河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
理科数学
本试卷4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知全集R ，2
2x x -≥，则 A.{}
20x x -<<
B.{}
20x x -≤≤ C.{}
20x x x <->或
D.{}
20x x x ≤-≥或
3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：
2015年高考数据统计 2018年高考数据统计
则下列结论正确的是
A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同
D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
4.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A.11
B.12
C.13
D.14
5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x = A.ln x x
B.()ln x x -
C.ln x x -
D.()ln x x --
6.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>和直线:143x y l +=，若过C 的左焦点和下顶点
的直线与平行，则椭圆C 的离心率为
A.
4
5
B.
35
C.
34
D.
15
7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则
ED =
A.
12
33AD AB - B.
21
33AD AB + C.21
33
AD AB - D.
12
33
AD AB + 8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体
A.有四个两两全等的面
B.有两对相互全等的面
C.只有一对相互全等的面
D.所有面均不全等
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图
所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是
A.
4
13
C.926 10.已知函数(),0,
ln ,0
x e x f x x x ?-≤=?>?（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程
()0f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是
A.1a >-
B.11a -<<
C.01a <≤
D.1a <
11.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆
222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=?，则双曲线的渐近线方程
为
A.y =
B.y =
C.y x =±
D.2y x =±
12.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，
不含1A 的部分为2V ，连结1A 和2V 的任一点
M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为
A.
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数x ，y 满足约束条件10,240,0,x y x y y -+≥??
+-≤??≥?
，则2
z x y =-的最小值为________. 14.已知数列{}n a ，若数列{
}1
3
n n a -的前n 项和11
655
n n T =?-，则5a 的值为________.
15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.
16已知函数()sin 232f x x x ππ?????
?=-++-<
? ????
?的图像关于直线2x =对称，当
[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。 17.（12分）
如图，在ABC ?中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=?
，AB =4AP PB +=. （1）求BP 的长； （2
）若AC =
cos ACP ∠的值.
18.（12分）
在ABC ?中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1.以DE 为折痕将ADE ?折起，使点A 到达点P 的位置，如图2.
（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；
（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值。
如图1
如图2
19.（12分）
某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[]100,150内，且其频率y 满足1020
n
y a =-
（其中()10101n x n ≤<+，*n N ∈）.
（1）求a 的值；
（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.
20.(12分）
已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，()02,A y 是E 上一点，且2AF =. （1）求E 的方程；
（2）设点B 是上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.
21.(12分）
已知函数()()1ax f x e x a R =--∈. （1）当1a =时，求证：()0f x ≥； （2）讨论函数()f x 的零点的个数。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l
的参数方程为2,2
x y ?=-????=??（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点P 的极坐标为()2,π
，PM PN +=，求a 的值. 23.［选修4-5：不等式选讲］（10分） 已知函数()2f x x =-.
（1）求不等式()()13f x xf x +<+的解集；
（2）若函数()()()2log 32g x f x f x a =++-????的值域为R ，求实数a 的取值范围.
参考答案及解析
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考·理科数学
一、选择题
1.D 【解析】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D.
2.C 【解析】由2
2x x -≥，得2
20x x +≤，解得20x -≤≤.所以
.故选C.
3.D 【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ?=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ?=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ?=.不达线人数有所增加.故选D.
4.C 【解析】由10100S =及公差为2.得11a =.所以21n a n =-，故713a =.故选C.
5.B 【解析】设0x <，则0x ->，所以()()ln f x x x -=--.又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()ln f x x x =-.故选B.
6.A 【解析】直线l 的斜率为34-，所以34b c =，又222
b c a +=，所以45c e a ==，故选A.
7.C 【解析】()
1121
3333
ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-.故选C.
8.B 【解析】几何体的直观图为四棱锥P ABCD -.如图.因为AD AB =，PA PA =，
90BAP DAP ∠=∠=?.
所以ABP ?≌ADP ?.
