幂子群与循环群的充要条件
幂子群与循环群的充要条件
摘要：在群的理论研究中，通过对群的幂子群与循环群的研究，来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。本文在前人研究的基础上，通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究，有利于对基础数学的更深的认识。
关键词：幂子群循环群充要条件
代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史。数是大家研究数学的最基本的对象，数的最基本的运算是加、减、乘、除。但是，数不是我们研究数学的唯一对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。例如，向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算。特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但从运算的角度看却有着很多共同的性质。它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。
一、幂子群与循环群概述
（一）幂子群
设G为群，H是它的一个子群，若存在正整数n使得
H=，则称H为G的一个幂子群，记为H=Gn。设G为群，如果对任意g∈G，都有g0∈G使得g0=g0P，那么显然有G
的幂子群Gp满足Gp=G。由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性，凡无限循环群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构。而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。因此，我们可以说，在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z和n次单位根群Un。
1.当Hl，H2，H3，H4都是正规子群时，则G中的所有子群都是正规子群，因此G是Dedekind群，故G是幂零的；
2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群，设Hl，H2不是正规子群，H3，H4是正规子群，则显然有Hl与H2是共轭的。若NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由定理知HlG矛盾，因此只能有HlG（Hl）G，同理H2NG（H2）G，由此G中所有的子群都是次正规子群，由定理知G是幂零的。
（二）循环群
设M是群G的任意一个非空子集，G中包含M的子群是存在的。当然，G中可能还有别的子群也包含M。现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交，则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群，而且G中任意一个子群只要包含M，就必包含〈M〉。所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。
一个群（G，?）称为循环群，假如存在一个元素a∈G，使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元，记为G=。根据元素的阶的性质，可知循环群共有两种类型：
1.当生成元a是无限阶元素时，是一个无限阶循环群：
={…，a-3，a-2，a-1，e，a，a2，a3，…}
2.当生成元a是有限阶元素时，如果a的阶为n，那么这个群称为n阶循环群：={e，a，a2，…，an-1}
（G，?）与（G’，）是两个群，若存在一个G到G’的双射f满足a，b∈G，有f（a?b）=f（a）f（b），就说f是G到G’的一个同构映射或同构，并称G与G’同构，记作G≌G’。
G是一个群，如果G的一个子集H对G的运算构成一个群，则称H是G的一个子群，如果G的子群H≠G，则称H是G的一个真子群，若H是G的子群，记为H ≤G，若H是G的真子群记为H 二、幂子群的充要条件 定理1：设G是周期幂零群，则对任意p∈（G）有|G：GP|<∞的充要条件是G的每一个西洛子群GP是中心被有限的扩张，且满足ζ（Gp）：ζ（Gp）） <∞。 证明充分性由题设，对G的任意西洛子群GP有ζ（Gp）：ζ（Gp）） <∞。由引理有ζ（Gp）=DP×FP，DP是可除子群，FP 是有限子群，显然DPGP，又GP/ζ（Gp）是有限p-群，易得GP/DP有限p-群，而DP≤（GP）p显然成立。故|GP：（GP） p|<∞。由题设知：G=GP1×GP2×…×GPn×…，故对任意pi∈π（G）有 Gpi=（GP1）pi×（GP2）pi×…×（GPn）pi×…= GP1×GP2×…×（GPi）pi×…×GPn×…； 因此，|GP：Gpi|=|GPi：（GP）pi|<∞。 必要性。对G的任意西洛p-子群GP，易得|GP：（GP）p|<∞，由定理知，H是可除阿贝尔子群，H≤，因此有Gp：ζ（Gp）≤Gp：H<∞ 显然H≤ζ（Gp）P，故ζ（Gp）：ζ（Gp） ≤ζ（Gp）：H<∞ 三、循环群的充要条件 定理2：若G是阿贝尔p―群，则|G：GP|<∞的充要条件是G=D×F，其中D是可除子群，F是有限群。 证明：显然我们只需证明必要性。 由于|G：GP|=|D×F：DP×FP|=|F：FP|<∞，因此不妨设|F：FP|=pn，又因为F中没有可除子群，则由定理可得F=F1×， 其中是有限循环子群，若F是无限的，则F1是无限的，即有 F1=F2×，F2=F3×，…… 可以无限下去，因此一定存在正整数n+1，使得 FP=Fn+1P××……×， 由此有|F：FP|≥pn+1，矛盾，因此F为有限p-群。 则显然有F=Fn+1××……×。 设H是G的一个子群。若H=（1），明显H是循环群。现令H≠（1），由于H不空，有a∈H，且存在一个不为0的n∈Z，使得a n∈H。又因a-n=（an）-1∈H，从而H含有a的某些正整数幂。现令s是使得as∈H的最小正整数，那么我们说H=（as），因为任取am∈H，且可写m=qs+t，其中0≤t 若（a）是无限的，则对不同的m和n∈Z，有am ≠an，因此对于任何正整数s，元ams：当m=0、±1、±2，…是不同的，所以（as）是一个无限群。又s是使得as∈（as）的最小正整数，所以每个不等于1的子群是无限的。假如取s=r，则H=（1），这样我们得到r的正因子s的集到（a）的子群的集上的一个双射。