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幂子群与循环群的充要条件

幂子群与循环群的充要条件

摘要:在群的理论研究中,通过对群的幂子群与循环群的研究,来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。本文在前人研究的基础上,通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究,有利于对基础数学的更深的认识。

关键词:幂子群循环群充要条件

代数学是数学的一个古老分支,有着悠久的历史。数是大家研究数学的最基本的对象,数的最基本的运算是加、减、乘、除。但是,数不是我们研究数学的唯一对象,而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。例如,向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等,它们虽然都不是数,但却也可以类似于数那样来进行运算。特别是,尽管这些研究对象千差万别,各有自己的特性,但从运算的角度看却有着很多共同的性质。它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。

一、幂子群与循环群概述

(一)幂子群

设G为群,H是它的一个子群,若存在正整数n使得

H=,则称H为G的一个幂子群,记为H=Gn。设G为群,如果对任意g∈G,都有g0∈G使得g0=g0P,那么显然有G

的幂子群Gp满足Gp=G。由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性,凡无限循环群均彼此同构,凡有限同阶循环群都彼此同构。而不同阶的群,由于不能建立双射,当然不能同构。因此,我们可以说,在同构意义下,循环群只有两种,即整数加群Z和n次单位根群Un。

1.当Hl,H2,H3,H4都是正规子群时,则G中的所有子群都是正规子群,因此G是Dedekind群,故G是幂零的;

2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群,设Hl,H2不是正规子群,H3,H4是正规子群,则显然有Hl与H2是共轭的。若NG(Hl)=Hl,则有|G:Hl|=2,那么由定理知HlG矛盾,因此只能有HlG(Hl)G,同理H2NG(H2)G,由此G中所有的子群都是次正规子群,由定理知G是幂零的。

(二)循环群

设M是群G的任意一个非空子集,G中包含M的子群是存在的。当然,G中可能还有别的子群也包含M。现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交,则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群,而且G中任意一个子群只要包含M,就必包含〈M〉。所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。

一个群(G,?)称为循环群,假如存在一个元素a∈G,使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元,记为G=。根据元素的阶的性质,可知循环群共有两种类型:

1.当生成元a是无限阶元素时,是一个无限阶循环群:

={…,a-3,a-2,a-1,e,a,a2,a3,…}

2.当生成元a是有限阶元素时,如果a的阶为n,那么这个群称为n阶循环群:={e,a,a2,…,an-1}

(G,?)与(G’,)是两个群,若存在一个G到G’的双射f满足a,b∈G,有f(a?b)=f(a)f(b),就说f是G到G’的一个同构映射或同构,并称G与G’同构,记作G≌G’。

G是一个群,如果G的一个子集H对G的运算构成一个群,则称H是G的一个子群,如果G的子群H≠G,则称H是G的一个真子群,若H是G的子群,记为H ≤G,若H是G的真子群记为H

二、幂子群的充要条件

定理1:设G是周期幂零群,则对任意p∈(G)有|G:GP|<∞的充要条件是G的每一个西洛子群GP是中心被有限的扩张,且满足ζ(Gp):ζ(Gp))

<∞。

证明充分性由题设,对G的任意西洛子群GP有ζ(Gp):ζ(Gp))

<∞。由引理有ζ(Gp)=DP×FP,DP是可除子群,FP 是有限子群,显然DPGP,又GP/ζ(Gp)是有限p-群,易得GP/DP有限p-群,而DP≤(GP)p显然成立。故|GP:(GP)

p|<∞。由题设知:G=GP1×GP2×…×GPn×…,故对任意pi∈π(G)有

Gpi=(GP1)pi×(GP2)pi×…×(GPn)pi×…= GP1×GP2×…×(GPi)pi×…×GPn×…;

因此,|GP:Gpi|=|GPi:(GP)pi|<∞。

必要性。对G的任意西洛p-子群GP,易得|GP:(GP)p|<∞,由定理知,H是可除阿贝尔子群,H≤,因此有Gp:ζ(Gp)≤Gp:H<∞

显然H≤ζ(Gp)P,故ζ(Gp):ζ(Gp)