因为BC ⊥平面ABP ，所以BC BP ⊥.同理，CD DP ⊥.
因为BP DP =，CD BC =，CP CP =，所以BCP ?≌DCP ?.又ABP ?与BCP ?不全等.故选B.
9.A 【解析】在ABD ?中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=?
，由余弦定理，得
AB ==
所以
DF AB =
.
所以所求概率为2
413DEF ABC S S ??=.
故选A.
10.C 【解析】画出函数()f x 的图像如图所示，由图可知10a -≤-<，所以01a <≤.故选C.
11.A 【解析】如图，作1OA F M ⊥于点A .21F B F M ⊥于点
B .因为1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=?，所以OA a =，22F B BM a ==
，2F M =，
12F B b =.又点M 在双曲线上.
所以12222F M F M a b a -=+-=.
整理，得b =.
所以
b
a
=
所以双曲线的渐近线方程为y =。故选A.
12.B 【解析】连结EF .因为EF 平面ABCD .所以过EFO 的平面与平面ABCD 的
交线一定是过点O 且与EF 平行的直线.过点O 作GH BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，
则GH
EF ，连结EH ，FG .则平行四边形EFGH 即为截面.则五棱柱
1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH FCG -为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点
作底面1111A B C D 的垂线，垂足为N ，连结1A N ，则1MA N ∠即为1A M 与平面1111A B C D 所成的角，所以1MA N α∠=.
因为1sin MN
A M
α=
，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意.故(
)max 11max sin MN HN A M A H
α??===
?
??故选B.
二、填空题
13.3-【解析】可行域如图所示， 当直线22x z y =
-经过点A 时，z 取得最小值.解方程组10,
240,
x y x y -+=??+-=?可得点()1,2A ，所以min 3z =-.故填3-.
14.16【解析】据题意，得2
1
12311
333655
n n n a a a a ++++???+=?-，
所以当2n ≥时，2
21123111
333
655
n n n a a a a ---+++???+=?-
.
两式相减，得1
1111
3
66655
n n n n n a +--=?-?=.所以当2n ≥时，12n n a -=，故516a =.
15.120【解析】3
100120C =.故填120.
16.4【解析】据题意知，函数2y x =-的图像关于直线2x =对称，曲线
sin 3y x π???
=+ ???
关于直线2x =对称，所以232k ππ?π?+=+，
k Z ∈.所以6k π?π=-，k Z ∈.因为2π?<
，所以6π?<-.所以()sin 23
6f x x x π
π??=--+- ???.又sin 3
6y x π
π??=-- ???与2y x =-在区间[]1,2-上都为减函数，所以
()()max 14f x f =-=.
三、解答题
17.解：（1）由已知，得120APB ∠=?………………………………………………1分
又AB =4AP BP +=， 在ABP ?中，由余弦定理，
得(()()2
2
2424cos120BP BP BP BP =+--??-?，……………………4分
整理，得2
440BP BP -+=.解得2BP =.…………………………………………6分
（2）由（1）知，2AP =， 所以在ACP ?中，由正弦定理.得
sin 60sin AC AP
ACP
=?∠，…………………………8分
解得4
sin 25ACP ∠==.………………………………………………………9分
因为24
<
，所以AP AC <，从而ACP APC ∠<，即ACP ∠是锐角，……11分
所以3cos 5ACP ∠==.……………………………………………………12分
18.（1）证明：在题图1中，因为22AB BC CD ==，且D 为AB 的中点。由平面几何知识，得90ACB ∠=?.…………………………………………………………………1分
又因为E 为AC 的中点，所以DE
BC ……………………………………………2分
在题图2中，CE DE ⊥，PE DE ⊥，且CE
PE E =，
所以DE ⊥平面CEP ，
所以BC ⊥平面CEP .…………………………………………………………………4分 又因为BC ?平面BCP ，
所以平面BCP ⊥平面CEP .…………………………………………………………5分 （2）解：因为平面DEP ⊥平面BCED ，平面DEP 平面BCED DE =，EP ?平
面DEP ，EP DE ⊥.