S→（as），同时对应于s的子群（as）的阶是q=r/s，且当s跑遍r的正因子时，q同样也如此。因此每个子群的阶是r的一个因子。且对于每一个r的正因子q 来说，有且仅有一个阶为q的子群。 定理3：n阶有限群G是循环群的充要条件是，如果G 中有m阶子群，那么G中m阶子群是唯一的。 证明：必要性显然。 充分性：只需证明G中有n阶元即可。对于任意a≠e ∈G，如果G=（a）则定理得证，不妨设G≠（a）且a的阶为m，即am=e，对m的任一正约数k，对m的任一正约数 k，m=SK都存在K阶元素as∈（a），根据题设G中m阶和m的正约数阶的子群是唯一的，所以G中所有m的任意正约数阶元全落入（a）中，但G≠（a）这就意味着G中还有其它阶数的元素b，b的阶为g，且g卜m，设 g=P1r1P2r2……Psrs，且m=P1r1P2r2……Psrs其中P1，P2，……，Ps为互异质数，ri≥0，ti≥0，不妨设r1≤t1，r2≥t2，r3≥t3，……rs≥ts，则的阶为P2r2P3r3…Psrs， aP2r2P3r3…Psrs的阶为P1t1，由于P2r2P3r3…Psrs与P1t1 互质， 因此，（b）×（a…p）=（C） 为G的a…p阶循环群，注意 a…p大于m和g，如果G=（C），则定理得证。如果G ≠（c）同上讨论，这样继续下去，所求的元素阶数逐渐增大，由于n为有限数，所以G必有n阶元，定理得证。 四、结论 近世代数中最重要、最基本的分支是群、环和域。我们这里主要了解关于循环群的一些知识。循环群是一种很重要的群，也是一种已经被完全解决了的一类群。就是说，这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等，都完全研究明了。另外，我们知道有限群G都可分解为一些西洛子群的直积，而每个西洛子群，它只要不是循环群，就可以把它分解成不可再分解 的循环子群的直积，因此G的结构完全由这些循环子群唯一确定，而循环群是群类中最简单的一种群，所以循环群的研究为初学者所易接受，从而培养了其学习群论的兴趣，进而也增强了其学习抽象代数的积极性，因而具有很重要的实际意义。 参考文献： [1]李晓毅，黄凤毕.循环群中剩余类加群的讨论[J].沈阳师范大学学报，2003. [2]左孝凌，李为鉴，刘永才.离散数学[M]. 上海科学技术文献出版社，1987. [3]张禾瑞.近世代基础[M].北京：人民教育出版社，1987. [4]杨子肯.近世代数（第一版）[M].北京：高等教育出版社，2006. [5]蔡之华，薛思清，吴杰编著.离散数学[M]. 中国地质大学出版社，2008. [6]孙晶编著.离散数学教程[M].东北大学出版社，2009. [7]吴晓平，秦艳琳编著.信息安全数学基础[M].国防工业出版社，2009. [8]Hawthorn I. Some results in the theory of Fitting classes of finite groups [D]. Doctoral Thesis，University of Minnesota，1990. 第二次在线作业 1.（ 2.5分）代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 2.（2.5分）设< L*1*2> 是代数系统，其中是*1*2二元运算符，如果*1*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称< L*1*2> 是格 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 3.（2.5分）对实数的普通加法和乘法，0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 4.（2.5分）零元是不可逆的 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 5.（2.5分）群中每个元素的逆元都是惟一的 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 6.（2.5分）设abc是阿贝尔群< G+> 的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c) ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 7.（2.5分） < {01234}MAXMIN> 是格 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 8.（2.5分）一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 9.（2.5分）在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 10.（2.5分）一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 11.（2.5分）不含回路的连通图是树 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 12.（2.5分）简单图邻接矩阵主对角线上的元素全为0 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 13.（2.5分）树一定是连通图 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 14.（2.5分）无向图的邻接矩阵是对称阵 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 15.（2.5分）不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,. 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自 同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 幂子群与循环群的充要条件 摘要：在群的理论研究中，通过对群的幂子群与循环群的研究，来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。本文在前人研究的基础上，通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究，有利于对基础数学的更深的认识。 关键词：幂子群循环群充要条件 代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史。