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解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法

绝对值不等式||||||a b a b +≤+,||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

=======================

y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5,没有最大值

=======================

|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5

即函数的最小值是-5,最大值是5

=======================

也可以从几何意义上理解,|x-3|+|x+2|表示x 到3,-2这两点的距离之和,显然当-2≤x≤3时,距离之和最小,最小值是5;而|x-3|-|x+2|表示x 到3,-2这两点的距离之差,当x≤-2时,取最小值-5,当x≥3时,取最大值5

解绝对值不等式题根探讨

题根四 解不等式2|55|1x x -+<.

[题根4]解不等式2

|55|1x x -+<.

[思路]利用|f(x)|0) -a

去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等

式组2

1551x x -<-+<即22

551(1)551

(2)

x x x x ?-+

?-+>-??求解。

[解题]原不等式等价于21551x x -<-+<,

即22

551(1)551

(2)x x x x ?-+-??

由(1)得:14x <<;由(2)得:2x <或3x >,

所以,原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<.

[收获]1)一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础,无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式,最终是通过代数变形后,转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2)本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的 的图象,解方程2551x x -+=,再对照图形写出此不等式的解集。

第1变 右边的常数变代数式

[变题1]解下列不等式:(1)|x +1|>2-x ;(2)|2x -2x -6|<3x

[思路]利用|f(x)|g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解:(1)原不等式等价于x +1>2-x 或x +1<-(2-x )

解得x >

12或无解,所以原不等式的解集是{x |x >12

} ???

(2)原不等式等价于-3x <2x -2x -6<3x

即222

226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<--

???或 2

所以原不等式的解集是{x |2

[收获]形如|()f x |<()g x ,|()f x |>()g x 型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法,即: ①|()f x |<()g x ?-()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ?()f x >()g x 或()f x <-()g x

[请你试试4—1]

1.解不等式(1)|x-x 2

-2|>x 2

-3x-4;(2)234

x

x -≤1 解:(1)分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于:

x-x 2-2>x 2

-3x-4 ①

或x-x 2-2<-(x 2

-3x-4) ② 解①得:1--3

故原不等式解集为{x |x>-3}

分析二 ∵|x-x 2-2|=|x 2

-x+2| 而x 2

-x+2=(x-14)2+74

>0 所以|x-x 2

-2|中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x 2-x+2>x 2

-3x-4 解得:x>-3

∴ 原不等式解集为{x>-3} (2)分析 不等式可转化为-1≤234

x

x -≤1求解,但过程较繁,由于不等式234x x -≤1两边均为正,所以可

平方后求解.

原不等式等价于2

234

x

x -≤1

9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) x 4-17x 2+16≥0 x 2≤1或x 2≥16

-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4

注意:在解绝对值不等式时,若|f(x)|中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负,恒负或恒非正),就可直接去掉绝对值符号,从而简化解题过程.

第2变 含两个绝对值的不等式

22????

[变题2]解不等式(1)|x -1|<|x +a |;(2)|x-2|+|x+3|>5. [思路](1)题由于两边均为非负数,因此可以利用|f(x)|〈|g(x)|f 2

(x)〈g 2(x)两边平方

去掉绝对值符号。

(2)题可采用零点分段法去绝对值求解。 [解题](1)由于|x -1|≥0,|x +a |≥0,所以两边平方后有:

|x -1|2<|x +a |2

即有2x -2x +1<2x +2ax +2a ,整理得(2a +2)x >1-2a 当2a +2>0即a >-1时,不等式的解为x >1

2(1-a ); 当2a +2=0即a =-1时,不等式无解; 当2a +2<0即a <-1时,不等式的解为x <

1

(1)2

a - (2)解不等式|x-2|+|x+3|>5.

解:当x ≤-3时,原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-355>5无解. 当x ≥2时,原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得:原不等式解集为{x |x>2或x<-3}.

[收获]1)形如|()f x |<|()g x |型不等式

此类不等式的简捷解法是利用平方法,即:

|()f x |<|()g x |?2

2

()()f x g x

2)所谓零点分段法,是指:若数1x ,2x ,……,n x 分别使含有|x -1x |,|x -2x |,……,|x -n x |的代数式中相应绝对值为零,称1x ,2x ,……,n x 为相应绝对值的零点,零点1x ,2x ,……,n x 将数轴分为m +1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化

[请你试试4—2]

1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析:易知-1

|

|||lg lg x x a a

-+> ∴22

|lg(1)||lg(1)|x x ->+ 于是2

2

lg (1)lg (1)0x x --+>

∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+>

??????

