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哈尔滨市2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练七:立体几何

哈尔滨2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练:立体几何

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为(

)

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A .4 3

m

B .923m

C .3 3m

D .94

3m

【答案】C

2.下列正方体或正四面体中,P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是

( )

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【答案】D

3.下列说法中正确的个数为( )

①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。

A . 0

B . 1

C . 2

D . 3

【答案】B

4.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是

( )

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A .

203

B .

163

C .

86π

-

D .

83π

-

【答案】A

5.对于任意的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m ,使m 与l( )

A .平行

B .相交

C .垂直

D .互为异面直线

【答案】C

6.用一个平面去截一个正方体,截法不同,所得截面的形状不一定相同,在各种截法中,边数最多的截面是( )

A .四边形

B .五边形

C .六边形

D .八边形

【答案】C

7.设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .即不充分不必要条件

【答案】A

8.在正四面体ABCD 的面上,到棱AB 以及C 、D 两点的距离都相等的点共有( )

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

【答案】B

9.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

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A .2

B .1

C .

3

2 D .

3

1 【答案】B

10.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 是CC 1的中点,F 是A 1B 的中点,且βα+=,则( )

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A .1,21-==

βα B .1,2

1

=-=βα C .21,1-==βα D .2

1

,1=-=βα

【答案】A

11.如图,平面α⊥平面β,α∩β=l ,A ,C 是α内不同的两点,B ,D 是β内不同的两点,且A ,B ,C ,D ?直线l ,M ,N 分别是线段AB ,CD 的中点.下列判断正确的是( )

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A .当|CD|=2|AB|时,M ,N 两点不可能重合

B .M ,N 两点可能重合,但此时直线A

C 与l 不可能相交

C .当AB 与C

D 相交,直线AC 平行于l 时,直线BD 可以与l 相交 D .当AB ,CD 是异面直线时,直线MN 可能与l 平行 【答案】B

12.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是( )

A .

2

6 B .3

C .

2

3 D .

3

6

【答案】A

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)

13.已知ABC ?的三个项点在同一球面上,.2,90==?=∠AC AB BAC 若球心O 到平面ABC 的距离为1,则该球的半径为 。 【答案】3

14.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 倍. 【答案】8

15.α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m ⊥n ,②

α

⊥β,③n ⊥β,④ m ⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 【答案】①③④?②或②③④?①

16.向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为 【答案】0

90

三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.如图,在三棱拄111ABC A B C -中,AB ⊥侧面11BB C C ,已知1

1,2,BC CC AB ===

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13BCC π

∠=

(1)求证:1C B ABC ⊥平面;

(2)、当E 为1CC 的中点时,求二面角11A EB A --的平面角的正切值.

【答案】(1)因为AB ⊥侧面11BB C C ,故1AB BC ⊥ 在1BC C 中,1111,2,3

BC CC BB BCC π

===∠=由余弦定理有

1BC ==故有

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222111BC BC CC C B BC += ∴⊥ 而 BC AB B = 且,AB BC ?平面ABC

∴1C B ABC ⊥平面

(2)取1EB 的中点D ,1A E 的中点F ,1BB 的中点N ,1AB 的中点M , 连DF 则11//DF A B ,连DN 则

//DN BE ,连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ,且MNDF 为矩形,

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//MD AE 又1111,A B EB BE EB ⊥⊥ 故MDF ∠为所求二面角的平面角在Rt DFM

中,

1112DF A B BCE =

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=?为正三角形) 111

222MF BE CE ==

=1

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tan 22

MDF ∴∠== (法二: 建系:由已知111

1,EA EB B A EB ⊥⊥, 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A 与

EA

的夹角因为11B A BA ==

1

(2

EA =-

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- 故

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1111

2cos tan 3

EA B A EA B A θθ?=

=

?=? )

18.我们将侧棱和底面边统称为棱,则三棱锥有4个面,6条棱,4个顶点,如果面数记作F ,棱数记作E ,顶点数记作V ,那么F ,E ,V 之间有什么关系?再用三棱柱,四棱台检验你得到的关系式,你知道这是个什么公式?