数是大家研究数学的最基本的对象，数的最基本的运算是加、减、乘、除。但是，数不是我们研究数学的唯一对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。例如，向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算。特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但从运算的角度看却有着很多共同的性质。它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。 一、幂子群与循环群概述 （一）幂子群 设G为群，H是它的一个子群，若存在正整数n使得 H=，则称H为G的一个幂子群，记为H=Gn。设G为群，如果对任意g∈G，都有g0∈G使得g0=g0P，那么显然有G 的幂子群Gp满足Gp=G。由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性，凡无限循环群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构。而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。因此，我们可以说，在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z和n次单位根群Un。 1.当Hl，H2，H3，H4都是正规子群时，则G中的所有子群都是正规子群，因此G是Dedekind群，故G是幂零的； 2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群，设Hl，H2不是正规子群，H3，H4是正规子群，则显然有Hl与H2是共轭的。若NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由定理知HlG矛盾，因此只能有HlG（Hl）G，同理H2NG（H2）G，由此G中所有的子群都是次正规子群，由定理知G是幂零的。 （二）循环群 设M是群G的任意一个非空子集，G中包含M的子群是存在的。当然，G中可能还有别的子群也包含M。现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交，则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群，而且G中任意一个子群只要包含M，就必包含〈M〉。所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。 一个群（G，?）称为循环群，假如存在一个元素a∈G，使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元，记为G=。根据元素的阶的性质，可知循环群共有两种类型： 一、填空题 1. 设A = {1, 2}, B = {2, 3}, 则A - A =________, A – B =________, B – A =________. 2. 设N 是自然数集合, f 和g 是N 到N 的函数, 且f (n ) = 2n +1，g (n ) = n 2, 那么复合函数(f f ) (n )=________ , (f g ) (n )=________ , (g f ) (n ) =________. 3. 设|X | = n , P (X )为集合X 的幂集, 则| P (X )| = ________. 在代数结构(P (X ), ∪)中，则P (X ) 对∪运算的单位元是________, 零元是________ . 4. 在下图中， _______________________________是其Euler 路 . 5. 设有向图G = (V , E )，V = {v 1，v 2，v 3，v 4}，若G 的邻接矩阵A =???? ??????1001001111011010, 则v 1的出度deg +(v 1) =________, v 1的入度deg -(v 1) =________, 从v 2到v 4长度为2的路有________条. 二、单选题 1. 设A = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}}, 下列选项正确的是( ) (A) 1∈A (B) {1, 2, 3}?A (C) {{4, 5}}?A (D) ?∈A . 2．集合A = {1, 2, …, 10}上的关系R ={(x , y )|x + y = 10, x , y ∈A }, 则R 的性质是 ( ) (A) 自反的 (B) 对称的 (C) 传递的、对称的 (D) 反自反的、传递的. 3．若R 和S 是集合A 上的两个关系，则下述结论正确的是( ) (A) 若R 和S 是自反的, 则R ∩S 是自反的 (B) 若R 和S 是对称的, 则R S 是对称的 (C) 若R 和S 是反对称的, 则R S 是反对称的 (D) 若R 和S 是传递的, 则R ∪S 是传递的. 4．集合A = {1, 2, 3, 4}上的关系 R = {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3)}, 则下列不是．．t (R )中元素的是( ) (A) (1, 1) (B) (1, 2) (C) (1, 3) (D) (1, 4). 5．设p ：我们划船，q ：我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( ) (A) ? p ∧? q (B) ? p ∨? q 2013年4月考试离散数学第二次作业 一、单项选择题（本大题共50分，共 25 小题，每小题 2 分） 1. 下列语句中为命题的是（） A. 暮春三月，江南草长. B. 这是多么可爱的风景啊！ C. 大家想做什么，就做什么，行吗？ D. 请勿践踏草地！ 2. 2.设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不正确的是（） A. 若G是树，则其边数等于n-1 B. 若G是欧拉图，则G中必有割边 C. 若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇度数顶点 D. 若G中任意一对顶点的度数之和大于等于n-1，则G中有汉密尔顿路 3. 集合|A|=3，|B|=2，则A B上不同的函数个数为（）。 A. 3+2个 B. 32个 C. 2*3个 D. 23个 4. 