2011届高考数学权威预测：30三角恒等变形及应用
三角恒等变形及应用
一．【课标要求】
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
二．【命题走向】
从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力
三．【要点精讲】
1．两角和与差的三角函数
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
。
2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =；
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan α
αα
=
-。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
（1）降幂公式
ααα2sin 21cos sin =
；22cos 1sin 2αα-=；2
2cos 1cos 2αα+=。 （2）辅助角公式
()sin cos sin a x b x x ?+=+，
sin cos ??=
=
其中
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用
三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
四．【典例解析】
题型1：两角和与差的三角函数
例1．已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。 分析：因为）（βα+既可看成是的和，也可以与βα看作是
2
β
α+的倍角，因而可得到
下面的两种解法。
解法一：由已知sin α+sin β=1…………①， cos α+cos β=0…………②，
①2＋②2得 2+2cos 1=-）（βα； ∴ cos 2
1
-=-）
（βα。 ①2－②2得 cos2α+cos2β+2cos （βα+）=－1，
即2cos （βα+）〔1cos
+-）（βα〕=－1。 ∴()1cos -=+βα。 解法二：由①得12
cos
2
sin 2=-+β
αβ
α…………③
由②得02
cos
2cos
2=-+β
αβ
α…………④
④÷③得，02
cot =+β
α ()11
2
cot 1
2cot 2tan 12tan 1cos 2222-=++-+=+++-=+∴β
αβ
αβαβαβα 点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin α、cos α 、 sin β 、 cos β，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注
意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。
例
2
．
已
知
2t
a n t a n 56
x x αβ-+=，是方程的两个实根根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值
分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+?及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值
解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =?=+βαβα，， 所以tan ().16
15
tan tan 1tan tan -=-=?-+=
+βαβαβα
()()()()()()
2222
2sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111
αβαβαβ+-++?-?-+===+++
解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =?=+βαβα，
， 所以tan ().16
15
tan tan 1tan tan -=-=?-+=
+βαβαβα
()3
4
k k Z αβππ+=+∈于是有，
223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ?????
?=+-+++=++= ? ? ??????
?原式。
点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，
从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如
()()()()()()()()。
，，
，
βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos
题型2：二倍角公式
例3．化简下列各式：
（1）
????
?
???? ??∈+-ππαα2232cos 21212121，， （2）?
?
? ??-??? ??+-απαπα
α4cos 4cot 2sin cos 222。
分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2
α
ααα以及其范围不
难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角2
4
4
π
απ
απ
=
-+
+，若注意
到这两大特征，不难得到解题的切入点
解析：（1）因为
αααπαπcos cos 2cos 2
1
21223==+<<，所以， 又因
2
sin 2sin cos 2121243α
ααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2
sin α
。 （2）原式=
?
?
? ??-??? ??-=??? ??-??? ??-απαπα
απαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2
=
12cos 2cos 22sin 2cos ==??
? ??-αααπα。
点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种
形式的两个角的倍数关系，同时还要注意α
π
απα-+442，，三个角的内在联系的作用，
?
??
??±??? ??±=??? ??±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换。（2）化简题一定要找
准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用
的化简技巧。（3）公式变形
，αααsin 22sin cos =
22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2α
α-=。
例4．若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217
534cos 2-+<<=??
