中考数学 第4讲 二次根式复习教案 (新版)北师大版

第4讲 二次根式

教学目标：

1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a )2

＝a (a ≥0)； 2．能用二次根式的性质a 2

＝|a |来化简根式； 3．能识别最简二次根式、同类二次根式；

4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算． 教学重、难点：

重点：熟练掌握二次根式的运算．

难点：用二次根式的性质a 2＝|a |来化简根式． 教学准备：多媒体课件 教学过程：

一、开门大吉，课前热身

活动内容：课前热身习题

1、（2014?山东烟台）在函数y =中，自变量x 的取值范围是 ．

2、如果a a 21)12(2

-=-，则（ ）

A ．21<

a B ．21≤a C ．21>a D ．2

1≥a 3、下列二次根式：

1,,8,2

1

22+x x x ，其中最简二次根式是 ． 4、（2014?孝感）下列二次根式中，不能与

合并的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5、（2014?山东聊城）下列计算正确的是（ ）

A ．=． D

6=

（2014?湖北荆门）计算：4(０

． 处理方式：利用cctv 主要节目名称引入，容易让学生在轻松的心态中进入学习状态，

课前热身习题也可以提前让学生做完，上课之初找学生对答案．

设计意图：一提到二次函数，大多学生都胆怯.为了让学生克服这种畏惧感，树立自信心，本节课一开始先让学生做几道最基本的题目，为即将的复习做好热身.

二、焦点访谈，要点回顾

活动内容：二次根式相关知识点梳理

1、概念：式子a（）叫做二次根式

①次根式a必须注意a___0这一条件，其结果也

是一个非数即：a___0．

a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式.

2、二次根式的性质：

①（a）2= （a≥0）②

()

()

a

a

a

?

==?

-

?

= （a≥0 ,b≥0）= (a≥0，b≥0)

二次根式的性质注意其逆用：如比较23和a）2=a(a≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小．

3、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：

①被开方数的因数是，因式是整式；②被开方数不含的因数或因式．

4、二次根式的运算：

①二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同．

②二次根式的乘除：

= （a≥0 ,b≥0）（a≥0，b＞0）

③二次根式的混合运算顺序：先算再算最后算

注意：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：

= = ；

2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用；

3、二次根式运算的结果一定要化成 ．

处理方式：学生依次回答，教师利用ppt 显示知识点，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调．

设计意图：复习要回归到课本基本知识，对知识点的梳理必须要认认真真完成不可一笔带过，学生能力的提升是在基础扎实的基础上实现的.

三、共同关注，考试要求 活动内容：关注考试要求

1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a )2

＝

a (a ≥0)；

2．能用二次根式的性质a 2

＝|a |来化简根式；

3．能识别最简二次根式、同类二次根式；

4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算． 处理方式：多媒体出示考试要求，学生诵读．

设计意图：站在中考的高度，让学生明确本课的考试要求，这样既引起了学生的重视，又能给学生起到很好的导航作用，复习就有了明确的目标.第6点是老师增加上去的，因为几乎每年的压轴题，都是与二次函数有关的综合问题，这往往也是学生们丢分最多的,在此让优秀生们引起注意

四、国宝档案，考题再现

活动内容：中考试题再现 二次根式有意义的条件 例1 已知： 33124+-+-=

x x y ，则

变式训练：（2014?甘肃白银）已知x 、y 为实数，且49922+-+-=x x y =则x

﹣y = ．

二次根式的化简

例2 （2014?黔南州）实数a 在数轴上的位置如图，化简=+-a a 2

)1( ．

变式训练: 把二次根式( )

A ．－a

B ．－－a

C ．－a

D ．a 最简二次根式

例3 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A ．2x 2

B ．b 2

＋1 C ．4a D ．1

x

二次根式的计算

例4 已知x 1

x 2

x 12

+x 22

= ． 变式训练：计算：(－3)0

－27＋|1－2|＋13＋2

例

5阅读下列材料，然后回答问题：

还可以将其进一步化简：

=

=

=

)2

21

2

1

11

?

=

=

- (Ⅲ)

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

2

211

1

1-=

=

=

(Ⅳ)

(1)

①参照(Ⅲ)_______；

②参照(Ⅳ)

_______．

(2)

+???

． 处理方式：师生共同完成，学生讲解，不足之处其他同学补充，个别的教师点拨，规范解题思路及步骤

设计意图：通过做全国各地中考真题，让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.