设A-B=φ，则以下正确的是（）。 A. A＝B B. A?B C. B?A D. 以上都不对 5. 设R为实数集，函数f：R→R，f(x)=2x，则f是（） A. 满射函数 B. 入射函数 C. 双射函数 D. 非入射非满射 6. 设B={a,b,c},C={1,2,3,4}，以下哪个关系是从B到C的单射函数？（） A. f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,7>} B. f={<1,7>,<2,6>,<4,8>,<1,9>,<5,10>} C. f={<1,7>,<2,7>,<4,9>,<3,8>} D. f={<1,10>,<5,9>,<3,6>,<4,6>,<2,8>} E. f={<1,7>,<5,10>,<2,6>,<4,8>,<3,9>} 7. 下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是（）。 A. a*b=a+2b B. a*b=a+b-ab C. a*b=a D. a*b=|a+b| 8. 在下列命题中，为真的命题是（） A. 汉密顿图一定是欧拉图 B. 无向完全图都是欧拉图 C. 度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通无向图G可以一笔画出 D. 有割点的连通图是汉密顿图 9. 设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“只有小李努力学习，他才能取得好成绩”的符号化形式为（）。 A. B. C. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.（2.5分）代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统 正确 错误 正确答案： 2.（2.5分）设< L,*1,*2> 是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称< L,*1,*2> 是格 正确 错误 正确答案： 3.（2.5分）对实数的普通加法和乘法，0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元 正确 错误 正确答案： 4.（2.5分）零元是不可逆的 正确 错误 正确答案： 5.（2.5分）群中每个元素的逆元都是惟一的 正确 错误 正确答案： 6.（2.5分）设a,b,c是阿贝尔群< G,+> 的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c) 正确 错误 正确答案： 7.（2.5分） < {0,1,2,3,4},MAX,MIN> 是格 正确 错误 正确答案： 8.（2.5分）一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路 正确 错误 正确答案： 9.（2.5分）在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数 正确 错误 正确答案： 10.（2.5分）一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路 正确 错误 正确答案： 11.（2.5分）不含回路的连通图是树 离散数学作业布置 第1次作业（P15） 1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 解：（1）p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s)=（0?1）∧(1∨1)=0∧1 =0 （3）（﹁p∧﹁q∧r）?(p∧q∧﹁r)=（1∧1∧1）? (0∧0∧0)=0 (4)（r∧s）→(p∧q)=（0∧1）→(1∧0)=0→0=1 1.17 判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2 也是无理数。另外只有6能被2整除，6才能被4整除。” 解：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 1.19 用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(﹁q→﹁p) （5）(p∧r) ? (﹁p∧﹁q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 解：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式，最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。 第2次作业（P38） 2.3 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ﹁(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 解：(1) ﹁(p∧q→q) ?﹁(﹁(p∧q) ∨q) ?(p∧q) ∧﹁q?p∧(q ∧﹁q) ? p∧0 ?0 所以公式类型为矛盾式 (2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ? (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ?﹁p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) (p∨q) → (p∧r) ?￢(p∨q) ∨ (p∧r) ? (￢p∧￢q) ∨(p∧r) 易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111 > §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： ！ 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构 群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11 ()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 · 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 ` 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ 是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====, . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 { 离散数学作业5 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {}f {}c e ,． 3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍． 4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 不含奇数度结点 ． 5．设G= 北京邮电大学 离散数学 第一次阶段作业 判断题 1. 集合A上的任一运算对A是封闭的。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 2. 设G;·是群，如果对于任意a,b?G，有a·b2=a2·b2，则G;·是阿贝尔群。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 3. 设a,b是群G;·的元素，则a·b?1=a?1·b?1。【答案：B】 A. 正确 B. 错误 4. 0,1,2,3,4,max,min是格。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 5. 设集合A=a,b，则?,a,b,A,∪,∩是格。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 单项选择题 1. 设集合A={1,2,3,4,…,10}，则下面定义的哪种运算关于集合A不是封闭的。【答案：D】 A. x°y=max x,y B. x°y=min x,y C. x°y=GCD x,y，即x,y的最小公约数 D. x°y=LCM x,y，即x,y的最小公倍数 2. 循环群Z,+的所有生成元为【答案：D】 A. 1,0 B. -1,2 C. 1,2 D. 1,-1 3. 循环群I5,?5的所有之群为【答案：C】 A. I5,?5 B. 0,?5 C. I5,?5且0,?5 D. ? 4. 设代数系统A,·，则下面结论成立的是【答案：C】 A. 如果A,·是群，则A,·是阿贝尔群 B. 如果A,·是阿贝尔群，则A,·是循环群 C. 如果A,·是循环群，则A,·是阿贝尔群 D. 如果A,·是阿贝尔群群，则A,·必不是循环群 5. 下列代数系统G,?中，哪一个不构成群【答案：D】 A. G=1,10，*是模 11 乘法 B.G=0,1,2，*是模 3 乘法 C.G=Q有理数集，*是普通加法 D.G=Q，*普通乘法 第二次作业 1、使用包含排斥原理求在1~10000之间（包括1和10000在内）不能被4、5、6 整除的整数有多少个？（见书P107 24） 解:|A|=[10000/4]=2500 |B|=[10000/5]=2000 |C|=[10000/6]=1666 |A∩ B|=[1000/lcm(4,5)]=[10000/20]=500 |A∩ C|=[1000/lcm(4,6)]=[10000/12]=833 |B∩ C|=[1000/lcm(5,6)]=[10000/30]=333 |A∩ B ∩ C|=[1000/lcm(4,5,6)]=[10000/60]=166 |ˉA ∩ˉB ∩ˉC|=|S|-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩ B|+|A∩ C|+|B∩ C|)-|A∩ B ∩ C| =10000-(2500+2000+1666) +(500+833+333) -166=5334 2、证明下列集合恒等式：（见书P108 33） （1）A∩（B∪~A）= B∩A 证对任意的X ,有 X ∈A ∩(B ∪~A) ?x ∈A ∧X ∈(B ∪~A) ?X ∈A ∧(X ∈B ∨X ∈~A) ?X ∈A ∧(X ∈B ∨X ? A ) ?X ∈A ∧(X ∈B ∨?X ∈A ) ?X ∈A ∧X ∈B ?A ∩B ?B ∩A 所以 A ∩(B ∪~A) = B∩ （2）~（（~A∪~B）∩~A）=A 证~((~A∪~B)∩~A) =(~A∪~B)∩~A双重否定律 = ~A吸收律 =A双重否定律 3、设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} 求A∪B，A∩B，domA，domB，dom（A∪B），ranA，ranB, ran(A∩B), fld(A-B) A ∪B={<1,2>,<2,4>,<3,3>, <1,3>,<4,2>} A ∩B={<2,4>} A-B={<1,2>, <3,3>, <1,3>, <4,2>} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom (A ∪B ) ={1,2,3,4} ranA={2,4,3} ranB={3,4,2} ran(A∩B)={4} fld(A-B)={1,2,3,4} 4、设A={a,b,c,d}, R1, R2为A上的关系，其中 R1={ §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,L . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。 题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 时间： 2012年6月17日 摘要 本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。 关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。 一、S 4和S 4 的子群： 假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A与A同态。 假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算 和 来说，A与A同构。 S 3 ={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}， S 4 ={(1)， (12),(34),(13),(24)，（14），(23)， (123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. 