? ??+πππ。
分析：注意224442
x x x x ππππ
????=+-=+- ? ?????，及的两变换，就有以下的两种解法。 解法一：由
ππ
πππ24
35471217<+<< +=+=- ? ????? 又因， cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ????????=+-=+++= ? ? ??????????? sin tan 7.x x ==从而 2 2 221010102sin cos 2sin 28.1tan 1775 x x x x ????-?-+- ?+? ?????===---原式 解法二：()2sin cos 1tan sin 2tan 1tan 4x x x x x x π+?? = =-+ ?-?? 原式， 27 sin 2sin 2cos22cos 1424425x x x x ππππ??????????=+-=-+=-+-= ? ? ?????????????? ?而 sin 44tan 43cos '4x x x πππ?? + ? ????+==- ?????+ ??? ， 7428.25375 ??= ?-=- ???所以，原式 点评：此题若将 3cos 45x π??+= ???的左边展开成3cos cos sin sin 445x x ππ?-= 再求cosx ，sinx 的值，就很繁琐，把作为整体 x +4 π ，并注意角的变换2·， x x 224+=??? ??+π π运用二倍角公式， 问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函 数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角， 如()+ +=βαα2()βα-， ()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2， ()()()()αβαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，等。 题型3：辅助角公式 例5．已知正实数a,b 满足 的值，求a b b a b a 158tan 5 sin 5cos 5cos 5 sin ππππ π =-+。 分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方a b 程，从而可求出由a b ，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解 解法一：由题设得 ?=-+ π πππ 15 8cos 158sin 5sin 5cos 5cos 5sin a b a b .33t a n 515 8cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin 158cos 5cos 158sin ==??? ??-??? ??-=?+??-?=πππππππππππππa b 解法二：sin cos 5 55a b π π π??? +=+ ??? 因为， cos sin tan 5558tan tan . 51585153tan tan tan 33b a b a k k b k a ππ π??ππ?ππ?ππ?πππ?π?? -=+= ??? ?? += ???+=+=+? ?==+== ???，其中， 由题设得所以，即， 故 解法三：tan 8 5tan 151tan 5 b a b a πππ+ =-原式可变形为：， ()( )tan tan 85tan tan tan 5151tan tan 5 8,5153 tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k a π απααππαππ αππαπππαπ+??==+= ???-?+=+∈=+∈? ?=+=== ?? ?令，则有， 由此可所以，故 点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联 想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式()?ααα++=+sin cos sin 22b a b a ， tan b a ?? ?= ? ? ?其中，或sin cos a b αα+ ()tan a b α??? ?=-= ? ? ?，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。 例6．（2009江苏卷）函数sin()y A x ω?=+（,,A ω?为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .答案 3 解析 考查三角函数的周期知识 32T π=，2 3 T π=，所以3ω=， 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。 （2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? - ???? 上的最大值和最小值. 解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最 值等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==， ∴函数()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）由26 2 3 x x π π π π- ≤≤ ?- ≤≤ ，∴sin 212 x - ≤≤， ∴()f x 在区间,62ππ?? - ???? 上的最大值为1 ，最小值为2-. 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算 能力。 题型4：三角函数式化简 例7．求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值 解析：原式＝ 21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋2 1 （sin70°－sin30°） ＝1＋ 21（cos100°－cos40°）＋21 sin70°－4 1 ＝ 4 3－sin70°sin30°＋21 sin70° ＝ 43－21sin70°＋21 sin70°＝4 3。 点评：本题考查三角恒等式和运算能力。 例8 ．已知函数1) 4()cos x f x x π -= . （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α4 3 =-，求()f α的值 解析：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得()2 x k k Z π π≠+∈， 故()f x 在定义域为},,2 x x k k Z π π?≠+ ∈?? （Ⅱ）因为4 tan 3 α=- ，且α是第四象限的角, 所以sin ,cos ,55 αα=- = 故1) 4()cos f x π αα -= 12( 22)22cos ααα -= 1sin 2cos 2cos αα α -+= 22cos 2sin cos cos ααα α -= 2(cos sin )αα=- 145 = 。 题型5：三角函数求值 例9．设函数f (x )=3cos 2cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 6 x 。 （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f (x )在区间??? ?? ?- 65,3ππ上的最小值为3，求a 的值。 解析：（I ）1()2sin 2sin(2)23f x x x x a πωωαω=++=++ 依题意得 1 26 3 2 2 π π π ωω? + = ?= ． （II ）由（I ）知，()sin()3 f x x π α=++。 又当5[,]36 x ππ ∈- 时，7[0, ]3 6x π π+ ∈，故1sin()123 x π -≤+≤，从而()f x 在区间π5π36?? -???? ， 12a =-+ ，故a = 例10．求函数y ＝2)4 cos()4 cos(π π - +x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期 解析：y=cos(x+ 4π) cos(x －4π)+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6 π)， ∴函数y=cos(x+ 4) cos(x －4 )+3sin2x 的值域是[－2,2],最小正周期是π。 题型6：三角函数综合问题 例11．（2009江苏卷）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===- （1）若a 与2b c - 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c + 的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分 点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为0；2，特殊角的三角函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。 例12．设0<θ< 2 π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。 （1）求θ的取值范围； （2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围 解析：（1）解方程组???=-=+1sin cos 1cos sin 2222θθθθy x y x ，得???-=+=θ θθ θsin cos cos sin 22y x ； 故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为?? ?>->+0 sin cos 0cos sin θθθθ，（0<θ<2π ）?0< θ< 4 π 。 （2）设四个交点的坐标为（x i ，y i ）（i =1，2，3，4），则：x i 2+y i 2=2cos θ∈（ 2，2） （i =1，2，3，4）。 故四个交点共圆，并且这个圆的半径r = 2cos θ∈（2,24）. （2009上海卷文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 . 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b = ， (s i n ,s i n B A = ，(2,2)p b a =-- . （1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C = ΔABC 的面积 . 证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =?，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b = ABC ∴?