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中考数学必考重点题型剖析

A 卷

中考数学必考重点题型剖析

(一)三视图确定小正方形的个数 例题 .在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱,仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来,如图所示,则这堆正方体小货箱共有( ) A .11箱 B .10箱 C .9箱 D .8箱

变式练习:

1用若干个大小相同,棱长为1的小正方体搭成一个几何体模型,其三视图如图所示,则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是

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(A )4 (B )5 (C )6 (D )7

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2如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是( )

A .5

B .6

C .7

D .8 (二)圆锥侧面展开图的相关计算 例题

若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ,母线长是6cm ,则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是

(A)40° (B)80° (C)120° (D)150° (注意:r/R=n/360的运用) 变式练习

1如图,小红同学要用纸板制作一个高4cm ,底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型,若不计接缝和损耗,则她所需纸板的面积是

(A )12πcm 2 (B )15πcm 2 (C )18πcm 2 (D )24πcm 2

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主视图 左视图 俯视图

(第15题)

俯视图

左视图

主视图

2.图3是一个几何体的三视图,其中主视图、左视图都是腰为13cm , 底为10cm 的等腰三角形,则这个几何的侧面积是 ( )

A .60πcm 2

B .65πcm 2

C .70πcm 2

D .75πcm 2

3已知圆锥的底面半径为5cm ,侧面积为65πcm 2,设圆锥的母线与高的

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夹角为θ(如图5)所示),则sin θ的值为( ) (A )

125 (B )135 (C )1310 (D )1312

4.如图(4),一圆锥的底面半径为2,母线PB 的长为6,D 为PB 的中

点.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D ,则蚂蚁爬行的

最短路程为( ) A

B

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. C

. D .3

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(三)矩形折叠问题

例题

如图,将矩形ABCD 沿BE 折叠,若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____. A

B

C D

E

A′

变式练习

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1动手操作:在矩形纸片ABCD 中,AB =3,AD =5.如图所示,折叠纸片,使点A 落在BC 边上的A ’处,折痕为PQ ,当点A ’在BC 边上移动时,折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动,则点A ’在BC 边上可移动的最大距离为 .

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2 如图,正方形纸片ABCD 的边长为1,M 、N 分别是AD 、BC 边上的点,将纸片的一角沿过点B 的直线折叠,使A 落在MN 上,落点记为A ′,折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点,则A ′N=

; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分

点(2n ≥,且n 为整数),则A ′N=

(用含有n 的式子表示)

(四)特殊三角函数,绝对值,0指数,负指数,乘方的混合运算 例题

计算:231)2008(41

0-+??

? ??--+-

.

B

图(4)

变式练习

1

032(2009)4sin 45(1)π--+-。

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2计算:(-1)2009 + 3(tan 60?)-

1-︱1-3︱+(3.14-π)0.

(五)化简求值,分式方程 例题

先化简,再选择一个合适的x 值代入求值:1

1)131()11(22-?--÷++x x x x x . 变式练习 1解方程:25

2112x x x

+--=3.

2 化简求值)1()1

112(2-?+--a a a ,其中33-=a 。

(六)解不等式组及在数轴上表示 例题

解不等式组??

?

??+-≤>+,232

,01x x x 并写出该不等式组的最大整式解. 变式练习

1.解不等式组312(1)312

x x x -<+??

?+≥??,,并在所给的数轴上表示出其解集。

-5-4-3-2-15x 2解不等式组20512112

3x x x ->??

+-?+??,≥,并把解集在数轴上表示出来

(七)一次函数与反比例函数过公共点,求解析式,点的坐标,面积等

例题

已知一次函数2y x =+与反比例函数k

y x

=

,其中一次函数2y x =+的图象经过点P(k ,5).

(1)试确定反比例函数的表达式;

(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点,求点Q 的坐标.

变式练习

1如图(12),一次函数1

22

y x =-

-的图象分别交x 轴、y 轴于A B 、两点,P 为AB 的

中点,PC x ⊥轴于点C ,延长PC 交反比例函数(0)k

y x x

=

<的图象于点Q ,且1

t an 2

A OQ ∠=.

(1)求k 的值;

(2)连结OP AQ 、,求证:四边形APOQ 是菱形.

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2.(本小题9分)

如图,反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C (1,3),过点C 的直线y = kx + b 〔k < 0〕与x 轴交于点A.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点 的横坐标为3时,求△COD 的面积.

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3已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线AB 分别与x y

、轴交于点B 、A ,与反比例函数的图象分别交于点C 、D ,CE x ⊥轴于点E ,

1

tan 422

ABO OB OE ∠===,,.

