【全国市级联考】安徽省淮南市2021届高三第二次模拟考试理科数学试题

【全国市级联考】安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试

理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1

．设集合{|A x y ==

，集合{|1g(8)}B x y x ==-，则A B = ( ) A ．{|2}x y ≤

B ．{|2}x x <

C ．{|3}x x ≤

D ．{|3}x x < 2．复数

23i i +的共轭复数是(,)a bi a b R +∈，i 是虚数单位，则ab 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．-1 D ．-6

3．命题p ：若向量a b ?＜0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cosα?cosβ=1，则sin （α+β）=0．下列命题为真命题的是（ ）

A ．p

B ．q ￢

C ．p q ∧

D ．p q ∨ 4．已知等比数列{}n a 中，52a =，688a a =，则

2018201620142012a a a a -=-（ ） A ．2 B ．4 C ．6

D ．8 5．如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入以

91,56m n ==，则输出m 的值为( )

A ．0

B ．3

C ．7

D ．14

6

．设不等式组0x y x y y ?-≤??+≥-??≤??

M

，函数y =x 轴

所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ）

A ．4π

B ．8π

C ．16π

D ．2π

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A ．11

B ．9

C ．7

D ．5 8．把函数sin 46y x π?

?=- ???

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图象，已知函数()g x = ()211,1213321,12f x x a x x a x ππ

?-≤≤????--<≤??

，则当函数()g x 有4个零点时a 的取值集合为( )

A ．51,123π??--? ??? 713,1,121212πππ????? ? ?????

B ．51,123π??--????? 713,1,121212πππ?????????????

C ．51713,,1231212πππ????--?????????

D ．51,,112312ππ????--?????????

9．若直线0(0)x ky k +=≠与函数2(21)(12sin )()21

x x x f x --=+，[,]44x ππ∈-图像交于异于原点不同的两点,A B ，且点(9,3)C ，若点(,)D m n 满足DA DB CD +=，则m n +=( )

A ．k

B ．2

C ．4

D ．6

10．在平面四边形ABCD 中，2AD AB ==

，CD CB ==AD AB ⊥，现将

ABD ?沿着对角线BD 翻折成A BD '?，

则在A BD '?折起至转到平面BCD

内的过程中，

直线A C '与平面BCD 所成角最大时的正弦值为（ ）

A

B

C ．12 D

．2

11．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，分别过A B 、作准线的垂线，

垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-=

B ．22(1)(1)17x y +++=

C ．22(1)(2)26x y +++=

D ．22(1)(2)2x y ++-=

12．已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++，实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x ∈R 恒成立，则cos p r q +的值为( )

A ．-1009

B ．0

C ．1009

D ．2018

二、填空题

13．在ABC ?中，三顶点的坐标分别为(3,)A t ，(,1),(3,1)B t C ---，

ABC ?为以B 为直角顶点的直角三角形，则t =__________．

14．已知随机变量X 的分布列如下表，又随机变量23Y X =+，则Y 的均值是

__________．

15．已知22

cos a xdx ππ-=?

，则二项式6x ?+ ?展开式中的常数项是_____________． 16．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的2,,,n n n n N a S a +∈成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()2

ln n n n x b a =，若对任意的实数(]1,x e ∈（e

是自然对数的底）和任意正整数n ，总有()n T r r N +<∈．则r 的最小值为__________．

三、解答题

17．如图，在ABC ?中， 2AB =，23sin 2cos 20B B --=，且点D 在线段BC 上

.

(1)若34

ADC π∠=

，求AD 的长；

(2)若2BD DC =，sin sin BAD CAD ∠=∠ABD ?的面积. 18．在多面体 ABCDEF 中， AF AD ⊥，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90,DAB AB CD ∠=，2AD AF CD ===，4AB =.

(1)求证:平面ACE ⊥平面BCE ；

(2)求二面角C AE D --的余弦值.

19．大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史．皖北多平原地带，黄河故道土地肥沃，适宜种植大豆．2021年春，为响应中国大豆参与世界贸易的竞争，某市农科院积极研究，加大优良品种的培育工作．其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系．为此科研人员分别记录了5天中每天100粒大豆的发芽数得如下数据表格:

科研人员确定研究方案是:从5组数据中选3组数据求线性回归方程，再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验.

(1)求剩下的2组数据恰是不相邻的2天数据的概率；

(2)若选取的是4月5日、6日、7日三天数据据此求y 关于x 的线性回归方程

y bx a =+；

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请检验(Ⅱ)中回归方程是否可靠？

注：1

21()?()()n i i

i n i

i x x y y b x x ==-?-=-∑∑ 1221n i i i n i i x y n x y x n x ==--??=-?∑∑，??a y b

x =-?. 20．设,,,P Q R S 是椭圆22

22:x y M a b

+=1(0)a b >>的四个顶点，菱形PQRS 的面积与

其内切圆面积分别为367π.椭圆M 的内接ABC ?的重心(三条中线的交点)为坐标原点O .