∴21lg(1)lg 01x

x x

-->+ ∵-1

∴lg (1-2x )<0

∴1lg

1x

x -+<0 ∴1011x x -<<+

解得0

2.不等式|x+3|-|2x-1|<2

x

+1的解集为 。 解:

|x+3|-|2x-1|=???

?

?

?

???

-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x

∴当2

1

x 时124+<-x x ∴x>2

当-3

2

3-<<-x

当3-≤x 时12

4+<-x

x ∴3-≤x

综上72

-2

故填),2()7

2

,(+∞?--∞。

3.求不等式13

3

1

log log 13x x

+≥-的解集. 解:因为对数必须有意义,即解不等式组

01

03x x

>??

?>?-?,解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥

(1)当01x <≤时,不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥

∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤

综合前提得:304

x <≤。 (2)当1

∴ 2

330x x -+≤ x ∴∈?。

(1) 当23x <<时,()333log log 3log 3x x --≥ (2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥

,结合前提得:9

34

x ≤<。

综合得原不等式的解集为390,,344

???? ????

???

U

第3变 解含参绝对值不等式

[变题3]解关于x 的不等式

34422+>+-m m mx x

[思路]本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解,运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ,则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 [解题]原不等式等价于 3|2|+>-m m x

当03>+m 即3->m 时, )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或

当03=+m 即3-=m 时, 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-

[收获]1)一题有多解,方法的选择更重要。 2)形如|()f x |a (a R ∈)型不等式

此类不等式的简捷解法是等价命题法,即:

① 当a >0时,|()f x |a ?()f x >a 或()f x <-a ; ② 当a =0时,|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时,|()f x |a ?()f x 有意义。

[请你试试4—3]

1.解关于x 的不等式:()09

22

>≤-a a a x x 分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a 进行讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的解集求并集,得出原不等式的解集。

解:当()?

??≤--≥???≤-≥≥0299292

22a ax x a

x a a x x a x a x 即时,不等式可转化为 a b

x a 17

3+≤

≤∴ ?

??≥+-

22a ax x a

x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当

]??

?

???

+

?-∞<≤≤

∴a a a

a x a a x 6173,3

23

,

(3

23故不等式的解集为或。 2.关于x 的不等式|kx -1|≤5的解集为{x |-3≤x ≤2},求k 的值。

按绝对值定义直接去掉绝对值符号后,由于k 值的不确定,要以k 的不同取值分类处理。 解:原不等式可化为-4≤kx ≤6

当k >0时,进一步化为46x k k -≤≤,依题意有4

433632k k k k

?-=-??=??

?????==???,此时无解。

当k =0时,显然不满足题意。

当k <0时,64x k k ≤≤-,依题意有4

2263

k

k k

?-=???=-?

?=-?? 综上,k =-2。

第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题

[变题4]若不等式|x -4|+|3-x |

[思路]此不等式左边含有两个绝对值符号,可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于0,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集,这是按常规去掉绝对值符号的方法求解,运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构,利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |,便把问题简化。

[解题]解法一 (1)当a ≤0时,不等式的解集是空集。

(2)当a >0时,先求不等式|x -4|+|3-x |

① 当x ≥4时,原不等式化为x -4+x -3

解不等式组474272x a

x x a ≥?+?≤<

?-

,∴a >1 ② 当31

③ 当x ≤3时,原不等式化为4-x +3-x

x x a ≤?--?<≤?

-

,∴a >1

综合①②③可知,当a >1时,原不等式有解,从而当0

由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1

解法二由|x -4|+|3-x |的最小值为1得当a >1时,|x -4|+|3-x |

解法三: ∵a >|x -4|+|3-x |≥|x -4+3-x |=1 ∴当a >1时,|x -4|+|3-x |

从而当a ≤1时,原不等式解集为空集。

[收获]1)一题有多法,解题时需学会寻找最优解法。

2)()f x a ≤有解()min a f x ?≥;()f x a ≤解集为空集()min a f x ?<;这两者互补。()f x a ≤恒

成立()max a f x ?≥。

()f x a <有解()min a f x ?>;()f x a <解集为空集()min a f x ?≤;这两者互补。()f x a <恒成

立()max a f x ?>。

()f x a ≥有解()max a f x ?≤;()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>;这两者互补。()f x a ≥恒