为等腰三角形 解（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2224()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即 4(1)ab ab ∴==-舍去 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴= =??= 点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。 题型7：三角函数的应用 例13．有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积． 分析：本题入手要解决好两个问题， （1）内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理； （2）求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量 解析：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ， ， 。 又设矩形EFGH的面积为S，那么 又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时， 如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150° 设矩形的面积为S． 那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ) ＝2R2［cos(2θ－30°)－cos30°] 又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ－30°)＝1 。 五．【思维总结】 从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否。 1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点： （1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角 如()ββαα-+=，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等； （3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围 （5）化简要求 熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。 2．证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 3．解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化 4．加强三角函数应用意识的训练 1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。 5．变为主线、抓好训练 变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目 第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一 三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二 倍 角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门 八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限 三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式： 考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用 （1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、（二倍角公式）（2007文）下列各式中，值为 3 2 的是（ ） A ．2sin15cos15 B ．2 2 cos 15sin 15- C ．2 2sin 151- D ．22 sin 15cos 15+ 2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是 A.1 B. 1 2 C. 22 D. 32 3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于 A ．－1 2 B ．12 C ．－ 32 D ． 32 4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）. A ． s in45°cos15°+cos45°sin15° B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15° C ． cos75°cos30°+sin75°sin30° D ． 5、（拆角+两角和差公式）（一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式=- 5 cos 5sin 355cos 2（） A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．3 6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ） A ． 14 B ．18 C ．116 D ．1 32 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__. 7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为()A.1 2 B. 32C.3 4 D ．1 8．（诱导公式）【2015高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B A ．－ 12 B. 12 C 33 9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考，理12】=+ 75sin 15sin .. 10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________． 三角恒等变换讲义 一、【知识梳理】： 1．两角和与差的三角函数公式 2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 3．公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)/(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)/ (1＋tan αtan β)． (2)升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2. (3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2 . (4)其他常用变形 sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α ； 1±sin α＝? ????sin α2 ±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．辅助角公式 a sin α＋ b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2. 5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝????π4＋α－π4＝? ???α－π3＋π3. (2)互余与互补关系：例如，????π4＋α＋????3π4－α＝π，????π3＋α＋????π6－α＝π2 . (3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°. 三、方法归纳总结： 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等． 2．三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角 三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式： sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2 、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数: cos( a + 3)=cos a ? cos 3 -sin a ?sin 3 cos( a - 3)=cos a ? cos 3 +sin a ?sin 3 sin( a ±3 )=sin a ? cos 3 ±cos a ? sin 3 tan( a + 3)=(tan a +tan 3 )/(1-tan a ? tan 3 ) tan( a - 3)=(tan a -tan 3 )/(1+tan a ? tan 3 ) 三角和的三角函数： sin( a + 3 +Y )=sin a ? cos 3 ? cos 丫+cos a ? sin 3 ? cos 丫+cos a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? sin 丫cos( a + 3 + Y )=cos a ? cos 3 ? cos 丫-cos a ? sin 3 ? sin Y -sin a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? cos 丫 tan( a + 3 + Y )=(tan a +tan 3 +tan 丫-tan a ?tan 3 ? tan 丫)/(1-tan a ? tan 3 -tan 3 ? tan 丫-tan 丫? tan a ) 辅助角公式： Asin a +Bcos a =(A2+B2)A( 1/2)sin( a +t)，其中 si nt=B/(A2+B2)A(1/2) cost=A/(A2+B2)A(1/2) tan t=B/A As in a -Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( a -t) , tan t=A/B 倍角公式： sin (2 a )=2sin a? cos a :=2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cos2( a )- sin2( a )=2cos2( a )-仁1- 2sin2( a ) tan (2 a )=2tan a/[1- tan2( a )] 三倍角公式： sin (3 a )=3sin a-4sin3( a )=4sin a-sin(60+ a )sin(60- a ) cos(3 a )=4cos3( a )-3cos a =4cos a-cos(60+ a)cos(60- a ) tan(3 a )=tan a ? tan( n /3+a) ? tan( n /3-a) 半角公式： Sin( a /2)= ±V((1 -cos a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= ±V ((1 -cos a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a 降幕公式 sin2( a )=(1-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tan2( a )=(1-cos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)] cos a =[1- tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/[1- tan2( a /2)] 积化和差公式： 三角恒等变形及应用 一．