(1)求该反比例函数的解析式; (2)求直线AB 的解析式.

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(八)仰角,俯角与解直角三角形的结合的相关应用计算

x

图(12)

例题

某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一幢教学楼的高度.如图,他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D ,又测得点A 的仰角为45°。请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值)

A

B

C D

变式练习

1热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为?30,看这栋高楼底部的俯角为?60,热气球与高楼的水平距离为66 m ,这栋高楼有多高?(结果精确到0.1 m ,参考数据:73.13≈)

2为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45?并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东60?的方向有我军护航舰(如图9所示),便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处?

3如图,某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上,测量湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°,测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米,求小岛C 、D 间

C

A

B

C A B

60°

45° 北 北

18

的距离.(计算过程和结果均不取近似值)

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(九)概率的应用,树形图求概率及游戏规则的修改 例题

有一枚均匀的正四面体,四个面上分别标有数字l ,2,3,4,小红随机地抛掷一次,把着地一面的数字记为x ;另有三张背面完全相同,正面上分别写有数字一2,一l ,1的卡片,小亮将其混合后,正面朝下放置在桌面上,并从中随机地抽取一张,把卡片正面上的数字记为y ;然后他们计算出S=x+y 的值.

(1)用树状图或列表法表示出S 的所有可能情况; (2)分别求出当S=0和S<2时的概率. 变式练习

1一不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球,分别标有数字1,2,3,4.

(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球,求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率;

(2)先从纸箱中随机地取出一个小球,用小球上所标的数字作为十位上的数字;将取出的小球放回后,再随机地取出一个小球,用小球上所标的数字作为个位上的数字,则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明.

2有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ,均被分成4等份,并在每份内都标有数字(如图所示).李明和王亮同学用这两个转盘做游戏.阅读下面的游戏规则,并回答下列问题: (1)用树状图或列表法,求两数相加和为零的

概率;

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(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请修改游戏规则中的赋分..

标准,使游戏变得公平.

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(十) 三角形,四边

形,圆有关的计算证明及探究

(第26题图)

A B

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图①

图②

例题

.已知A 、D 是一段圆弧上的两点,且在直线l 的同侧,分别过这两点作l 的垂线,垂足为B 、C ,E 是BC 上一动点,连结AD 、AE 、DE ,且∠AED=90°。 (1)如图①,如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3,求AD 的长。

(2)如图②,若点E 恰为这段圆弧的圆心,则线段AB 、BC 、CD 之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。再探究:当A 、D 分别在直线l 两侧且AB ≠CD ,而其余条件不变时,线段AB 、BC 、CD 之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明。

变式练习

1已知:在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC ,E 、F 分别是AB 和BC 边上的点.

(1)如图①,以EF 为对称轴翻折梯形ABCD ,使点B 与点D 重合,且DF ⊥BC.若AD =4,BC=8,求梯形ABCD 的面积ABCD S 梯形的值;

(2)如图②,连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G ,如果FG=k ·EF (k 为正数),试猜想BE 与CG 有何数量关系?写出你的结论并证明之.

2如图8-1,已知O 是锐角∠XAY 的边AX 上的动点,以点O 为圆心、R 为半径的圆与射线AY 切于点B ,交射线OX 于点C .连结BC ,作CD ⊥BC ,交AY 于点D .

(1) (3分) 求证:△ABC ∽△ACD ;

(2) (6分) 若P 是AY 上一点,AP =4,且sin A =3

5

① 如图8-2,当点D 与点P 重合时,求R 的值;

② 当点D 与点P 不重合时,试求PD 的长(用R 表示). B 卷

图8-1

(一)迭代法求值,整体代入求值 例题 已知y = 31x – 1,那么3

1

x 2 – 2xy + 3y 2 – 2的值是 . 变式练习

1.若2

320a a --=,则2

526a a +-= . 2:012

=--x x 则代数式200922

3

+-x x 的值为。 (二)根与系数的关系 例题

已知实数,222a a -= ,222b b -=且,b a ≠求b

a

a b +的值 变式练习

1已知关于x 的方程 ()01222=++-m x m x

① 当m 取去什么值时,原方程没有实数根?

②取一个非零整数m ,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和。

2若m 、n 是方程012008

2

=-+x x 的两个根,则=-+mn mn n m 2

2

3若1x 、2x 是方程0362=++x x 的两个实数根,则

2

1

12x x x x +的值是 (三)规律问题 例题

已知2

1

(123...)(1)

n a n n =

=+,,,,记112(1)b a =-,2122(1)(1)b a a =--,…,122(1)(1)...(1)n n b a a a =---,则通过计算推测出n b 的表达式n b =_______.