其中,在S 3 里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。 在S 4 里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。 S 3的子群有H 1 ={（1）}， H 2 ={（1），（12）}， H 3 ={（1），（13）}， H 4 ={（1），（23）} ， H 5 ={（1），（123），（132）}， H 6=S 3 。 其中H 1和H 6 为S 3 的平凡子群。 （V ）循环群·变换群和置换群 一、定义及例子 1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】 2、例子： （1）Z =（1） （2）(Z 12，+)=（[1]）=([11]) 注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】 （3）n 次单位根群Un 【Unit 】 )(),(},1|{0ω=??∈==∈≠*C C x x x U N n n n n n i ππω22 sin cos += 二、生成元，循环群 1、循环群的元素 ???∞ =∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元 （1）1,)(±=?∞=r a a o r 是生成元 （2）1),(,)(=?=n r a n a o r 是生成元 {} x i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。 的数中与：小于欧拉数?? 如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11]) 三、循环群的子群 1、循环群的子群是循环群 2、循环群子群的分类 } |1|){(G ),(,0)()2(} 0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为 则设的所有子群为 则设≤≤=>=≥=∞= 变换群和置换群 ·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i) ·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质 ) ()...()()...(6],...,,[)()(5/ */*)...)(...()...)( (4) ...()...(3))...((2) ...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i r r r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i r i i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====???======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、 2013年9月份考试离散数学第二次作业 一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分） 1. 设S={1,2,3,4}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，则R的性质是（） A. 自反、对称、传递的 B. 自反、对称、反对称的 C. 对称、反对称、传递的 D. 只有对称性 2. 在下列命题中，为真的命题是（） A. 汉密顿图一定是欧拉图 B. 无向完全图都是欧拉图 C. 度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通无向图G可以一笔画出 D. 有割点的连通图是汉密顿图 3. 设P：我去踢球，Q：明天下雨，命题“如果我踢球，当且仅当明天不下雨”的符号化表示为（）。 A. P→Q B. Q→P C. D. P Q 4. 设A为一集合，（P(A),）为有补格，P(A)中每个元素的补元（）。 A. 存在且唯一 B. 不存在 C. 存在且不唯一 D. 可能存在 5. 下图哪个能一笔画？（） A. B. C. D. 6. 若X是Y的子集，则一定有（）。 A. X不属于Y B. X∈Y C. X真包含于Y D. X∩Y=X 7. 若集合A的基数|A|=10，则其幂集的基数为（） A. 1024 B. 100 C. 20 D. 12 8. 下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定？（） A. 2是偶数或-3不是负数 B. 2是奇数或-3不是负数 C. 2不是偶数且-3不是负数 D. 2是奇数且-3不是负数 9. 对于下面某个偏序集的哈斯图，其中集合{a,b,c,e}的最大元是（） A. c B. d C. e D. 无 10. 设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不正确的是（）。 A. 若G是 心之所向，所向披靡 2013年9月份考试离散数学第二次作业 一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分） 1. 设S={1,2,3,4}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，则R的性质是（） A. 自反、对称、传递的 B. 自反、对称、反对称的 C. 对称、反对称、传递的 D. 只有对称性 2. 在下列命题中，为真的命题是（） A. 汉密顿图一定是欧拉图 B. 无向完全图都是欧拉图 C. 度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通无向图G可以一笔画出 D. 有割点的连通图是汉密顿图 3. 设P：我去踢球，Q：明天下雨，命题“如果我踢球，当且仅当明天不下雨”的符号化表示为（）。 A. P→Q B. Q→P C. D. P Q 4. 设A为一集合，（P(A),）为有补格，P(A)中每个元素的补元（）。 A. 存在且唯一 B. 不存在 C. 存在且不唯一 D. 可能存在 5. 下图哪个能一笔画？（） A. B. C. D. 6. 若X是Y的子集，则一定有（）。 A. X不属于Y B. X∈Y C. X真包含于Y D. X∩Y=X 7. 若集合A的基数|A|=10，则其幂集的基数为（） A. 1024 B. 100 C. 20 D. 12 8. 