郑州京翰教育2015-2016学年高三第一学期第一次模拟考试试卷文科数学

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2015—2016学年一模水平测试

高三文科数学试题卷

注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间90分钟，满分100分，学生应先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上用蓝色笔或者黑色笔作答，在试题卷上作答无效，交卷时交答题卡。

题号 一 二 三 总分 分数

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

1.设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ?，则k 的取值范围是（ ） (A)2k ≤ (B)1k ≥- (C)1k >- (D)2k ≥

2．在复平面内，复数20152

3Z i i

=+-对应的点位于（ ） (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8=6+a 11，则S 9的值等于（ ） (A).36 (B).45 (C).54 (D).27 4．已知a =

， b =

， c =

，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）

(A).c a b << ( B).a b c << (C). b a c << (D).c b a << 5.在“信阳市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

(A)5和1.6 (B)85和1.6 (C) 85和0.4 (D) 5和0.4

6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）

(A.)55 (B).65 (C).78 (D).89

7.已知函数()sin()f x A x x R ω?=+∈，（其中002

2

A π

π

ω?>>-<<

，，

），其部分像如下图所示，将

()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的

解析式为（ ） (A)()sin

(1)2

g x x π

=+ (B)()sin

(1)8

g x x π

=+ (C)()sin(

1)2

g x x π

=+ (D)()sin(

1)8

g x x π

=+

8.如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ） (A)．20＋3π (B)．24＋3π (C)．20＋4π (D)．24＋4π

9.下列命题中，真命题是（ ）

(A)对于任意x ∈R ，2

2x x >；

(B)若“p 且q ”为假命题，则p ,q 均为假命题；

阅卷人 得分

………

试

…………

题……………

卷

………………

不

…………………

装

………………

订

…………

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(C)“平面向量b α,

的夹角是钝角”的充分不必要条件是“0

()(1)m m f x m x

-+=-是幂函数，且在()0,+∞上是递减的.

10．函数sin 222

x x

x

y -=

+的图像大致为（ ）

(A) (B) (C) (D) 11. 已知双曲线

2

2

21(0)9x y

b b

-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，则其双曲线的离心率为（ ） (A)

239 (B)32 (C)3 (D)23

3

12．已知函数f （x ）的定义域[－1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y='

()f x 的图象如图所示．若函数y =f （x ）－a 有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ）

(A) [)2,1 (B)[]2,1 (C) ()3,2 (D)[)3,1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2012?德阳二模）某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图可估记名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生数是 ．

14．已知点O 为坐标原点，点M （2，﹣1），点N （x ，y ）满足不等式组220

204x y x y x -+≥??

+-≥??≤?

，则OM ON ? 的最

大值为 ．

15．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

+2n+1，若数列{b n }满足b n =

1

2

n n a a +?，则其前n 项和T n = ．

16．定义在R 上的函数f （x ）满足：f （1）=1，且对于任意的x ∈R ，都有f ′（x ）＜，则不等式f （lgx ）＞lg 1

2

x +的解集为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c=2，向量m=（c ，3b ），n=（cosC ，sinB ），且m ∥n ．

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）若sin （A ＋B ），sin2A ，sin （B －A ）成等差数列，求边a 的大小．

18．（本小题满分12分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调 查，得到如下列联表（平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖）：

已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为

415

． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由；

（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的

概率是多少?参考数据：

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ， 其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面PAD 是 边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．

（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求三棱锥A －PBC 的体积．

常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18

合计 30 ………

试

…………

题……………

卷

………………

不

…………………

装………………

订

…………

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20．（本小题满分12分）

已知直线l ：y ＝3x －23过椭圆C ：2221x a b

2

y ＋＝

（a ＞b ＞0）的右焦点，且椭圆的离 心率为

6

3

． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．

21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝

2

2

a x －bx ＋lnx （a ，

b ∈R ）． （Ⅰ）若a ＝b ＝1，求f （x ）点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）设a ＜0，求f （x ）的单调区间；