成立()min a f x ?≤。

()f x a >有解()max a f x ?<;()f x a >解集为空集()max a f x ?≤;这两者互补。()f x a >恒

成立()min a f x ?≤。

[请你试试4—4]

1.对任意实数x ,若不等式|x +1|-|x -2|>k 恒成立,求k 的取值范围。

思维点拨:要使|x +1|-|x -2|>k 对任意实数x 恒成立,只要|x +1|-|x -2|的最小值大于k 。因|x +1|的几何意义为数轴上点x 到-1的距离,|x -2|的几何意义为数轴上点x 到2的距离,|x +1|-|x -2|的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离的差,其最小值可求。

此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数,通过画出图象,观察k 的取值范围。 解法一 根据绝对值的几何意义,设数x ,-1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ,则原不等式即求|PA|-|PB|>

k 成立

∵|AB|=3,即|x +1|-|x -2|≥-3 故当k <-3时,原不等式恒成立

解法二 令y =|x +1|-|x -2|,则3,1

21,123,2x y x x x -≤-??

=--<

解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法

要使|x +1|-|x -2|>k 恒成立,从图象中可以看出,只要k <-3即可。 故k <-3满足题意。

2.对任意实数x ,不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立,求实数a 的取值范围。

分析:经过分析转化,实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值,a 应比最小值小。 解: 由绝对值不等式:|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即

21≤≤-x 时取等号。故a<3

说明:转化思想在解中有很重要的作用,比如:恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。(在这些问题里我们要给自己提问题,怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题,常问的问题是:要使……,只要……)

3.已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|

当|x-4|+|x-3|1

(二)如图,实数x 、3、4在数轴上的对应点分别为P 、A 、B 则有:

y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|

Θ |PA|+|PB|≥1 ∴恒有y ≥1

数按题意只须a>1

解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法

解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法

(三)令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象 由f(x)1 (四)考虑|z-4|+|z-3|

当a>1时,表示复平面上以3、4为焦点,长轴长为a 的椭圆内部,当z 为实数时,a>1原不等式有解∴a>1即为所求

(五) 可利用零点分段法讨论. 将数轴可分为(-∞,3),[3,4],(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)72

a

-. 有解条件为

72

a

-<3 即a>1 当3≤x ≤4时得(4-x)+(x-3)1 当x>4时,得(x-4)+(x-3)

a

- 有解条件为

72

a

->4 即a>1 以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为a>1. 变题:

1、若不等式|x-4|+|x-3|>a 对于一切实数x 恒成立,求a 的取值范围

2、若不等式|x-4|-|x-3|

3、若不等式|x-4|-|x-3|>a 在R 上恒成立,求a 的取值范围 评注:

1、此题运用了绝对值的定义,绝对值不等式的性质,以及绝对值的几何意义等多种方法。 4、构造函数及数形结合的方法,是行之有效的常用方法 设0

5

≤,若满足不等式b a x <-的 一切实数x ,亦满足不等式

2

1

2<-a x 求正实数b 的取值范围。

简析略解:此例看不出明显的恒成立问题,我们可以设法转化:

设集合A =}(){

b a b a b a x x +-=<-,|,

??

B=?????

? ??+-=???<

-21,2121|222a a a x x 由题设知A ?B ,则: 2

1

2-

≥-a b a 21

2+≤+a b a

于是得不等式组: 21

2++-≤a a b

解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法

2

12+-≤a a b

又 =-+-212a a 43212

+??? ??

--a ,最小值为163;

,4

1

21212

2

+??? ??-=+-a a a 最小值为41;

∴ 16

3

b , 即 :b 的取值范围是??

?

??163,

0 第5变 绝对值三角不等式问题

[变题5]已知函数2

()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈,当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤,求证:

(1)||1b ≤;

(2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈,则当[1,1]x ∈-时,求证:|()|2g x ≤。

[思路]本题中所给条件并不足以确定参数b a ,,c 的值,但应该注意到:所要求的结论不是()b g x 或的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用()1-f 、(0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。因为由已知条件得|(1)|1f -≤,|(0)|1f ≤,|(1)|1f ≤。

[解题]证明:(1)由()()()()1

1,1[11]2

f a b c f a b c b f f =++-=-+?=--,从而有

11

||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1,

221

||(|(1)||(1)|) 1.