下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定？（） A. 2是偶数或-3不是负数 B. 2是奇数或-3不是负数 C. 2不是偶数且-3不是负数 D. 2是奇数且-3不是负数 9. 对于下面某个偏序集的哈斯图，其中集合{a,b,c,e}的最大元是（） A. c B. d C. e D. 无 10. 设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不正确的是（）。 A. 若G是 §7循环群 本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ΛΛ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂. 一、循环群的概念 1.定义 G 称为循环群?群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂???倍数－－针对加法 乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ?=)(是群，且???==∈?∈?)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！） 【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】 2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-?a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】 3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=?=±n n Θ】 问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=?∈==∈?=k Z k n nk k k Z 】 *实际上可进一步证明：)()(a G a o =?∞=只有两个生成元1 ,-a a .【课外思考题】 【设)(b G =，则有111,,)(-=?=?=?==∈∞=or s st a a b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z . 问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】 *实际上可进一步证明：)()(a G n a o =?=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =?====?=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=?-?=?=?===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a Λ. ◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元. 二、循环群的种类 1.结构定理 设循环群)(a G =同构于???=+∞=+n a o if Z a o if Z n )(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=?=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:?，可证?是同构映射.(证略) 【?是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =?=-?=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证?是满射/单射. 再证?的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k |?=】此时，令][,:k a Z G k n →→? ?是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a n a o h k =?-?==-，说明对应元唯一. ?是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===?=-?-=-)()(|. ?是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈?∈?? 再证?的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+. 淮北师范大学 2012届学士学位论文 循环群的性质研究 学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数 学生姓名潘帅 学号20081101142 指导教师姓名张波 指导教师职称讲师 2012年4月3日 循环群的性质研究 潘帅 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 设G是一个群，a G ，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。 文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。 关键词：循环群，子群，同构，自同构群 Study on the Properties of Cyclic Groups Pan Shuai (School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 ) Abstract Let G be a group, a G ∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+ algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application. The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group. Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group离散数学第二次在线作业
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(完整版)循环群讲义
循环群的性质研究