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高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章线性变换

1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；

3）在P 3

中，A

),,(),,(2

33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3

中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；

5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；

6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P n

n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n

n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++

=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx

),,2()

,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=

= k A )(α，

故A 是P 3

上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令

)()()(x g x f x u +=则

A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.

A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。

7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n

n P

?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

A (k X )=k BXC k kX

B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为

A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，

B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，

C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)，所以A 4=B 4=C 4=E 。

2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以AB ≠BA 。

3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A 2B 2=B 2A 2。

4)因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2(a)=(-x,-y,z)，

所以(AB )2≠A 2B 2

。

3.在P[x] 中，A '

)(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。证任取∈)(x f P[x]，则有

(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('

f ))(x =;

)(xf x f +)(x -'

xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E 。

4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A k

B-BA k

=k A 1

-k (k>1)。

证采用数学归纳法。当k=2时

A 2

B-BA 2

=(A 2

B-ABA)+(ABA-BA 2

)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。归纳假设m k =时结论成立，即A m

B-BA m

=m A 1

-m 。则当1+=m k 时，有

+m B-BA

+m =(A

+m B-A m BA)+(A m BA-BA

+m )=A m

(AB-BA)+(A m

B-BA m

)A=A m

E+m A

-m A=)1(+m A m

。

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。

证设A 是可逆变换，它的逆变换为A 1-。

若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A 1-b=a 即可。因此,A 是一个双射。 6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关。

证因A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A ，

故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；

2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂

直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→，试求A 在基i ε=!

)

1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1)下的矩阵A ； 4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax sin bx ，3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax

sin bx ，

1ε=221x e ax cos bx ,1ε=2

e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空

间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵；

5) 已知P 3

中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是????

??-121011101，

求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3

中，A 定义如下：

???

??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(3

21ηηηA A A ，其中

???

??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3

21ηηη，求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。解 1)

A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，

故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???

? ??-001110012。

2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=

211ε+212ε，A 2ε=2

1ε+212ε，

故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????

??2121212

。又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???

??1000，另外，

（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=

1ε+212ε，

所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =????

210210。 3）因为 )!

1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε，所以A 0110=-=ε，

A 01)1(εε=-+=x x ，

L L L L

A )!

1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=

-n n x x x n n x x x n K K ε

1()]

3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }

=2-n ε，

所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =???????

?011010K

K K

。 4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,

D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，

所以D 在给定基下的矩阵为D =??????

?---00

0000010000100

001

01a b b a a b b a a

b b a

。 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

??--111101

011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???

??---101110111=(1η,2η,3η)X ，

故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为

B =X 1

-AX=????? ??--111101

011????? ??-121011101????? ??---101110111=????

??--203022211。

6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??--012110301，

所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???

?? ??--012110301,

但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??----963110505，

故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505????

? ??--0121103011

=(1ε,2ε，3ε)??

??? ??----963110505???????

??---717

172717672

737371

=(1ε,2ε，3ε)??

???

??-----7247

187

27727574

72072075。 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??

?? ??--0121103011

-，

所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)??

? ??--0121103011

-????

??----963110505 =(1η,2η,3η)???

??---011101532。

8．在P

2?中定义线性变换A

(X )=???

??d c b a X, A 2

(X )=X ???

??d c b a , A 2

(X )=

???? ??d c b a X ???

? ??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。解因 A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,

故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=??????

?d c

c b a b a

00000

00。又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,

故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=???

?d b c a d

b c

a 00000000

。

又因A 3E 11= a 2

E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22， A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2

E 21+cd E 22， A 3E 21= ab E 11+b 2

E 12+ad E 21+bd E 22， A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2

E 22，

故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为????

?=22223d bd

cd bc cd ad c ac bd b ad

ab bc ab ac

a A 。 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

? ??3332

232221

131211

a a a a a a a a a ， 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵；

2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵，其中且；

3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。解 1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε， A 2ε=+332εa +222εa 112εa ， A 1ε=+331εa +221εa 111εa ，

故A 在基123,,εεε下的矩阵为????