【答案】2F E V +-=这个是欧拉式.

19.如图,线段CD 夹在二面角a αβ

--内,C 、D 两点到棱a 的距离分别为CA=6cm ,DB=8cm 。如果二面角a αβ--的平面角为060,AB=4cm ,

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求:(1)CD 的长;

(2)CD 与平面β所成的角正弦值。

【答案】(1作AE//DB,AE=DB ,所以∠CAE 为所求二面角的平面角

所以∠CAE=600

, CE=52

所以CD = ;

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(2)过C 作CF ⊥AE 于F ,连结DF ,易证∠CDF 为所求的线面角

34

51

3sin =

∠CDF

20.如图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面 ABCD ,PA =AB.点M 为线段PD 的中

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点.

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(I )证明:平面ABM ⊥平面PCD; (II )求BM 与平面PCD 所成的角.

【答案】 (Ⅰ)∵PA ⊥平面ABCD ,AB PA ⊥

∴.

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底面ABCD 是矩形,AD AB ⊥∴.

⊥∴AB 平面PAD .

?PD 平面PAD , PD AB ⊥∴.

又AD PA =,点M 为线段PD 的中点, PD AM ⊥∴.

⊥∴PD 平面ABM . 又?PD 平面PCD ,

∴平面ABM ⊥平面PCD .

(Ⅱ)CD AB // ,//AB ∴平面PCD .

∴点B 到平面PCD 的距离与点A 到平面PCD 的距离相等.

由(Ⅰ)知,CD AM PD AM ⊥⊥,,

⊥∴AM 平面PCD ,即点A 到平面PCD 的距离为AM .

设x AB AD PA ===

2,则x AD AM 2

222==

. ∴点B 到平面PCD 的距离为x

22

.

在ABM Rt ?

中,求得BM x =

=.

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设BM 与平面PCD 所成的角为θ,

则2

222sin ==x x

θ.

所以BM 与平面PCD 所成的角为

4

π

. 21.如下图(图1)等腰梯形PBCD ,A 为PD 上一点,且AB ⊥PD ,AB=BC ,AD=2BC ,沿着AB 折叠使得二面角P-AB-D 为

60的二面角,连结PC 、PD ,在AD 上取一点E 使得3AE=ED ,连结PE 得到如下图(图2)的一个几何体.

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(1)求证:平面PAB ⊥平面PCD ; (2)求PE 与平面PBC 所成角的正弦值.

【答案】(1)AD AB PA AB ⊥⊥, ,又二面角P-AB-D 为

60

60=∠∴PAD ,又AD=2PA ∴

D AP P ⊥

有平面图形易知:AB ⊥平面APD ,又APD 平面?PD ,PD AB ⊥∴,

ABP AB AP 平面?,,且A AB AP =?

PAB 平面⊥∴PD ,又PCD 平面?PD ,∴平面PAB ⊥平面PCD (2)设E 到平面PBC 的距离为h , AE//平面PBC 所以A 到平面PBC 的距离亦为h 连结AC ,则PBC A ABC P V V --=,设PA=2

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3222131????=h ????722

1

31 7

21

2=

∴h ,设PE 与平面PBC 所成角为θ ∴77

23

732sin =

==PE h θ 22.已知三棱柱111C B A ABC

-,底面三角形ABC 为正三角形,侧棱1AA ⊥底面ABC ,4,21==AA AB ,

E 为1AA 的中点,

F 为BC 中点.

(Ⅰ)求证:直线//AF 平面1BEC ; (Ⅱ)求点C 到平面1BEC 的距离.

【答案】(Ⅰ)取1BC 的中点为R ,连接RF RE ,, 则1//CC RF ,1//CC AE ,且RF AE =,

所以四边形AFRE 为平行四边形, 则RE AF //,即//AF 平面1REC . (Ⅱ)由等体积法得

C

1

A

1C

1B

A

B

E F

11BCC E BEC C V V --=,则RE S h S BCC BEC ?=???113

1

31, 得55

4

=

h .