闭区间上连续函数性质的再推广

求函数的连续区间

求函数的连续区间，并求极限 2 解：x 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0 x 1 , x 2 （初等函数在其定义区间内是连续的） 1 函数f（x）二的连续区间是（，1）（1,2）（2,） x 3x 2 lim0 f (x)lim 2 x 0 x2 3x 2 把0代入式 1 lim 2解得x 0 x2 3x 2，解得 lim —1- x 0 x 3x 2 2 2. f(x)\ x1 x，lim f (x) x 5 解：x10，x1 8x0，x8（初等函数在其疋乂区间内是连续 的） 函数f (x)vx 18x的连续区间是[1,8] lim f (x) lim v x 1 \ 8 x x 5 x 5 把5代入式lim x 1 「8 x，解得 x 5 lim x x 1 \ 8 x 2 \ 3 x 5 1. f(x) 厂厂，！叩（刈

3. f (x) ln(1 x 2 )， l j m i f (x) X 2 解：1 x 2 0， 1 x 1 （初等函数在其定义区间内是连续的） 4 f （x ） & e x ， lim f （x ） X 1 解：1 e 0， x 0 （初等函数在其定义区间内是连续的） X e ，解得 lim \'1 e x 丁1 e X 1 函数 f(x) ln(1 x ）的连续区间是［1,1］ lim ln( x 2 1 x 2) 把2代入式 lim ln(1 X 夕 2 、 ） lim 1 l n( 1 X 2 ) in 4 函数f (x) X e 的连续区间是［ ,0] lim X 1 f (x) 1代入式

「X X 因把2代入式X im 2 —2)3后，分母为o,故X im 2 —2『不 存在 X X 2 是函数y E 的第二类间断点 解：X 2 3X 2 0，X 1，X 2 / 小 X 1 X 1，x 2是函数y — X X 1 叽 m ，但函数 X 1 x 2 3x 2在 X 1 处无定 义。 ^x 2 3x 2不存在。 X 1 X 1 是函数y 严厂 的可去间断点，X 2是函数 1. y X （X 2）3 解： x 2 0，x 2 求函数的间断点，并判断其类型 2是函数y x （X 2） 3 的间断点 2. y X 1 X 2 3X 2 3X 2的间断点。

函数的连续性极其性质

了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个例子： 已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我 们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当 时，成立，则称函数当时为无穷大量。 记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函 数当x→∞时是无穷大量，记为：。 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量. 记作：(或) 注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。 定理二：无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量. 无穷小量的比较 通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

(整理)闭区间上连续函数的性质

§4.2 闭区间上连续函数的性质 一、 性质的证明 定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从 而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间

浅论闭区间上连续函数的性质.doc

浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义. 称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）, 2X（） B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称 f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| < 若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.

高数闭区间上连续函数的性质教案

第17、18课时： 【教学目的】 1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 2、 熟练掌握零点定理及其应用。 【教学重点】 1、介值性定理及其应用； 2、零点定理及其应用。 【教学难点】 介值性定理及其应用 §1. 10 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有 f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )), 则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）. 例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x . 又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值. ?????≤<+-=<≤+-==2 1 31 110 1)(x x x x x x f y . 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 二、零点定理与介值定理 零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点. 定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0. 定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值 f (a )=A 及f (b )=B ,

连续函数的性质1

§2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨 论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 一 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据 函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态． 定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界． 定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正 数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）. 注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r = 则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02 1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,?±(这里 ()00≠x g )也都在点0x 连续． 以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得． 对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数 ()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()() x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的． 同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点 都连续． 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点

求函数的连续区间

求函数的连续区间，并求极限 1. 2 31)(2 +-= x x x f ，)(lim 0 x f x → 解： 0232 ≠+-x x 0)2)(1(≠--x x 1≠x ，2≠x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数2 31)(2 +-= x x x f 的连续区间是),2()2,1()1,(+∞??-∞ 231lim )(lim 2 0+-=→→x x x f x x 把0代入式 231 lim 2 0+-→x x x ，解得 2 12 31lim 2 0= +-→x x x 2. x x x f ---= 81)(，)(lim 5 x f x → 解： 01≥-x ，1≥x 08≥-x ，8≤x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数x x x f ---= 81)(的连续区间是]8,1[ x x x f x x -- -=→→81lim )(lim 5 5 把5代入式 x x x -- -→81lim 5 ，解得 3281lim 5 - =---→x x x

