辽宁省锦州市2012年中考数学试题

2012年锦州市初中生学业考试

数学试卷

★考试时间：120分钟试卷满分：150分

得分评卷人一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正

确答案的序号填入下面的表格内，每小题3分，共24分）

题号12345678

答案

1.∣-3∣的倒数是

A.3

B.

3

1

C.-3

D.-

3

1

2.下列各图，不是轴对称图形的是

A B C D

3.下列运算正确的是

A.7

5

2a

a

a=

+ B.3

3

)

(ab

ab?

=

? C.4

2

8a

a

a=

÷ D.3

22

2a

a

a=

?

4.某中学礼仪队女队员的身高如下表：

则这个礼仪队20名女队员身高的众数和中位数分别是

A.168㎝，169㎝

B.168㎝，168㎝

C.172㎝，169㎝

D.169㎝，169㎝

5.如图，在△ABC中，AB=AC,AB+BC=8.将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别

与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是

A.8

B.16

C.4

D.10

6.下列说法正确的是

A.同位角相等

B.梯形对角线相等

题号一二三四五六七八总分得分[来

源:Z|x x|k.C o m

]

身高（㎝）165168170171172

人数（名）46532

第5题图

C.等腰三角形两腰上的高相等

D.对角线相等且垂直的四边形是正方形

7.如图，反比例函数)0(≠=k x

k

y 与一次函数)0(≠+=k k kx y 在同一平面直角坐标系内的图象可能是

8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB＇C＇，若AB=4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是A.

3

2

π B.

3

5πC.2π D.4π

得分评卷人

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.计算：01060sin 6272)12(?+?+?=

.

10.函数1

1

?=

x y 中,自变量x 的取值范围是.

11.万里长城和京杭大运河都是我国古代文明的伟大成就，其中纵贯南北的京杭大运河修建时长度大约为1790000米，是非常杰出的水利工程.将数据1790000米用科学记数法表示为米.

12.不等式组??????>+?1

230

2

11x x 的解集是.

13.已知三角形的两条边长分别是7和3，第三边长为整数，则这个三角形的周长是偶数

的概率是.

14.某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元.店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打折.15.如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3㎝，DB=10㎝，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E、F 两点，则线段EF 的长是㎝.

16.如图，正方形A 1B 1B 2C 1，A 2B 2B 3C 2，A 3B 3B 4C 3,…,A n B n B n+1C n ，按如图所示放置，使点A 1、

A 2、A 3、A 4、…、A n 在射线OA 上，点

B 1、B 2、B 3、B 4、…、B n 在射线OB 上.若∠AOB=45°，OB 1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S 1,S 2，S 3，…，S n ,则S n =

.

≥B'

C'

C

B

A

第8题图

得分评卷人

三、解答题（每小题8分，共16分）

17.先化简，再求值：

1

2

12212

2??÷+????x x x x x x x ，其中3=x .18.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A＇B＇C＇是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.（1）画出位似中心点O；

（2）直接写出△ABC 与△Ａ′Ｂ＇Ｃ＇的位似比；

（3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A＇Ｂ＇Ｃ＇关于点O 中心对称的△Ａ″Ｂ″Ｃ″，并直接写出△Ａ″Ｂ″Ｃ″各顶点的坐标.

得分评卷人

四、解答题（每小题10分，共20

分）

19.随着人们生活水平的提高，城市家庭私家车的拥有量越来越多.私家车给人们的生活带来很多方便，同时也给城市的道路交通带来了很大的压力,尤其是节假日期间交通拥堵现象非常严重.为了缓解交通堵塞，尽量保持道路通畅，某市有关部门号召市民“在节假日期间选择公共交通工具出行”.为了了解市民的意见和态度，有关部门随机抽取了若干市民进行了调查.经过统计、整理，制作统计图如下.请回答下列问题：（1）这次抽查的市民总人数是多少？（2）分别求出持“赞成”态度、“无所谓”态度的市民人数以及持“无所谓”态度的人数占总人数的百分比，并补全条形统计图和扇形统计图;

（3）若该市约有18万人，请估计对这一问题持“赞成”态度的人数约是多少？

第18题图

20.某部队要进行一次急行军训练，路程为32km.大部队先行，出发1小时后，由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地.已知突击小队的行进速度是大部队的1.5倍，求大部队的行进速度.（列方程解应用题）

得分评卷人

五、解答题（每小题10分，共20分）

21.如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成五个扇形，五个扇形内部分别标有数字1、-2、3、-4、5.若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为

m,n

（当指针指在边界线时视为无效，重转），从而确定一个点的坐标为A （m,n）.请用列表或者画树状图的方法求出所有可能得到的点A 的坐标，并求出点A

在第一象限内的概率.