五、回声嘹亮，课堂小结

活动内容：总结本节课所学内容

1、本机可你有哪些收获，对二次根式又有了哪些新的认识？

2、还有哪些内容需要你刻下加强的？

设计意图：培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆．

六、状元360，挑战自我 活动内容：课堂检测题

1．函数y 1

3

x -中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ．x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3

2．若a ＜11＝（ ）

A ．a ﹣2

B ．2﹣a

C ．a

D ．﹣a .

3的结果是( )

A ．3

B ．－3

C ．

4= 27－12＋4

3

＝____

5．已知22a b ==试求：

a b

b a

-的值．

6．计算：÷ 设计意图：通过学生独立对随堂练习的解答，及时发现问题、解决问题，让学生熟练解决二次根式的相关问题．

七、分层作业，强化目标

必做题：中考复习丛书P 18 第11，12，13题． 选做题：中考复习丛书P 18 第14题．

设计意图：作业的设计突出层次性，满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备． 板书设计：

中考数学第一章数的开方与二次根式复习教案新人教版

章节 第一章 课题 数的开方与二次根式 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、 立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二 次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式， 能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会 进行简单的分母有理化。 教学重点 使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点 二次根式的化简与计算. 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数 有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；

②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）23x -+； （2）211x x -+； （3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

-人教版第十六章二次根式教案

第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？

2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思

二次根式章节复习教案

第16章 二次根式复习课 【教学目标】 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【教学重点】含二次根式的式子的混合运算． 【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 【教学方法】典例解析法 【教学过程】 【知识回顾】 ( 填空形式，学生口答) 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。（当a ≥0时，a ≥0；当a ≥0时，a 在实数范围内有意义。） 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） ==a a 2 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算： b a ?=ab （a ≥0,b ≥0）； ()0,0>≥=b a b a b a 【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

【例题讲解】 例1 1.使2x -有意义的x 的取值范围是 ． 2.中，的取值范围是 ． 分析：第2题的分子是二次根式，分母是含x 的多项式，因此x 的取值必须使二次根式 有意义，同时使分母的值不等于零。 例2下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.21a + B.12 C.8 D.27 分析：B 选项根式被开方数中中含有分母，CD 选项中含有能开得尽方的因数（或式）。 例3下列各式中与 是同类二次根式的是（ ） A ．2 B ． C ． D ． 分析：判断是否是同类二次根式前，要对每个根式进行化简。 例4 计算：（1）2)3(= ； （2）()24-=_________。 分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。 例5化简：（1）72=__ __； 61218??=___ _；（2）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； 分析：逆用二次根式乘除法公式结合二次根式的性质可直接得到结论。 例6 计算：（1）12+18－8－32 （2）＝________； （3） ； 分析：第1小题首先要将它们化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。第2题即可以先算括号里的运算，也可以用乘法的分配律展开来计算。第3题利用平方差公式运算简单。

二次根式章节复习教案(20200916115307)

第16章二次根式复习课 【教学目标】 1. 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子; 2 ?熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 【教学重点】 含二次根式的式子的混合运算. 【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 【教学方法】典例解析法 【教学过程】 【知识回顾】( 填空形式，学生口答) 1. 二次根式： 式子.a ( a >0)叫做二次根式。(当a > 0时，..a > 0；当a > 0时, a 在实数范围内有意义。) 2. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ；⑵被开方数中 不含分母；⑶分母中不含根 式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： (1) ( a ) 2 =a ( a > 0)； 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运 算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算: 掐？祁￡ = 3匕(a > 0,b > 0) ； a 卑 a 0,b 0 \ b Vb 【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间 的联系，掌握 注意的地方，加深对知识的全面理解。 例1 1.使 有意义的的取值范围是 _________________ (2) .. a 2 a ■ a ( a > 0) 0 ( a =0)； a ( a v 0)

分析：第2题的分子是二次根式，分母是含 有意义，同时使分母的值不等于零。 例2下列根式中属最简二次根式的是（ A.~1 B. ￡ C. 分析：B选项根式被开方数中中含有分母，的取值范围是______________ . x的多项式，因此x的取值必须使二次根式）.8 D.27 CD选项中含有能开得尽方的因数（或式）< 2. 中,

八年级数学上册第二章实数7二次根式教案(新版)北师大版

八年级数学上册第二章实数7二次根式教案（新版）北师大版 一、学生起点分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材任务分析 本节分为三个课时．第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7， 121 49，))((b c b c -+（其中b =24，c =25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 介绍二次根式的概念．一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式．a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