变式练习

1若n 为整数,且n ≤x

301

11

119801980

1980

+++

301

11120092009

2009

+++

的值,可以确定x =

1

11111198019811982

20082009

+++++

的整数部分是

______.

2对于每个非零自然数n ,抛物线2

211(1)

(1)

n n n n n y x x +++=-

+

与x 轴交于A n 、B n 两点,以n n

A B

表示这两点间的距离,则112220092009A B A B A B +++的值是_________.

(四)与经济有关的函数的应用问题,利润问题 例题

某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品商店.该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售,购进价格为20元/件.销售结束后,得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系:P=-2x+80(1≤x≤30,且x 为整数);又知前20天的销售价格1Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:11

Q 302

x =

+ (1≤x≤20,且x 为整数),后10天的销售价格2Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:

2Q =45(21≤x≤30,且x 为整数).

(1)试写出该商店前20天的日销售利润1R (元)和后l0天的日销售利润2R (元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式;

(2)请问在这30天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润. 注:销售利润=销售收入一购进成本. 变式练习

1由于国家重点扶持节能环保产业,某种节能产品的销售市场逐渐回暖.某经销商销售这种产品,年初与生产厂家签订了一份进货合同,约定一年内进价为0.1万元/台,并预付了5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量,且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元,但不高于40万元.若一年内该产品的售价y (万元/台)与月次x

(112x ≤≤且为整数)满足关系是式:0.050.25(14)0.1(46)0.0150.01(612)x x y x x x ?-+≤

=≤≤??+<≤?

,一年后发现实际..

每月的销售量p (台)与月次x 之间存在如图所示的变化趋势. ⑴ 直接写出实际......每月的销售量p (台)与月次x 之间 的函数关系式;

⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润w (万元)与月 次x 之间的函数关系式;

⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高,并指出最高售价; ⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量.

2 新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y (万元)与销售时间第x (月)之间的函数关系式(即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA 、曲线AB 和曲线BC ,其中曲线AB

为抛物线的一部分,点A 为该抛物线的顶点,曲线BC 为另一抛物线

252051230y x x =-+-的一部分,且点A ,B ,C 的横坐标分别为4,10,12 (1)求该公司累积获得的利润y (万元)与时间第x (月)之间的函数关系式;

(2)直接写出第x 个月所获得S (万元)与时间x (月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);

(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少

万元?

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(五)圆有关的证明计算

例题

如图,已知⊙O 的半径为2,以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ,点C 是⊙O 优弧AB 上的一个动点(不与点A 、点B 重合).连结AC 、BC ,分别与⊙M 相交于点D 、点E ,连结DE.若

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(1)求∠C 的度数; (2)求DE 的长; (3)如果记tan ∠ABC=y ,

AD

DC

=x (0

1如图,Rt△ABC 内接于⊙O,AC=BC ,∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ,与BC 交于点E ,延长BD ,与AC 的延长线交于点F ,连结CD ,G 是CD 的中点,连结0G . (1)判断0G 与CD 的位置关系,写出你的结论并证明;

(2)求证:AE=BF ;

(3)若3(2OG DE ?=,求⊙O 的面积。

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B

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2如图,已知AB 是O ⊙的直径,点C 在O ⊙上,过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ,AC PC =,2COB PCB ∠=∠. (1)求证:PC 是O ⊙的切线;

(2)求证:1

2

BC AB =

; (3)点M 是AB 的中点,CM 交AB 于点N ,若4AB =,求MN ·MC 的值.

六(压轴题)二次函数与三角形,四边形的存在性探索问题 例题

在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为

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N ,且COS∠BCO

。 (2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ,使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P 的坐标:若不存在,请说明理由;

(3)过点A 作x 轴的垂线,交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ 总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

变式练习

1如图,在平面直角坐标系xOy 中,△OAB 的顶点A的坐标为(10,0),顶点B 在第一象

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限内,且AB

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sin ∠OAB=

5

(1)若点C 是点B 关于x 轴的对称点,求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式;

O N B P C

A

M

(2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P ,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若将点O 、点A 分别变换为点Q ( -2k ,0)、点R (5k ,0)(k>1的常数),设过Q 、R 两点,且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ,其顶点为M ,记△QNM 的面积为QMN S ?,△QNR 的面积Q NR S ?,求QMN S ?∶Q NR S ?的值.

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