第19题图

第21题图

22.如图，大楼AB 高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B 处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A 处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD 及大楼与塔之间的距离BD 的长.(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93,tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80)

得分评卷人

六、解答题（每小题10分，共20分）

23.如图：在△ABC 中，AB=BC，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D，过D 做直线DE 垂直BC 于F，且交BA 的延长线于点E.（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若cos∠BAC=

3

1

，⊙O 的半径为6，求线段CD 的长.24.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨．．了x 元时（x

．为正整数．．．．），月销售利润为y 元.

第22题图

第23题图

（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围.（2）每件玩具的售价．．定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

（3）每件玩具的售价．．定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

得分评卷人

七、解答题（本题12分）

25.已知：在△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B、C 重合）.以AD 为边作正方形ADEF，连接CF.

(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD⊥CF.②CF=BC-CD.

(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD 三条线段之间的关系；

(3)如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD 三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC 的形状，并说明理由.

第25题图

A

B

C

F

E

D

C

B

A

D

E

F

A

B

C D

E

F

O

图2图3

图1

得分评卷人

八、解答题（本题14分）

26.如图，抛物线32?+=bx ax y 交y 轴于点C，直线l 为抛物线的对称轴，点P 在第三象限且为抛物线的顶点.P 到x 轴的距离为

3

10

，到y 轴的距离为1.点C 关于直线l 的对称点为A，连接AC 交直线l 于B.（1）求抛物线的表达式；

（2）直线m x y +=

4

3

与抛物线在第一象限内交于点D，与y 轴交于点F,连接BD 交y 轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线m x y +=4

3

的表达式；

（3）若N 为平面直角坐标系内的点，在直线m x y +=4

3

上是否存在点M，使得以点O、

F、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

第26题图

2012年锦州市数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题9.

2

1

10.x ＞111. 1.79×10

6

12.21≤

5

214.七（写成数字“7”也正确）15.6

16.3

22

?n （2

2242-2n 1或?n ，符合题意的

答案即可）三、解答题17.解：原式=

21

)1(2122???

????x x x x x x ………………………2分

=11

)1(1??

?x x x ………………………3分

=)1(1??x x x ………………………5分

=x

1?

………………………6分

当3=x 时，原式=3

1?

=33?

………………………8分

18.（1）图中点O 为所求（可以不写出结论，在图中画出

点O 的正确位置即可）………………2分

（2）△ABC 与△A＇B＇C＇的位似比等于2:1；

………………3分

（3）△A＇＇B＇＇C＇＇为所求（可以不写出结论，在图中画出△A＇＇B＇＇C＇＇即可）；………………5分A＇＇（6，0）；B＇＇（3，-2）；C＇＇（4，-4）.……………8分四、解答题19.解：

（1）150÷30%=500（人）

答：这次抽查的市民总人数是500人.………2分(2)持“赞成”态度的市民人数有：500×25%=125（人）……3分

持“无所谓”态度的市民人数有：500-150-125=225（人）…4分

持“无所谓”态度的人数占总人数的百分比是：225÷500=45%.……5分统计图补充如图示.

……6分

（3）180000×25%=45000（人）

答：估计对这一问题持“赞成”态度的人数约为45000人.…10分20.解：设大部队的行进速度是x 千米/小时.根据题意，得……………1分

1小时20分钟=

3

4

小时345.13232=?x x ……………5分解得8

=x ……………8分经检验：8=x 是所列方程的解

……………9分答：大部队的行进速度是8千米/小时.……………10分

五、解答题

21.方法一：由题意可列表得：

第一次(m)

第二次(n)

1

-23

-45

1（1,

1）

（-2，1）（3，1）（-4，1）（5，1）-2（1，-2）（-2，-2）（3，-2）（-4，-2）（5，-2）3（1,

3）

（-2，3）（3，3）（-4，3）（5，3）-4（1，-4）（-2，-4）（3，-4）（-4，-4）（5，-4）5

（1，5）

（-2，5）

（3，5）

（-4，5）

（5，5）

…………

……………7分

由表可知所有可能得到的点A 的坐标共有25种，且每种结果发生的可能性相同，其中在第一象限内的结果有9种.………………………8分

所以，P （点A 在第一象限内）=

25

9.………………………10分

方法二：根据题意画树状图如下：

…………7分

由树状图可知所有可能得到的点A 的坐标共有25种，且每种结果发生的可能性相同，其中在第一象限内的结果有9种.………………………8分

所以，P （点A 在第一象限内）

=

25

9.………………………10分

22.解：过点A 作AE⊥CD 于点E,由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米设大楼与塔之间的距离BD 的长为x 米，则AE=BD=x(不设未知数x 也可

以)……………………1分

∵在Rt △BCD 中,tan ∠CBD=

BD CD ∴CD=BD tan 38.5°≈0.8x………………………3分∵在Rt △ACE 中,tan ∠CAE=

AE

CE ∴CE=AE tan 22°≈0.4x（此处用“=”不扣分）

………………………5分

∵CD-CE=DE

∴0.8x-0.4x=16………………………7分∴x=40

即BD=40(米)………………………8分CD=0.8×40=32(米)………………………9分答：塔高CD 是32米，大楼与塔之间的距离BD 的长为40米.…………………10分六、解答题23.方法一：（1）证明：连接BD、OD

∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ADB=90°则BD⊥AC ∵BA=BC

∴D 为AC 中点∵O 是AB 中点

∴OD 为△ABC 的中位线∴OD ∥

BC ……………………3分

∴∠BFE=∠ODE ∵DE⊥BC ∴∠BFE=90°

∴∠ODE=90°∴OD⊥DE ∴直

线DE

是⊙O 的切

线

……………………6分

（2）解：∵⊙O 的半径为6∴AB=12

……………………7分

在Rt △ABD 中∵cos∠BAC=3

1∴

AD=4

……………………8分E

由

(1)知

BD 是

△

ABC 的中

线

……………………9分

∴

CD=AD=4

……………………10分

方法二：（1）证明：连接OD

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA ∵AB=BC

∴∠BAC=∠ACB ∴∠ODA=∠ACB ∴OD∥BC

……………………3分

∴∠ODE=∠BFE ∵DE⊥BC ∴∠BFE=90°

∴∠ODE=90°∴OD⊥DE

∴直线DE 是⊙O 的切线…………………………………………6分

(2)解：连接BD

∵⊙O 的半径为6∴AB=12

∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°…………………………………………………7分在Rt △ABD 中

∵cos∠BAC=

3

1∴AD=4

…………………………………………………8分

∵∠ADB=90°∴BD⊥AC 又∵AB=BC

∴BD 是△ABC 的中线………………………………………………9分

∴CD=AD=4

……………………………………………10分

24.解：（1）依题意得)

10230)(2030(x x y

??+=2300

130102++?=x x ………………………2分

自变量x 的取值范围是：0＜x≤10(1≤x≤10也正确)且x 为正整数

………………………3分

（2

）

当

y=2520

时

，

得

2520

2300130102=++?x x （元）………………………5分

解得x 1=2,x 2=11（不合题意，舍

去）

………………………6分

当x=2时，30+x=32（元）

所以，每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520

元.………………………7分

（

3

）

5

.2722)5.6(1023001301022+??=++?=x x x y ………………………8分

∵a=-10＜0∴当x=6.5时，y 有最大值为

2722.5

………………………9分

∵0＜x≤10(1≤x≤10也正确)且x 为正整数

∴当x=6时，30+x=36,y=2720（元）当x=7时，30+x=37,y=2720（元）所以，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元.………………………10分

七、解答题

25.（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°∵四边形ADEF 是正方形∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAD=∠BAC-∠DAC ∠CAF=∠DAF-∠DAC ∴∠BAD=∠CAF ∴△BAD≌△CAF ………………………………3分∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°∴BD⊥CF ………………………………4分②由①△BAD≌△CAF 可得BD=CF ∵BD=BC-CD ∴CF=BC-CD ………………………………6分

（2）CF=BC+CD ………………………………7分（3）①CF=CD-BC ………………………………8分

②∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°则∠ABD=180°-45°=135°∵四边形ADEF 是正方形

∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAD=∠DAF -∠BAF ∠CAF=∠BAC -∠BAF ∴∠BAD=∠CAF ∴△BAD≌△CAF …………………………………9分∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°

∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°则△FCD 为直角三角形∵正方形ADEF 中，O 为DF 中点∴OC=

2

1DF ………………………………10分

∵在正方形ADEF 中，OA=

2

1

AE ，AE=DF

∴OC=OA

………………………………11分

∴△AOC 是等腰三角形

……………………………12分

八、解答题

26.解：（1）∵抛物线32?+=bx ax y 交y 轴于点C

∴

C（0，-3）则OC=3

……………1分

∵P 到x 轴的距离为3

10

，P 到y 轴的距离是1且在第三象限

∴P（-1，-3

10）……………2分∵C 关于直线l 的对称点为A

∴A（-2，-3）

……………3分

将点A（-2，-3），P（-1，-310

）代入=ax y 有??????=???=??31033324b a b a 解得???

?

??

?==3

231

b a ………………………5分

∴抛物线的表达式为

3

3

2

312?+=x x y ………………………6分

（2）过点D 做DG ⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°

∵∠DEG=∠BEC ∴△DEG∽△BEC ∵DE:BE=4:1

∴

1

4

=

=BE DE BC DG 则DG=4………………………7分

将x=4代入33

2

312?+=x x y ，得y=5

则D（4,5）

………………………8分

∵m x y +=

43

过点D（4,5）∴m +×=44

3

5则m =2

………………………9分

∴所求直线的表达式为

24

3

+=

x y (10)

分

（3）存在M 1)5

16

,

58(M 2)54,58(?

M 3)1,3

4(?

M 4)25

14,2548(?

………………………14分