024.北师大版八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简(教案)

2.7二次根式 第1课时二次根式及其化简 教学目标 1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点) 教学过程 一、情境导入 问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？ (2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14) 上述结果有什么共同特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的相关概念 【类型一】二次根式的定义 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)2；(2)4；(3)3 3；(4) 1 x＋y ； (5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8； (7)－x2－12. 解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是． 方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件 当x________，x＋3＋ 1 x＋1 在实数范围内有意义． 解析：要使x＋3＋1 x＋1 在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． 探究点二：二次根式的性质及化简 化简下列二次根式． (1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)； (3)（－36）×169×（－9）. 解析：本题主要考查运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．

人教版第十六章二次根式教案

第十六章二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2a和2a所含运 算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a有意义的条件. 2.a≥0时a≥0的应用. 3.()2a和2a的运算、化简 教学难点： 当a<0时2a的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： h 65，S，2， 5 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意

义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0， a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义 的情况下，其运算结果是怎样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？ 1、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______. 2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方 再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子( )2a -()2 c 与式

二次根式复习教案

课 题 二次根式单元复习 教 学 目 标 1、掌握二次根式的知识结构，理清要点； 2、掌握二次根式的基本运算法则，会二次根式加减乘除运算； 3、进一步加强训练，提高处理问题的能力； 教 学 重 点 掌握知识结构和方法体系 教 学 难 点 掌握方法体系 教 具 学 具 多媒体课件 教 学 内 容 及 教 师 活 动 二次备课 一、知识结构 （一）三个概念 1、二次根式 我们把形如____________（ ）的式子叫做二次根式。 2、最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）根号内不含分母，分母中不含根号。 化简二次根式的常用的方法有：运用性质化简、分解开方和分母有理化法。 a 的有理化因式是_____， a + b 的有理化因式是______，a b +的有理化因式是______ 3、同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式 (二)、三个性质 1、二次根式的双重非负性:二次根式0a ≥中被开方数a 是非负数，即a ≥0，二次根式 0a ≥ 本身也是非负数，即0a ≥。 2、根的方。)0(,)(2≥=a a a 3、方的根。?????<-=>==) 0(,)0(,0) 0(,2 a a a a a a a (三)、三类运算 二次根式乘法法则a b ab ?=（a ≥0，b ≥0） 二次根式除法法则a b a b ÷=÷（a ≥0，b ＞0） 注意：这两个法则的等号从左到右和从右到左双向都成立。 二次根式的加减： 先把所有二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，类似于合并同类项。

二次根式教案

浙江版数学八年级下教案一一第一章《二次根式》 §二次根式 教学目标： 1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念； 3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。 重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解, 是本节教学的难点。 教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图， 按教材的步骤进行 教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程： 一、引入（合作学习）： 根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的斜边长是___________________ ；正方形的边长是___________________ 等边三角形的边长是______________ 。 首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么 1、表示的是算术平方根； 2、根号内含有字母的代数式。 在学生自主学习的基础上，要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3,等边 三角形的边长为.2S，—些学生会采用教材中以下的答案抄写，而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答，鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法，即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的 方法或利用公式S正=-!a2 （a为该三角形的边长）的方法得到。 4 补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式 7；2；y ；x2y2; 3 ；■■■ a ；. a （a v 0 =； 二、新课讲授 1、二次根式的概念： （1）引导学生概括二次根式的定义：像W 4, ― ,J2S这样表示的算术平方根，且 根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如.亍〒） 也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。 （2）概念深化： 提问：a 1是不是二次根式?- 厂呢■ 9呢……学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学：.厂、.9是二次根式，而.a 1不是 二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于.2x2 2x . 3这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。

九年级数学数的开方与二次根式教案北师大版【教案】.doc

第 6 课数的开方与二次根式 〖知识点〗 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术 平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次 根式化简； 3. 掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母 有理化。 内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O． (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫 做最简二次根式． (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． ( a) 2 0); a(a a 2 | a | a(a 0), 2 ．二次根式的性质a(a 0); ab a b ( a 0;b 0); a a (a 0;b 0). b b 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．(2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 a b ab (a 0,b 0). 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法