2

b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤Q (2)由()()()()()()111,1[11],[11],(0),2

2

f a b c f a b c b f f a c f f c f =++-=-+?=--+=+-=

从而 ()()1[11](0)2

a f f f =+--

将以上三式代

2()(,,)

g x bx ax c a b c R =++∈,并整理得

222222

11

|()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)|2211

|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)|

2211

|(0)|1||(1)||1||(1)||1|

221111

|1||1||1|1(1)(1)22222

2

g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+

++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ [收获]1) 二次函数的一般式c bx ax y ++=2

)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数.

2)本题变形技巧性强,同时运用公式||||||a b a b +≤+,||||||a b a b -≤+及已知条件进行适当的放大。要求同

学们做题时要有敏锐的数学观察能力。

[请你试试4—5]

1.已知函数f(x)=21x +,a,b ∈R ,且b a ≠,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。 分析:要证|||11|22b a b a -<+-+,考察左边,是否能产生|a-b|。 证明:|f(a)-f(b)|=|

||||

|||11|||11|2

2222

2

b a b a b a b a b a b a +-?+<

+++-=

+-+

|||||

||||

|||b a b a b a b a -=-?++≤

(其中||122a a a =>+,同理|,|12b b >+∴

|

|||1

1112

2b a b a +<

+++)

回顾:1、证题时,应注意式子两边代数式的联系,找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外,综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中,用到了不等式的传递性,倒数性质,以及“三角形不等式”等等。

2、本题的背景知识与解析几何有关。函数21x y +=是双曲线,

122=-x y 的上支,而||

2

12

1x x y y --(即

|)

()(|

b

a b f a f --)

,则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。(学过有关知识后),很显然这一斜率的范围是在(-1,1)之间。

2.(1)已知不等式|x-3|+|x+1|

分析:“有解”即“解集非空”,可见(1)(2)两小题的答案(集合)互为补集(全集为R )

当然可以用|x-3|+|x+1|=??

?

??-≤-<<-≥-)1(22)31(4)

3(22x x x x x 这种“去绝对值”的方法来解,但我们考虑到“三角形不等式”:

||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|

知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4

这样|x-3|+|x+1|

??≥++-<++-x x a

x x

若(*)解集为φ,则a ≤4,若(*)有解,则a>4。 解(略)

回顾:本题是“绝对值不等式性质定理”(即“三角形不等式”)的一个应用。 发展题:(1)已知不等式|x-3|+|x+1|>a 的解集非空,求a 的取值范围。 (2)已知不等式|x-3|+|x+1|≤a 的解集非空,求a 的取值范围。

3.已知f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=f(1),如果对于任意不同的x 1,x 2∈[0,1],都有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|,求证:|f(x 1)-f(x 2)|<

2

1

分析:题设中没有给出f(x)的解析式,这给我们分析f(x)的结构带来困难,事实上,可用的条件只有f(0)=f(1) ①,与|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|②两个。

首先,若|x 1-x 2|≤

21,那么必有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|≤21即|f(x 1)-f(x 2)|<21

成立。 但若|x 1-x 2|>21呢?考虑到0≤|x 1-x 2|≤1,则1-|x 1-x 2|<21,看来要证明的是|f(x 1)-f(x 2)|≤1-|x 1-x 2|<2

1

成立!

证明:不妨设x 1≤x 2,则0≤x 1≤x 2≤1

(1)当|x 1-x 2|≤

21时,则有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|≤21即|f(x 1)-f(x 2)|<21

成立。 (2)当|x 1-x 2|>21时,即x 2-x 1>21

时,∵0≤x 2-x 1≤1

必有1-|x 1-x 2|<21即1- x 2+x 1<2

1

也可写成|1- x 2|+|x 1|<2

1

(*)

另一方面|f(x 1)-f(x 2)|=|f(1)-f(x 2)+f(x 1)-f(0)|≤|f(1)-f(x 2)|+|f(x 1)-f(0)|<|1- x 2|+|x 1-0| 则由(*)式知|f(x 1)-f(x 2)|<

2

1

成立 综上所述,当x 1,x 2∈[0,1]时都有|f(x 1)-f(x 2)|<

2

1

成立。 已知二次函数f x ax bx c ()=++2

,当-≤≤11x 时,有-≤≤11f x (),求证:当-≤≤22x 时,有-≤≤77f x ().