3. )1ln()(2x x f -=，)(lim 2 1 x f x → 解： 012 >-x ，11<<-x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数)1ln()(2x x f -=的连续区间是]1,1[- )1ln(lim )(lim 2 2 12 1x x f x x -=→ → 把 2 1代入式 )1ln(lim 2 2 1 x x -→ ，解得 43ln )1ln(lim 2 2 1=-→ x x 4. x e x f -=1)(，)(lim 1 x f x -→ 解： 01≥-x e ， 0≤x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数x e x f -=1)(的连续区间是]0,[-∞ x x x e x f -=-→-→1lim )(lim 1 1 把1-代入式 x x e --→1lim 1，解得 1 1 11lim --→-=-e e x x

连续函数及连续函数的性质

连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 一． 连续函数概念 已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a x =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。 用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x 将（1）式极限改写为、 0)]()([lim =-→a f x f a x （2） 设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=? y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0 =??→?y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==- + →→a f a f x f a f a f x f a x a x

闭区间上连续函数性质证明

§2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。 在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{} b a x x U H x ,);(∈''='δ, 显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有 ().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i k i M M ≤≤= 则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤?δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,?．由致密性定理，它含有收敛子列{} k n x ，记ξ=∞ →k n k x lim 。由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得 () ()+∞<=∞ →ξf x f k n k lim 另一方面，由n x 的选取方法又有()() +∞=?+∞→≥>∞ →k k n k k n x f k n x f lim 与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值． 证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令

求函数的连续区间

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续 的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基

本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量

闭区间上连续函数的性质答案

高等数学II 练习题 第二章 极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题2.6 闭区间上连续函数的性质 一．选择题 1．若1,1 ()1, 1x x f x x +≠?=? =?，则下列说法中正确的是 （ B ） （A ）()f x 无间断点 （B ）()f x 只有一个间断点 （C ）()f x 只有2个间断点 （D ）()f x 只有3个间断点 2．若函数ln 1()sin ,12 x x f x a x x π ≥?? =?

多元连续函数的性质

毕业论文 题目：多元连续函数的性质 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 毕业年限：2012.6 学生姓名：马骥 学号：200871010428 指导教师：张春霞

多元连续函数的性质 马骥 （西北师范大学 数学与信息科学学院,甘肃 兰州 730070） 内容摘要:本文通过将一元连续函数在闭区间上的性质和二元连续函数在有界闭区域上的性质推广到 多元连续函数的性质. 我们一般可把区域分为有界区域和无界区域．本文分别探讨了多元连续函数在有界区域和无界区域上的性质，并得出一系列的结论．对于有界区域D ，对任意0P D ∈， 任意{}n P D ?，0n P P →时，lim ()n n f P →∞ 存在，则函数f 在D 上有界，取得最大、最小值，一致连续．对于无界区域D ， 如果存在0r >,对任意P D ∈，P r >时，有()f P M ≤，则f 在D 上有界；若lim ()P f P →∞ =+∞， 则取得最小值；若lim ()P f P →∞ =-∞，则取得最大值．本文分别运用了区域的道路连通性和有界闭区域 完全覆盖原理两种方法证明了零点存在性定理，然后用零点存在性定理证明多元连续函数的介值性． 关键词:有界区域；无界区域；有界性；最值性；介值性；一致连续性 Properties of the Multivariate Continuous Function Abstract ：This paper popularize the properties of the continuous function of one variable or two variables on closed interval with bound to the multivariate continuous function. Generally, the domain can be divided into two kinds: the bounded domain and the unbounded domain. This paper discusses the properties of the multivariate continuous function on the bounded domain or the unbounded domain and draws a series of conclusions. On bounded domain D , for any 0P D ∈, any {}n P D ?, if lim ()n n f P →∞ exists while 0n P P →,then function f is bounded and uniformly continuous , and exist maximum and minimum value . On unbounded domain D , there is 0r > and for any P D ∈, P r > ,if ()f P M ≤,then the function f is bounded; if lim ()P f P →∞ =+∞, then the function f can get the minimum value; if lim ()P f P →∞ =-∞, the function f will get the maximum value. This paper applies road connectivity and complete coverage theorem on closed domain with bound respectively to proof of zero point theorem, then applies zero point theorem to proof of intermediate value theorem of the multivariate continuous function. Keywords ：Bounded domain ；unbounded domain ；boundedness ；maximum and minimum value ； intermediate-value property ；uniformly continuous