（Ⅲ）设a ＜0，且对任意的x ＞0，f （x ）≤f （2），试比较ln （－a ）与－2b 的大小．

请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ACED 是圆内接四边形，AD 、CE 的延 长线交于点B ，且AD ＝DE ，AB ＝2AC ． （Ⅰ）求证：BE ＝2AD ；

（Ⅱ）当AC ＝2，BC ＝4时，求AD 的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P （

12，1），倾斜角α＝6

π

，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos （θ－ 4

π

）． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知a ＋b ＝1，对a ?，b ∈（0，＋∞），1a ＋4

b

≥｜2x －1｜－｜x ＋1｜恒成立， （Ⅰ）求

1a ＋4

b

的最小值； （Ⅱ）求x 的取值范围。

………

试

…………

题

……………

卷

………………

不

…………………

装

………………

订

…………

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答案

一.DACDB ABBDA DA

二、13. 800 14. 10 15. 269

n

n + 16.（0，10） 三、解答题

(17)解析：(I)由m n //

, 得sin 3cos 0c B b C -= ，…………………1分 由正弦定理可得sin sin 3sin cos 0C B B C -=,…………………3分 tan 3C ∴=， ………………………………4分 0C π<< ,3

C π

∴=

.………………………6分

(II)sin(),sin 2,sin()A B A B A +-成等差数列，

sin()sin()2sin 2A B B A A ∴++-=,………………………7分 得sin()sin()4sin cos A B B A A A ++-=,得cos (sin 2sin )0A B A -=， ∴cos 0A =或sin 2sin B A =，得90A =

或2b a =.……………8分

①若90A =

，3

C π=

,则43

sin 3

c a C =

=;…………10分 ②若2b a =，由22

4a b ab +-=得233

a =.……………12分

(18)解析：（I ）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，

24

,63015

x x +==.……………1分 常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 合计

10

20

30

………3分[来源:学#科#网] （II ）由已知数据可求得：2

2

30(61824)

8.5227.8791020822

K ?-?=

≈>???………6分

因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．……………8分

（III ）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有 AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，

BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种.……………9分

其中一男一女有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ， DE ，DF.共8种.…………10分

故抽出一男一女的概率是8

15

p =

.…………12分 （19）解：(I)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF . 在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，[来源:学科网ZXXK]

且AB ＝4，CD ＝2， ∴BF ∥CD 且BF =CD . ∴四边形BCDF 为平行四边形．

∴DF ∥BC . ……………………2分 在△PAB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，

∴EF ∥PB .…………3分 又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ， ∴平面DEF ∥平面PBC .……………4分 因为DE ?平面DEF ，所以DE ∥平面PBC .

……………6分

(II)取AD 的中点O ，连接PO .在△PAD 中，PA ＝PD ＝AD ＝2， ∴PO ⊥AD ，PO ＝ 3.…………………7分

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PO ⊥平面ABCD .…………………8分

在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2，AB ⊥AD ，……9分 ∴S △ABC ＝12×AB ×AD ＝1

2

×4×2＝4.…………10分

故三棱锥A PBC -的体积A PBC P ABC V V --=＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝43

3.……12分

(20)（Ⅰ）直线l 的方程为323y x =-，∵a b >，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点 ∴椭圆的焦点为(2,0),∴2c =，………………2分 又∵63c e a =

