25 10.2 100.6 100 99.4 98.6 90 41.3 28.5 12.5 100.5 100 99.4 98.7 89.6 41 28.9 14.1

数学实验“等距节点插值,Hermite插值,分段插值(线性,二次,三次)”实验报告(内含matlab程序)

西京学院数学软件实验任务书

实验十六实验报告 一、实验名称:等距节点插值,Hermite 插值,分段插值(线性,二次,三次)。 二、实验目的:进一步熟悉等距节点插值,Hermite 插值,分段插值(线性,二次,三次)。 三、实验要求:运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。 四、实验原理: 1.等距节点插值: 差分分为前向差分、后向差分和中心差分三种,它们的记法及定义如下所示: n 阶前向差分公式111()()()n n n i i i f x f x f x --+?=?-? n 阶后向差分公式111()()()n n n i i i f x f x f x ---?=?-? n 阶中心差分公式11112 2 ()()()n n n i i i f x f x f x δδδ--+-=- 其中:? -前向差分;? -后向差分;δ -中心差分。 假设000()()()()i i i i f x f x f x f x δ?=?==,为了方便计算,构造差分表(()i i f f x =)。 这里只说明前向牛顿插值,其多项式可表示为如下形式:

0()()N x N x th =+ 20000()()()()12n t t t f x f x f x f x n ?? ?? ?? =+?+?++? ? ? ??? ?? ?? 其中h 为步长,10h x x =-,且的取值范围为0t n ≤≤。 2.埃尔米特插值: 埃尔米特插值法满足在节点上等于给定函数值,而且在节点上的导数值也等于给定的导数值,对于有高阶导数的情况,埃尔米特插值多项式比较复杂,在实际应用中,常常遇到的是函数值与一阶导数值给定的情况,在这种情况下,n 个节点12,,n x x x 的埃尔米特插值多项式()H x 的表达形式如下所示: 1()[()(2)]n i i i i i i i H x h x x a y y y ==--+∑ 其中(),''()i i i i y y x y y x == 2 111 ( ),n n j i i j j i j i j j i j i x x h a x x x x ==≠≠-==--∑ ∏ 3.分段插值: 给定插值节点i x 、节点函数值i y 及对应的导数值 '(0,1,2,,)i y i N = ,则满足下面条件 (),'()'i i i i p x y p x y == 的分段埃尔米特插值函数()p x 的表达式如下所示:

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