分段函数的连续性

分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 2 1)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ，

（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．

连续函数性质

连续函数的主要性质 若函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点0(,)x a b ∈都连续，即在每一点0(,)x a b ∈都有 0lim ()()x x f x f x →= 则称函数()f x 在开区间(,)a b 内是连续函数(图1-17)。而称函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续函数，除了它在开区间(,)a b 内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]: () lim ()()x a x a f x f a +→>=(右连续) 和 () lim ()()x b x b f x f b -→<=(左连续) 在定义域上连续的函数简称为连续函数。读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。从几何上说，区间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线。 根据函数极限的运算规则，能够很容易地证明下面的结论。 定理1-5 若函数()f x 和()g x 在点0x 都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分母在点0x 等于0]在点0x 也都是连续的。特别，常数λ与函数()f x 的乘积()f x λ在点0x 当然也是连续的。 证 证明是简单的。譬如，因为 []000 00lim ()()()lim ()0()lim ()() x x x x x x f x f x f x g x g x g x g x →→→==≠ 所以商 () () f x g x 在点0x 是连续的。 根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数。 函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算。例如，函数2 x a [注意， 22 ()x x a a =，不是22()x x a a =]是由简单指数函数u a 和幂函数2x 复合而成的复合函数。再 如，log a 是由简单对数函数 log a u 、幂函数12u v ==和简单三角函数sin v x =，依次复合成的复合函数。 一般地，若函数()f u 定义在区间,A B 上，而函数()u u x =定义在区间,a b 上，且函数()u x 的函数值在区间,A B 上，则函数[()]f u x 就是定义在区间,a b 上的函数。称它 图1-18 x 图1-17

连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质

第六讲 Ⅰ 授课题目： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质 Ⅱ 教学目的与要求： 1明确初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性求函数的极限。 2掌握闭区间上连续函数的性质 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：会利用初等函数求函数的极限及介质定理 难点：介值定理的应用 Ⅳ 讲授内容： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 若)(x f 和)(X g 在点0X 连续，则它们的和（差）g f ±，积f g ?及商g f （当连续时）都在点0)(00x g x ≠ 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的 反函数)(1y f x -=也在对应的区间{}x x I x x f y y I ∈==),(|上单调增加（或单调减 少）且连续。如sin y x =与arcsin y x = 定理3 设函数??)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00 )(g f d x U ?? 若0)(lim 0u x g x x =→，而函数)(u f y =在0u u =连续，则[])()(lim )(lim 000u f u f x g f u u x x ==→→ 例3 求93lim 23--→x x x 解 932--=x x y 可看作由u y =与9 32--=x x u 复合而成，因为6193lim 23=--→x x x ，而函数u y =在点6 1=u 连续，所以 9 3lim 23--→x x x =93lim 23--→x x x =6661= 定理4 设函数??)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00 )(g f d x U ??若函数)(x g u =在0x x =连续，且00)(u x g =，而函数)(u f y =在0u u =连续，则复合函数??)(x g f y =在0x x =也连续。 三、初等函数的连续性： 结论1 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 结论2 一切初等函数在其定义域内都是连续的

闭区间上连续函数的性质

浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学 04级数统基地班 黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间[]b a ,上的连续函数()x f 的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点()()()()()()()+∞<<∞-b f a f b f b a f a ,,,,上,形成一条封闭的曲线,即与直线0,,===y b x a x 形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义. .)()(),[,0,0,)(.)()(],(,0,0,)(.)()(),(,0,0,)(),()(lim ,)(00000000000000 εδδεεδδεεδδε<-+∈>?>?=<--∈>?>?=<-∈>?>?==→x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x U x x x f x f x f x x x f x x 时有当如果右连续在称时有当如果左连续在称时有当附近有定义在即如果连续在称 若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连

闭区间上连续函数的性质答案

1 / 2 高等数学II 练习题 第二章 极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题2.6 闭区间上连续函数的性质 一．选择题 1．若1 ,1()1, 1 x x f x x +≠?=? =?，则下列说法中正确的是 （ B ） （A ）()f x 无间断点 （B ）()f x 只有一个间断点 （C ）()f x 只有2个间断点 （D ）()f x 只有3个间断点 2．若函数ln 1()sin ,12 x x f x a x x π ≥?? =?