所以EP ⊥平面BCED .………………………………………………………………6分 又因为CE ?平面BCED ，
所以EP CE ⊥.…………………………………………………………………………7分 以E 为坐标原点，分别以ED ，EC ，EP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.…………………………………………………………………8分
在题图1中，设2BC a =，则4AB a =
，AC =
，AE CE ==，DE a =.
则()
P ，(),0,0D a
，(),0C
，()
2,0B a .
所以()
DP a =-，()2,0,0BC a =-
，()
0,CP =.……………9分 设(),,n x y z =为平面BCP 的法向量，
则0,0,
n BC n CP ??=???=??
，即20,0.ax -=???=??
令1y =，则1z =.所以()0,1,1n =.…………………………………………………11分 设DP 与BCP 平面所成的角为θ，
则sin sin ,cos ,2n DP
n DP n DP n DP
θ?===
=
=
. 所以直线DP 与平面BCP
所成角的正弦值为
4
…………………………………12分
9.解：（1）由题意知：1410≤≤n ，所以的取值为10，11，12，13，14，………1分
代入20
10n
a y -
=，可得()()()()()17.01065.0106.01055.0105.010=-+-+-+-+-a a a a a ，………………3分
解得08.0=a .……………………………………………………………………………4分 （2）由（1），得1.0,15.0,2.0,25.0,3.0=y ，频率分布直方图如图：……………6分
这40名新生的高考数学分数的平均数为
12010.014515.013520.012525.011530.0105=?+?+?+?+?. (8)
分
（3）由题意可知，4,3,2,1,0=ξ，且“高考数学分数不低于130分”的概率为
25.01.015.0=+，所以ξ～??
? ??41,4B ……………………………………………………10分
所以()14
1
4=?
=ξE .…………………………………………………………………12分 10.（1）解：根据题意知，a py 24=，①……………………………………………1分 因为2=AF ，所以22
=+
p
y a .②. …………………………………………………2分 联立①②解的1=a y ，2=p .………………………………………………………… 4分 所以E 的方程为y x 42=.………………………………………………………………5分 （2）证明：方法一，设()11,y x B ，()22,y x M .由题意，可设直线BM 的方程为
b kx y +=，代入y x 42=，得0442=--b kx x .
（3）由根与系数的关系.得k x x 421=+，b x x 421-=.③…………………………6分 由x MP ⊥轴及点P 在直线3-=x y 上，得()3,22-x x P ， 则由A ，P ，B 三点共线，得
2
1
241122--+=--x b kx x x ，………………………………8分 整理，得()()()06214212121=--++---b x b x k x x k .
将③代入上式并整理，得
()()03221=-+-b k x . ……………………………………………………………………10分
由点B 的任意性，得032=-+b k ，所以()3223+-=-+=x k k kx y .
即直线BM 恒过定点()3,2. ……………………………………………………………12分
方法二，设()3,-t t P ，???
?
??4,2n n B ，
则???? ??4,2t t M ，???
?
??--=14,22n n AB ，()4,2--=t t AP .…………………………6分
由A ，B ，P 三点共线，得AP AB ∥，
即()()()0214422=-???
? ??----t n t n ，即()()012222=--+-tn n t n .…………8分
当2=n 时，点B 坐标为()1,2，与()1,2A 重合，不合题意； 当2≠n 时，01222=--+tn n t ， 整理，得
32
4-+=n t nt .③ 因为4
442
2t n n t n t k BM
+=--=
， 所以直线BM 的方程为()t x t
n t y -+=
-442. ……………………………………10分 结合③.得()4
442t t n t x t n y +-++= 44nt x t n -+= 324++-+=n t x t n ()324
+-+=
x t
n ， 所以直线BM 恒过定点()3,2. ………………………………………………………12分 21.（1）证明：当1=a 时，()1--=x e x f x
，则()1-='x
e x
f .………………1分
由()0='x f .得0=x .