二次根式复习课教案

二次根式复习课 崇礼初中初三数学备课组 复习内容 本节课是对二次根式进行系统的复习，巩固所学知识，提升应用方法。 复习目标 1．知识与技能：会理解二次根式的意义，会化简二次根式，会进行二次根式的乘除、加减混合运算 2．过程与方法：经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法 3．情感、态度与价值观：培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神。 复习重点、难点、关键 重点：二次根式的化简以及运算。 难点：二次根式的性质及运算法则的正确使用。 关键：充分理解二次根式的概念，运用知识迁移的手法，休会二次根式的混合运算的算法。 复习过程设计 一、复习 1.请同学回忆： （1） 二次根式：a (a ≥0)的式子：() a a ；a a ==2 2 ||（a ≥0） （2） 运算法则：二次根式的计算有二次根式的乘法、除法及加减法。 乘法：b a ab ?=（a ≥0，b ≥0） 除法： b a b a = （a ≥0，b>0） 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时要考虑字母的取值范围，运算结果化成最简二次根式 2.二次根式的运算主要研究二次根式的乘除和加减，对于二次根式的加减，

关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。 注意：二次根式运用算结果应尽可能化简 （1）．二次根式的化简必须满足：A.被开方数不含分母；B.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. （2）.二次根式的加减:即合并同类二次根式.同类二次根式必须满足:A.都是最简二次根式,B.它们的被开方数必须完全相同. 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．

二次根式全章教案(湘教版八年级下册)

4.1 二次根式和它的化简（第一课时）教学内容：二次根式的概念及其运用 教学目标： a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2 （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图像 在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．B A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ． 问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 S= 二、探索新知

都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， （a ≥0）?的式子叫做二次根式，” 称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略） 例11 x （x>0）、 、1 x y +、x ≥0，y?≥0）． 分析；第二，被开方数是正数或0． （x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的 1x 、1x y +． 例2．当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 13 当x ≥1 3 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：11x +在实数范围内有意义，0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010 x x +≥?? +≠? 由①得：x ≥-3 2 由②得：x ≠-1 当x ≥- 32且x ≠-11 1 x +在实数范围内有意义．

(完整word版)中考数学复习《1.3数的开方与二次根式》教案北师大版

章节 第一章 课题 辽宁省丹东七中中考数学复习《1.3 数的开方与二次根式》教案北师大 版 课型复习课教法讲练结合 教学目标（知 识、能力、教育） 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、 立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二 次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式， 能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会 进行简单的分母有理化。 教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点二次根式的化简与计算. 教学媒体学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x2=a，那么x叫做a的。一个正数有个平方根，它们互为； 零的平方根是；没有平方根。 （2）如果x3=a，那么x叫做a的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①2 0, a≥= 若则(a)；③ab=(0,0) a b ≥≥ ②2 () () a a a a ? ==? - ? ；④(0,0) a a a b b b =≥f （5）二次根式的运算

①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥f ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义

【教案参考】《二次根式》全章复习与巩固

《二次根式》专题 第四讲：《二次根式》全章复习与巩固 一、 化简 1、无条件的（所有字母取正数） 348m n ②2296x xy y ++ ③2(223)12-+- 2、有附加条件的 212a (0)a ＜ 25(03)x x -（2x+1）＜＜ 3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围） ①22(1269x x x --+ ② 31a a -- 4、 需要分类讨论的 298m 22(1)(2)m m +- 二、 因式分解（实数范围内）

①44a a + ②232)6x x + ③2 22215x x +- 三、解方程（组） ①2253x x = ②236326 x x ?-=??+=?? 四、填空 1、20072008(23)32) = 223-x ，小数部分为y ，则32x y += 3、①20( 45(5132+=- ②127(23)3-??=?? 41514 1413- 5、?ABC 的三边长为a 、b 、c 22 ()()a b c a b c --+-=

6242x x =-成立的条件是 2233x x x x --=--成立的条件是 7)()()()())()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ?-==-+-=?+?=+ 哪个对？ 五、计算技巧： 1336=- 2757575=- 3、 25552525=-- 4、化简 b ab b a ab a -++ 5、化简(ab b ab a b a ab ÷-+

6、已知a+b=-3,ab=1,求 a b b a 的值. 7、如图所示，有一块边长为1的正方形铁片，将其每个角都剪下一个小等腰三角形，使其成为每条边都相等的八边形，求这个八边形的边长，你能将其结果写成没有分母或分母不带根号的形式吗？ D C B A