≤ζ(Gp):H<∞

三、循环群的充要条件

定理2:若G是阿贝尔p―群,则|G:GP|<∞的充要条件是G=D×F,其中D是可除子群,F是有限群。

证明:显然我们只需证明必要性。

由于|G:GP|=|D×F:DP×FP|=|F:FP|<∞,因此不妨设|F:FP|=pn,又因为F中没有可除子群,则由定理可得F=F1×,

其中是有限循环子群,若F是无限的,则F1是无限的,即有

F1=F2×,F2=F3×,……

可以无限下去,因此一定存在正整数n+1,使得

FP=Fn+1P××……×,

由此有|F:FP|≥pn+1,矛盾,因此F为有限p-群。

则显然有F=Fn+1××……×。

设H是G的一个子群。若H=(1),明显H是循环群。现令H≠(1),由于H不空,有a∈H,且存在一个不为0的n∈Z,使得a n∈H。又因a-n=(an)-1∈H,从而H含有a的某些正整数幂。现令s是使得as∈H的最小正整数,那么我们说H=(as),因为任取am∈H,且可写m=qs+t,其中0≤t 若(a)是无限的,则对不同的m和n∈Z,有am ≠an,因此对于任何正整数s,元ams:当m=0、±1、±2,…是不同的,所以(as)是一个无限群。又s是使得as∈(as)的最小正整数,所以每个不等于1的子群是无限的。假如取s=r,则H=(1),这样我们得到r的正因子s的集到(a)的子群的集上的一个双射。S→(as),同时对应于s的子群(as)的阶是q=r/s,且当s跑遍r的正因子时,q同样也如此。因此每个子群的阶是r的一个因子。且对于每一个r的正因子q 来说,有且仅有一个阶为q的子群。

定理3:n阶有限群G是循环群的充要条件是,如果G 中有m阶子群,那么G中m阶子群是唯一的。

证明:必要性显然。

充分性:只需证明G中有n阶元即可。对于任意a≠e ∈G,如果G=(a)则定理得证,不妨设G≠(a)且a的阶为m,即am=e,对m的任一正约数k,对m的任一正约数

k,m=SK都存在K阶元素as∈(a),根据题设G中m阶和m的正约数阶的子群是唯一的,所以G中所有m的任意正约数阶元全落入(a)中,但G≠(a)这就意味着G中还有其它阶数的元素b,b的阶为g,且g卜m,设

g=P1r1P2r2……Psrs,且m=P1r1P2r2……Psrs其中P1,P2,……,Ps为互异质数,ri≥0,ti≥0,不妨设r1≤t1,r2≥t2,r3≥t3,……rs≥ts,则的阶为P2r2P3r3…Psrs,

aP2r2P3r3…Psrs的阶为P1t1,由于P2r2P3r3…Psrs与P1t1

互质,

因此,(b)×(a…p)=(C)

为G的a…p阶循环群,注意

a…p大于m和g,如果G=(C),则定理得证。如果G ≠(c)同上讨论,这样继续下去,所求的元素阶数逐渐增大,由于n为有限数,所以G必有n阶元,定理得证。

四、结论

近世代数中最重要、最基本的分支是群、环和域。我们这里主要了解关于循环群的一些知识。循环群是一种很重要的群,也是一种已经被完全解决了的一类群。就是说,这种群的元素表达方式和运算规则,以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等,都完全研究明了。另外,我们知道有限群G都可分解为一些西洛子群的直积,而每个西洛子群,它只要不是循环群,就可以把它分解成不可再分解

的循环子群的直积,因此G的结构完全由这些循环子群唯一确定,而循环群是群类中最简单的一种群,所以循环群的研究为初学者所易接受,从而培养了其学习群论的兴趣,进而也增强了其学习抽象代数的积极性,因而具有很重要的实际意义。

参考文献:

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