当0
所以函数()x f 在区间()0,∞-内是减函数。在区间()+∞,0内是增函数，………3分 所以0=x 是()x f 的极小值点，也是最小值点.且()()00min ==f x f ，
故当1=a 时.()0≥x f 恒成立.………………………………………………………5分 （2）解：据题意，得()1-='ax ae x f .
①当0≤a 时，()0<'x f 恒成立.则函数()x f 在R 上是减函数。
又()00=f ，所以函数()x f 有且只有一个零点. …………………………………6分 ②当0>a 时.由()0='x f ，得a
a x 1ln 1=. 当a
a x 1
ln 1<时，()0<'x f ； 当a
a x 1
ln 1>
时，()0>'x f ， 所以()x f 在区间??? ??∞-a a 1ln 1,内是减函数，在区间??
?
??+∞,1ln 1a a 内是增函数。 所以a
a x 1
ln 1=
是函数()x f 的极小值点，也是最小值点， 即()11
ln 111ln 1min --=???
?
?=a a a a a f x f .…………………………………………7分 令()()01ln >--=t t t t t h ， 则()()t t t h ln ln 11-=+-='， 当1=t 时，()0='t h ； 当10<
所以函数()t h 在区间()1,0内是增函数，在区间()+∞,1内是减函数， 从而1=t 是函数()t h 的极大值点.也是最大值点，所以()()01=≤h t h ， 即()011
ln 11min ≤--=a
a a x f （当且仅当1=a 时取等号）………………………9分 当()011
ln 11min =--=a
a a x f ，即1=a 时，函数()x f 只有一个零点…………10分 当()011
ln 11min <--=a
a a x f ，即0>a ，且1≠a 时，分1>a 和10< （i ）当1>a 时，01 ln 11<<-a a ，因为()()0111>=---=-ax ax e e f ，所以()x f 在区间?? ? ??∞-a a 1ln 1, 内有一个零点；又()00=f ，因此()x f 有两个零点. （ii ）当10< 01 ln 1>a a ； 由（1），得1+≥x e x .即()1ln +≥x x ，亦即1ln -≤x x . 令a x 2= .则得122ln -≤a a ，即?? ? ??--≥-122ln a a ， 所以0121122212ln 22ln 22 2 ln 2>-=-?? ? ??--??? ??≥--=??? ??a a a a a a e a a f a ， 所以()x f 在区间?? ? ??+∞,1ln 1a a 内有一个等点. 又()00=f ， 因此函数()x f 有两个零点.
- 河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题Word版含答案
- 河北省衡水中学2019届高三期中考试地理试卷(带答案)
- 河北省衡水中学2019届全国高三统一联合考试理科综合试题(图片版,无答案)
- 河北省衡水中学2019届高三上学期期末考试理科数学(解析版)
- 河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试 数学理试卷
- 河北省衡水中学2019届高三年级五调考试地理试卷(带答案)
- 河北省衡水中学2019届高三上学期期末数学(文)试题(解析版)
- 100所名校河北省衡水中学2019届高三高考模拟文综地理试卷
- 【解析版】河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试卷
- 河北省衡水中学2019届全国高三统一联合考试理科综合试题
- 2019届河北省衡水中学全国高三统一联合考试理科综合化学试卷及答案
- 河北省衡水中学2019届高三上学期一调英语试题(原卷版)
- 河北省衡水中学2019届全国高三统一联合考试理科综合试题(物理部分)
- 河北省衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考英语试卷
- 河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学文试卷
- (完整word版)河北省衡水中学2019届高三模拟考试理综试题.docx
- 河北省衡水中学2019届高三第一次调研考试(语文)
- 河北省衡水中学2019届高三第一次调研考试(英语)
- 河北省衡水中学2019届高三模拟考试理综试题
- 河北省衡水中学2019届全国高三统一联合考试理科综合试题(生物部分)