北师大版八年级数学上册《二次根式的加减》教案1

《二次根式的加减法》教案 教材分析 学生已学过同类项、合并同类项、二次根式等概念，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用. 学习目标 知识目标： 1、理解同类二次根式的概念，会合并同类二次根式. 2、理解二次根式的加减法法则，并能熟练地进行二次根式的加减法运算. 能力目标：培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握运算法则. 情感目标：通过合作学习，激发学生的学习兴趣，体验成功. 教学重点和难点 重点：(1)同类二次根式的概念；(2)二次根式的加减法法则． 难点：二次根式的加减法运算． 教学方法 启发式、讲练结合． 学习过程 一、复习导入 1、什么是同类项？ 2、合并同类项的法则？ 3、计算：(1)2x -3x +5x (2)2a 2b –3a 2b + b a 23 2 4、二次根式的化简： (1)积的算数平方根法则. (2)商的算数平方根法则. 教法说明：注重将新知识与旧知识进行联系与对比. 二、自主学习、合作探究 1、同类二次根式的概念： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的被开方式相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式.(类比同类项) 判断同类项时，只与含有相同字母、相同字母的指数相同有关，而与系数和字母的排列顺序无关.

判断同类二次根式时，只与被开方式及根指数有关，而与根号外的因式无关. 有效训练1: 1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式： (1)2322与 (2)32与 (3)205与 (4)1218与 2、合并同类二次根式的法则，(类比合并同类项的法则) 合并同类项的法则：系数相加减，字母与字母的指数不变. 合并同类二次根式的法则：将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方式不变. 有效训练2： 计算课本P44例4. 教法说明：从学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识写出问题的答案并化简，分析所得结果在表达式上的特点，由此引入同类二次根式的概念. 三、精讲点拨 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断. 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并. 教法说明：学生用充足的时间讨论，并思考同类二次根式应满足的条件.根据总结出的条件，对是同类二次根式的式子进行正确的运算. 四、巩固练习： 学生小组讨论同类二次根式的概念和合并法则，并完成练习 1、课本P46例6. 2、课本P48习题2.11. 教法说明：对于同类二次根式的一些问题，让学生参与思考、探索、类比、掌握合并同类项的法则. 五、课堂小结 (1)同类二次根式的概念. (2)合并同类二次根式的法则.

二次根式复习教案及反思

二次根式复习教案及反思 二次根式是数学教学中的重要内容，在复习的过程中，做好复习教案及反思很重要。下面是为你带来《二次根式》复习教案及反思，希望大家喜欢。 一、教学内容与学情分析 1.本课在教材、新课标中的地位与作用 本课内容是二次根式章节的复习课，是学生在学完新人教版八年级教材下册第十六章后的一个总结复习。二次根式是初中数学知识体系与结构中一个不可或缺的部分，是中考直接考查的一个重点内容。本课复习内容的教学将让学习更为系统地认识二次根式，并在学习新知的基础上得到一个升华。同时也是为了学生能够在下一张勾股定理以及九年级的解直角三角形学习中打下一些有效的基础。 关于二次根式在《数学课程标准》中提出要求： 1.了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则; 2.会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化); 在本章内容新授过程中，教师更多的关注了学生对概念及运算法则的讲解，对方法、技巧、能力等各方面并没有对学生作出更高的要求，同时学生本身在学习新课知识时，也是一种模糊的感觉。对课程标准提出的第2点：会用它们进行有关实数的简单四则运算并不能很有效的完成。而本节复习课的教学将给学生一个巩固提高的机会，让

大多数学生能加深对二次根式的运算的理解，同时更是为学生掌握更多的学习方法、学习技巧，提高学生的能力提供机会。彻底地贯彻课程标准所提出的要求，完成九年级学生应完成的任务。 2.本课知识点与前后知识点的联系 本课内容是综合性复习，所讲知识点学生基本都熟悉，只不过是没有真正的理解透彻，甚至有些学生可能都已经有部分渐渐淡忘。本节内容的教学其实从本质上讲就是为学生理清知识点，建立一个完整的知识体系与结构。把已学知识系统、全面地呈现在学生的面前，同时也是为了让学生能够对二次根式的理解与运算真正落实到位作出努力。 其实，本课内容的教学不单单是为了复习巩固，更重要的是让学生对本章的知识在初中数学教材中明确地位与作用，让学生感受本章知识的重要性，为即将学习后面的知识做好铺垫工作。 3.学生已有的知识基础 由于新课内容结束离综合性复习时间较长，可以说大多数学生对本章的知识并不是非常熟悉，但学生已具备的知识基础从理论上讲应该是完全具备的，只不过需要一个回顾的过程。同时，随着知识面的拓广以及一些章节中对二次根式的应用，逐步让学生对二次根式这一章的内容也有了更多的认识。在复习时，学生应该说还是很易于接受的。 4.学生学习新知的障碍 在学生已有的知识基础上，本节课的教学其实更主要的是经历回