??=1112

212223

3132333a a a a a a a a a B 。 2)因 A 1ε=111εa +

+)(221

εk k

a 331εa ， A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka ， A 3ε=13a 1ε+

a 23

(2εk )+333εa ，故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ?????

? ?

?=3332

31232221

1312112a ka a k a a k a

a ka a B 。 3)因 A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε， A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa ， A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa ，

故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为???

+----+-=3332

3231132312

2212

11222113

1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A

ε1

-k ≠0,但A εk =0，求证：

ε,A ε,,Λ A ε1-k (k >0)线性无关。

证设有线性关系01

21=+++-εεεk k A l A l l Λ，

用A

-k 作用于上式,得

1l A

ε1

-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立)，

又因为A

ε1

-k ≠0,所以01=l ,于是有

01232=+++-εεεk k A l A l A l Λ，

再用A 2-k 作用之,得2l A ε1

-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得

021====k l l l Λ,

即证ε,A ε,,Λ A ε1

-k (k >0)线性无关。

11.在n 维线性空间中，设有线性变换A 与向量ε使得A

ε1

-n 0≠，求证A 在某组下的矩阵

是 ???????

??01010

10O O

。证由上题知, ε,A ε,A ε2,,Λ A ε1-n 线性无关，故ε,A ε,A ε2,,Λ A ε1

-n 为线性空间

V 的一组基。又因为A ?+?+?=010εεεA A ε2+?+0Λ A

ε1

-n ，

A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2

+?+0Λ A ε1

-n ，

…………………………… A （A

ε1

-n ）=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0Λ A ε1-n ，

故A 在这组基下的矩阵为

???????

?01010

O O

。 12．设V 是数域P 上的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。

证因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。

13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

证设A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵为A=(ij a )，只要证明A 为数量矩阵即可。设X 为任一非退化方阵，且

(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21Λ)X ，

则12,,,n ηηηL 也是V 的一组基，且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-，从而有AX=XA ，这说明A 与一切非退化矩阵可交换。若取

????

??=n X O

211，则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j)，即得

A=??????? ?

?nn a a a O

，再取

2X =???????

? ?

?00

1100001000010

ΛΛO ΛΛΛ

ΛΛ 由A 2X =2X A ，可得 nn a a a ===Λ2211。

故A 为数量矩阵，从而A 为数乘变换。

14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 在这组基下的矩阵为

????

??---21225521312112

01， 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下的矩阵； 2) 求A 的核与值域；

3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵。解 1)由题设,知

(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)????

?---21110110003

20001，故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为

B=AX X 1-=1

21110110003

20001

-???

???

?---???????

??---21225521312112

???

??---211

1011

000320001 =?????

?-----871

03403403163831031034322332。 2) 先求A

-(0).设∈ξ A

-(0)，它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ)，且A ε

在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,)，则

???????

??---21225521312112

??????? ??4321x x x x =???

??? ??0000。

因rank(A)=2，故由 ??

=+++-=++0

32024321431x x x x x x x ，

可求得基础解系为X 1=)0,1,2

,2('-

-,X 2=)1,0,2,1('--。若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1，2α=(321,,εεε,4ε)X 2，则12,αα即为A 1

-(0)的一组基，所以

-(0)=12(,)L αα。

再求A 的值域A V 。因为

A 1ε=43212εεεε++-， A 2ε=432222εεε-+，

A 3ε=432152εεεε+++， A 4ε3ε=4321253εεεε-++，

rank(A)=2，故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2，且A 1ε ,A 2ε线性无关，故A 1ε ,A 2

ε可组成A V 的基，从而A V=L(A 1ε ,A 2ε)。

4) 由2)知12,αα是A 1-(0)的一组基，且知,1ε2ε, 12,αα是V 的一组基，又

(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????

?--

-10

00010022310

120

，故A 在基,1ε2ε, 12,αα下的矩阵为

0010022310120

-??????

? ?

?--

-???

???

??---21225521312112

??????

? ?

?--

-10

00010022310120

=????

??-0022002100129002

。

4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基，且

(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)????

?--10210121002

10001

，故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为

1021012100210001

-???

???

??--???????

??---21225521312112

???

??--102

1012

100210001

=??????

? ?