=,

∴6a = ，∴222

2b a c =-=,…………3分 ∴椭圆方程为22

162

x y +=…………………4分 (Ⅱ)直线AB 的斜率显然存在，设其为k ，直线AB 方程为1y kx =+，……5分

设1122(,),(,)A x y B x y ，由22116

2y kx x y =+???+=??，得22

(31)630k x kx ++-=，

显然0,?>1212

2263,3131

k x x x x k k --+=

=++ ，……………8分 ………

试

…………

题

……………

卷

………………

不…………………

装

………………

订

…………

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212121211()422

AOB AOD BOD S S S OD x x x x x x ???=+=

-=+- 2222222

1361261

32(31)31(31)

k k k k k +=+=+++

222222

2(31)121

33(31)31(31)k k k k +-==-

+++…………10分 令2

1,31

t k =

+则(]0,1t ∈, 22323(1)1AOB S t t t ?=-+=--+,

1t ∴=，即0k =时，AOB S ?的最大值为3.…………12分 (21)解析：（I ）1a b ==时，x x x x f ln 21)(2+-=

，x

x x f 1

1)(+-='，…………1分 ∴2

1

)1(-=f ，(1)1k f '==， ……………………2分

故()f x 点(1,(1))f 处的切线方程是2230x y --=． …………3分

（II ）由()()∞+∈+-=，，0ln 2

2

x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-=

'．………4分 当0a <时，0)(='x f ，得012

=+-bx ax ，由2

40b a ?=->,

得a

a

b b x a a b b x 24242221--=-+=，． 显然，0021>

当20x x <<时，0)(>'x f ，函数()f x 单调递增;当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减，

∴()f x 的单调递增区间是24(0,)2b b a a --，单调递减区间是24(,)2b b a

a --+∞．………8分

（III ）由题意知函数()f x 在2x =处取得最大值．由（II ）知，242b b a

a --是()f x 的唯一的极大值点，

故2422b b a a

--=，整理得 214b a -=--.……………9分

于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++[来源:学_科_网]

令()ln 14(0)g x x x x =+->，则1

()4g x x

'=

-．令0)(='x g ，得14x =，

当1

(0)4

x ∈，时，0)(>'x g ，()g x 单调递增；

当1

()4

x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减．……………10分

因此对任意0x >，()g x ≤1

1

()ln

044

g =<，又0a ->， 故()0g a -<，即ln()140a a -++<，即ln()142a a b -<--=-， ∴ ln()2a b -<-．……………………12分

（22）解(Ⅰ) 因为四边形ACED 为圆的内接四边形,所以,BDE BCA ∠=∠ …………1分 又DBE CBA ∠=∠所以BDE BCA ??∽，则

BE DE

BA CA

=

. …………3分 而2AB AC =，所以2BE DE =.……………………………4分

又AD D E =，从而2.BE AD = ………………………5分 (Ⅱ)由条件得 24AB AC ==. ………………………6分 设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ?=?，即()24,A B A D B A A D -?=? 所以(4)424t t -?=?，

解得 43t =

,即4

3

AD =. ………………10分 （23）解：（I ）直线l 的参数方程为1cos 261sin 6x t y t ππ?=+????=+??，即1322112

x t y t ?=+????=+??（t 为参数）…2分

由2cos()4

π

ρθ=

-得cos sin ρθθ=+，所以2cos sin ρρθρθ=+.……4分

得22

x y x y +=+，即22111()()222

x y -+-=. …………5分

（II ）把13

22112x t y t

?=+????=+??代入22111()()222x y -+-=，得211024t t +-=， ………8分

121

4

PA PB t t ?=?=

. ………………10分 （24）解：∵ 0a >，0b > 且1a b +=

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∴

1414()()a b a b a b +=++445529b a b a a b a b

=++≥+?=， 当且仅当2b a =时等号成立，又1a b +=，即12

,33

a b ==时，等号成立，

故14

a b

+的最小值为9，……………5分

因为对,(0,)a b ∈+∞，使14

211x x a b

+≥--+恒成立，

所以2119x x --+≤， …………… 7分

当 1x ≤-时， 29x -≤， ∴ 71x -≤≤-，…………8分

当 112x -<<时，39x -≤， ∴ 1

12

x -<<， ……………9分 当 1

2

x ≥时， 29x -≤， ∴ 1112x ≤≤，∴711x -≤≤…… 10分