知识点精讲 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2 2 2 2 s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=； 2 2tan tan 21tan ααα = -。 学习时应注意以下几点： （1）善于公式的正用 ,逆用，变形应用. sin(sin cos cos sin β αβαβα±=±； )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= ； ()()， αββαββαcos sin sin cos cos =+++ ()()βαβαβαt a n t a n t a n t a n 1t a n +=-+ （2）善于拆角、拼角 如()ββαα-+=,ββαα+-=)(，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22， ()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2等； （3）注意倍角的相对性.α2是α倍角 、α4是α2的倍角 、 α3是α2 3 的倍角 3.降幂公式 ααα2sin 2 1cos sin = ； 2 2cos 1sin 2 α α-= ； 2 2c o s 1c o s 2 α α+= 。 4.辅助角公式 ) sin(cos sin 2 2 ?θθθ++= +b a b a ， 其中2 2 c o s b a a += ?， 2 2 sin b a b += ? 三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。 知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】 三角恒等变形测试题及答案解析 则tanA= ，△ABC的面积为 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上) 11.________________________ 12._______________________ 13._________________________ 14.______________________ 15._________________________ 16._______________________ 三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18.已知12 cos, 13 α=求sinα和tanα 19．设cos(α－β 2 )＝－ 1 9 ，sin( α 2 －β)＝ 2 3 ，且 π 2 ＜ α＜π，0＜β＜ π 2 ，求cos（α＋β）． 20．已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈ [ π 2 ,π]，求sin(2α＋ π 3 )的值． 21．在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一 点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值． 22.已知函数2 ()2cos2sin4cos f x x x x =+- (1)求() 3 f π值的； (2)求()f x的最大值和最小值。 三角恒等变换测试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 13.2 1 2 m -14. 4π 3 15.] 6 5 , 3 [ π π 16.[解析]①②．③中π 4 5 = x是)25 2 sin(π + =x y的对称中心．17.[解析]sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝ 2 2 ，∴cos(A－45°)＝ 1 2 ． ∵0°＜A＜180°，∴A－45°＝60°，A＝105°，∴tanA＝tan(60°＋45°)＝―2―3， sinA＝sin(60°＋45°)＝ 6＋2 4 ， ∴S △ABC ＝ 1 2 AC·AB．s5inA＝ 1 2 ×2×3× 6＋2 4 ＝ 3 4 (6＋2)． 三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) https://www.wendangku.net/doc/205968525.html, 18.[解析]因为12 cos 13 α=>0,且cosα≠1,所以α是第一或第 高考数学：三角恒等变形公式大全两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2tan(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=[1-tan^2(α)]/[1+tan^2(α)] tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=tanα×tan(60-α)tan(60+α) 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 半角公式及变形： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 sin(a/2)=√[(1-cosα)/2] a/2在一、二象限 =-√[(1-cosα)/2] a/2在三、四象限 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 cos(a/2)=√[(1+cosα)/2] a/2在一、四象限 =-√[(1+cosα)/2] a/2在二、三象限 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=√[(1-cos α)/(1+cosα)] a/2在一、三象限 =-√[(1-cosα)/(1+cosα)] a/2在二、四象限 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] c osα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 ? 基础知识 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β? ? ??α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β) 异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反. 2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α. C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α????α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α 2 的二倍角． ? 常用结论 (1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α 2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)? ?? ?? 其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 考点一 三角函数公式的直接应用 [典例] (1)已知sin α＝35，α∈????π2，π，tan β＝－1 2 ，则tan(α－β)的值为( ) A ．－2 11 B.211 C.112 D ．－11 2 (2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π 2 ≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－22 9 B ．－429 C.229 D.429 [解析] (1)因为sin α＝3 5 ，α∈????π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－4 5， 所以tan α＝sin αcos α＝－3 4. 所以tan(α－β)＝ tan α－tan β1＋tan αtan β ＝－2 11. (2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π 2≤α≤π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－22 3 ， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×???? －223＝－429. [答案] (1)A (2)B [解题技法] 应用三角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． WOIRD格式 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 专业资料整理 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α) 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α) 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α) 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 第三章 三角恒等变换 一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= - ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．2 2 2 )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=． ⑶2 2tan tan 21tan ααα = -． 3、 ?（后两个不用判断符号，更加好用） 4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sin α+sin β= 2 cos 2 sin 2β αβ α-+ sin α-sin β=2 sin 2 cos 2β αβ α-+ αααα ααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-±=+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 2 2α α αααα万能公式+-=+=简单的三角恒等变换(基础)
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