二次根式复习课教案

精锐教育学科教师辅导讲义 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T(二次根式) C（二次根式）C（二次根式的水平）授课日期即时段 教学内容 一、同步知识梳理 二次根式 知识点1、二次根式的概念：形如a (a≥0) 的式子叫做二次根式。 知识点2、二次根式的性质： 1.= 2 ) (a a （a≥0）, 2. a≥ 0(a≥0) 3. ? ? ? ? ? < = > = = )0 ___( )0 ___( )0 ___( ____ 2 a a a a 知识点3：二次根式的乘除： 1.计算公式：二次根式乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)． 二次根式除法法则： a b ＝ a b(a≥0，b＞0)． 2.化简公式： ? ? ? ? ? > ≥ = ≥ ≥ = ? )0 ,0 ___( )0 ,0 ___( b a b a b a b a 知识点4：二次根式的加减： 1.法则：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把二次根式分别合并，合并时，仅合并同类的二次根式，不是同类二次根式不能合并。

2.概念：???同类二次根式： 最简二次根式： .2.1 注：最简二次根式必须同时满足条件： 1．根号中不含开方开得尽的因数或因式； 2．根号中不含分母； 3. 分母中不含根号。 二、同步题型分析 考点1、二次根式的意义及性质 1、在函数y= 2 121- -x x 中，自变量的取值范围是 A. x ≠ 21 B.x ≤21 C.x ﹤21 D.x ≥2 1 考点：函数自变量的取值范围 分析：此立函数自变量的取值范围是1-2x ≥0 和x-21 ≠0 同时成 解答： 1-2x ≥0且x-21≠0 解得：x ﹤21 点评：此题考查了学生对函数自变量的取值范围待掌握：为整式时取一切实数，是分数时分母不能为零，是二次根式 时被开方数为非负数 变式训练、 1、若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ． x ＜2 B ． x ≤2 C ． x ＞2 D ． x ≥2 答案：D 考点2、二次根式的相关概念 1、下列各组根式中，属于同类二次根式的是 （ ） A ．3和18 B ．3和1 3 C ．a 2b 和ab 2 D ．a ＋1 和a －1 考点：同类二次根式 解答：B 2、化简后，根式 b －a 3b 和2b －a ＋2 是同类根式，那么a =_____，b =______. 考点：同类二次根式以及二次根式的书写

第二十一章 二次根式教案

《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）

北师大版-数学-八年级上册-八年级数学上册 2.7 二次根式教案 (新版)北师大版

第二章 实数 §2.7 二次根式 教学目标 (一)知识目标: 1.式子b a b a ?=? (a ≥0,b ≥0)；b a b a = (a ≥0, b ＞0)的运用. 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算. (二)能力训练目标: 1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算. 2.让学生根据实例进行探索，互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力. (三)情感与价值观目标: 1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值. 教学重点 1.两个法则的逆运用. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问题. 教学难点 灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算. 教学过程 一.导入新课 请大家先回忆一下算术平方根的定义. （若一个正数x 的平方等于a ，则x 叫a 的算术平方根.） 下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.

问：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .请同学们互相讨论后得出结果. （由正方形面积公式得a 2=8,b 2=2.所以大正方形边长a =8，小正方形边长b =2.） 问：那么a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线. （大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以8=22.）那么8根据什么法则就能化成22呢？这就是本节课的任务. 二.新课讲解 请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ （b a b a ?=? (a ≥0,b ≥0)；b a b a = (a ≥0, b ＞0) ） 请大家根据上面法则化简下列式子. (1)33?； (2)42?；(3)273 ；(4)12253?. 解：(1)3333332==?=?；(2)84242=?= ?； (3)319127327 3===；(4)254251225312253==?=?. 请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推 （.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.） 确实成立.下面再分析这些式子： .1225312253)4(;273273)3(;224242)2(;3333)1(? =?==?=??= ? 并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.大家能否用式子表示出来？ 小结：b a b a ?=?（ a ≥0,b ≥0）b a b a = （a ≥0, b ＞0.）