?00

0000002231291225。 15. 给定P 3的两组基

???

??===)1,1,1()0,1,2()

1,0,1(3

21εεε ???

??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3

21ηηη，定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)，

1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵； 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵。

解 1)由(321,,ηηη)=(321,,εεε)X ，引入P 3

的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1)，则

(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???

? ??101110121=(1e ,2e ,3e )A ，

所以

(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???

? ??----111122

221

=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B ，故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为

X= A 1

-B=1

101110121-????? ??????

? ??----111122

221

=????

???

---252112323123232。 2)因

A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????

???

-252112323

23232，故A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

???

-252112323

123232。 4) 因A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X ，

故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.。

16.证明

??????? ?

?n λλλO

1与????

?n i i

i λλλO

1相似，其中(n i i i ,,,21Λ)是1,2,n ,Λ的一个排列。

证设有线性变换A ，使

A )21,,,(n εεεΛ=)21,,,(n εεεΛ????

???

??n λλλO

1=)21,,,(n εεεΛD 1，则A (K ,,21i i εε,n i ε)=(K ,,21i i εε,n i ε)????

?n i i

i λλλO

1=(K ,,21i i εε,n i ε)D 2，于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故

??????? ?

?n λλλO

与????

?n i i

i λλλO

1相似。 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似。

证因A 可逆,故A 1-存在，从而A 1-(AB)A=( A 1-A)BA=BA ，所以AB 与BA 相似。 18.如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明：0000A B B D ????

? ?????

与相似。

证由已知，可设B=X 1

-AX, D=Y 1

-CY ，则???

? ??--1100Y X ???? ??C A 00???? ??Y X

00=???

? ??D B 00，这里???? ??--1100Y X =????

??Y X

001-，故???? ??C A 00与???

??D B 00相似。 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩

阵为：

1)A=???? ??2543 2)A=???? ??-00a a 3)A=?

? ??------111111*********

1 4)A=?????

??---121101365 5)A=????? ??001010100 6)A=????? ??---031302120 7)A=????

? ??----284014013

解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为

A E -λ=

----λλ=2

λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)，故A 的特征值为7，-2。

先求属于特征值λ=7的特征向量。解方程组??

?=+-=-0550442121x x x x ，它的基础解系为?

??11，因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=1ε+2ε。

再解方程组???=--=--0450452121x x x x ，它的基础解系为???

??-54，因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠)，其中2ξ=41ε-52ε。

2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且当a=0时，有A=0，所以A

E -λ=

λ00=2

λ，故A 的特征值为1λ=2λ=0。解方程组??

?=+=+0000002121x x x x ，它的基础解系为???? ??01,?

??10，因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε，2ξ=2ε，故A 以V 的任一非零向量为

高等代数北大版习题参考答案

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

高等代数(北大版第三版)习题答案III

高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！

第九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

高等代数北大版第章习题参考答案

高等代数北大版第章习题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第六章线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈，X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；

高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )

= X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V的一组基，并求它的对偶基。证：设（α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A 由已知，得 A＝ 110 011 111????????-?? 因为A≠0，所以α1，α2，α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则（g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1- ＝（f1,f2,f3） 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：?α∈V，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。当s＝1时，f1≠0,所以?α∈V，使fi(α)≠0，即当s＝1时命题成立。假设当s=k时命题成立，即?α∈V，使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。若f 1 k+(α)≠0,则命题成立，若f 1 k+ (α)＝0，则由f 1 k+ ≠0知，一定?β∈V 使f 1 k+ (β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+，则γ∈V，且

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、四则运算是封闭的，即对K 内任两个数a 、 b ( a 可以等于b )，必有 b K ， ab K ，且当b 0时，a/b K ，则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例：复数域C ；实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?. 1 命题任意数域K 都包括有理数域Q 。证明设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 K ，且 a 0。于是进而最后， m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集，记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念个代数系统。 1.1.2数域的定义定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集，记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集，记做A B 。的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 B, f (a). 如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的子集称为A 在f 下的像，记做 f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号：第一学期第一次课如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。

高等代数北大版第6章习题参考答案

第六章线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。（a ，）=（ka ，kb +

高等代数北大版习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==