分析:研究)(x f 的性质,最好能够得出其解析式,从这个意义上说,应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数,只需三个独立条件,本题可以考虑)1(f ,)1(-f ,)0(f ,这样做的好处有两个:一是c b a ,,的表达较为简洁,二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点,这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.

要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围,只需考虑其最大值,也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值.

证明:由题意知:c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(, ∴ )0()),1()1((2

1

)),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+=

∴ f x ax bx c ()=++2

()2

221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+?

??

? ??--+???? ??+=. 由-≤≤11x 时,有-≤≤11f x (),可得 ,1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f .

∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,

()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f .

(1)若[]2,22-?-a

b

则()x f 在[]2,2-上单调,故当[]2,2-∈x 时,))2(,)2(max()(max f f x f -=∴ 此时问题获证. (2)若[]2,22-∈-

a b ,则当[]2,2-∈x 时,)2,)2(,)2(max()(max ??

? ??--=a b f f f x f 又()72411214)1()1(2022422<=+?+≤--?+=?+≤-

=??

?

??-f f a b f b a b c a b c a b f , ∴ 此时问题获证. 综上可知:当-≤≤22x 时,有-≤≤77f x ().

评析:因为二次函数()0)(2

≠++=a c bx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-a

b 上分别单调,所以函数

()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得;函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或

顶点处取得.

第6变 绝对值不等式与其它知识的横向联系

[变题6](2003年全国高考试题)已知0>c .设

:P 函数x c y =在R 上单调递减.

:Q 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R .

如果P 和Q 有且仅有一个正确,求c 的取值范围.

[思路] 此题虽是一道在老教材之下的高考试题,但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中,绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系,属于对于学生提出的基本要求内容的范畴,本题将这几部分知识内容有机地结合在一起,在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时,考查了学生命题转换,分类讨论等能力,在不同的方法下有不同的运算量,较好地体现出了“多考一点想,少考一点算”的命题原则.

[解题]:函数x

c y =在R 上单调递减10<

不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ?函数|2|c x x y -+=在R 上恒大于1,

∵,,,,

c x c x c c x c x x 22222|2|<≥?

?

?-=-+

∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2, ∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ?12>c ,即2

1

>c , 若P 正确,且Q 不正确,则2

10≤

所以c 的取值范围为)1[]2

10(∞+,,Y .

[收获]“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题,借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答,是这个命题的基本特征,在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.

[请你试试4—6]

1.(2004届湖北省黄冈中学综合测试题)已知条件a x p >-|15:|和条件01

321

:2

>+-x x q ,请选取适当的实数a 的值,分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题:“若A 则B ”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题.

[分析] 本题为一开放性命题,由于能得到的答案不唯一,使得本题的求解没有固定的模式,考生既能在一般性

的推导中找到一个满足条件的a ,也能先猜后证,所找到的实数a 只需满足

2151≤-a ,且≥+5

1a

1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性,同时也是对于四个命题考查的一种新尝试,如此命题可以考查学生探究问题、解决问

题的能力,符合当今倡导研究性学习的教学方向.

[解答] 已知条件p 即a x -<-15,或a x >-15,∴51a x -<,或5

1a

x +>, 已知条件q 即01322>+-x x ,∴2

1

x ; 令4=a ,则p 即5

3

-

x ,此时必有q p ?成立,反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ,A 为p ,B 为q ,对应的命题是若p 则q ,

由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题. 2. 已知)0(012:2|3

1

1:|22>≤-+-≤--

m m x x q x p ,;p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. [分析] 本题实为上一命题的姊妹题,将命题的表述重心移至充要条件,使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念,新教材将这一内容的学习放在第一章,从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题,要求学生能正确运用数学符号,规范数学学习行为,否则连读题审题都感困难.

[解答] 由,

2|3

1

1|≤--

x 得102≤≤-x , 由)0(01222>≤-+-m m x x ,得)0(11>+≤≤-m m x m ,

∴?p 即2-x ,而?q 即m x -<1,或m x +>1)0(>m ; 由?p 是?q 的必要不充分条件,知?q ??p ,

设A=}102|{>-+>-

则有A B ≠

?,故??

?

??>≤+-≥-,,,010111m m m 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号,

解得30≤