(1)求椭圆M 的方程；

(2) ABC ?的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

21．已知函数()1n 1

a f x x x =+-. (1)若函数()f x 在(,)e +∞内有极值，求实数a 的取值范围；

(2)在(1)的条件下，对任意(1,)t ∈+∞，(0,1)s ∈，求证: 1()()2f t f s e e ->+-. 22．已知直线l 的参数方程：1cos sin x t y t θθ

=+??=?（t 为参数)，曲线C

的参数方程：sin x y αα

?=??=??（α为参数)，且直线交曲线C 于,A B 两点. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求4π

θ=时， ||AB 的长度；

(2)巳知点(1,0)P ，求当直线倾斜角θ变化时， ||||PA PB ?的范围.

23．已知函数()21f x x x =--+

（Ⅰ）解不等式()0f x x +>．

（Ⅱ）若关于x 的不等式()2

2f x a a ≤-的解集为R ，求实数a 的取值范围．

参考答案

1．C

【解析】

分析：先化简集合A 和集合B,再求A B ?.

详解：由题得A={x|x≤3}，B={x|x<8},所以{|3}A B x x ?=≤.故答案为：C

点睛：（1）本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)解答集合的问题，先要看“|”前的元素的一般形式，本题中“|”前是“x ”，所以集合的元素是x,代表的是函数的定义域，不是值域.

2．A

【解析】

分析：先根据已知求出a 和b,再求ab 的值. 详解：23i i

+=3-2i,所以它的共轭复数是3+2i ，所以a=3,b=2. 所以ab=2×

3=6，故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为.z a bi =-

3．D

【解析】

分析：命题p ：若向量0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角或平角，即可判断出真假；命题q ：若cosα?cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k 1π，β=2k 2π，或α=

（2k 1﹣1）π，β=（2k 2﹣1）π，k 1，k 2∈N *．可得sin （α+β）=0．即可判断出真假． 详解：命题p ：若向量0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此为假命题；

命题q ：若cosα?cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k 1π，β=2k 2π，

或α=（2k 1﹣1）π，β=（2k 2﹣1）π，k 1，k 2∈N *．则sin （α+β）=0．为真命题． 下列命题为真命题的是p ∨q ，其余为假命题．

故答案为：D

点睛：（1）本题主要考查了向量夹角与数量积的关系、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.(2) 若向量0a b ?<，则非零向量a 与非零向量b 的夹角为钝角或平角，因为当两个向量的夹角为平角时，

cos 0a b a b a b π?==-<，不能说非零向量a 与非零向量b 的夹角为钝角. 4．A

【解析】

∵数列{}n a 是等比数列，∴2

6878a a a ==，7a =5a 同号），∴275

a q a ==

从而422018201620142012

2a a q a a -===-． 故选A ．

5．C

【解析】

本程序是求输入两数的最大公约数，而91与56的最大公约数是7，所以输出为7． 故选C ．

6．A

【解析】

由题意知区域M 为ΔABC 内部，其面积为182S =

?=，区域N 为半圆，面积为211222S ππ=??=，∴所求概率为284

P ππ==． 故选A ．

7．D

【解析】

由三视图知，该几何体如图，它可分成一个三棱锥E －ABD ，和一个棱锥B －CDEF ，

尺寸见三视图，1113321235323

V =

????+???=. 故选D.

8．B

【解析】

分析: 通过三角函数的平移变化规律求解f （x ），对g （x ）分段函数讨论零点情况，即可求解函数g （x ）有4个零点时a 的取值集合．

详解: 函数sin 46y x π??=- ??

?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得sin 26y x π??=-

???即f （x ）= sin 26x π??- ???． 当1112x a π-≤≤ 时，可得2x ﹣6π∈[﹣2π，2a-]6

π，若f （x ）=sin （2x ﹣6π）有4个零点，

则f （x ）=3x 2﹣2x ﹣1在（a ，1312

π]上没有零点， 则211223,6

713()321012

12a a a f a a a a πππππ?-??≤-≤??∴????=-->≤

π）． 若f （x ）=sin （2x ﹣

6π）有3个零点，则f （x ）=3x 2﹣2x ﹣1在（a ，1312π]上有1个零点，

则211023,67()321012

12a a f a a a a ππππ?-<

即a 取值范围是[12π

，1）．

若f （x ）=sin （2x ﹣

6π）有2个零点，则f （x ）=3x 2﹣2x ﹣1在（a ，1312

π]上有2个零点， 则211203,6

5()3210-12

12a a a f a a a a ππππ?-??-≤-≤

512

π，1-3）． 综上可得a 取值范围是[﹣512π，1-3）∪[12π，1）∪[712π，1312π）． 故答案为：B

点睛: (1) 本题主要考查了正弦型三角函数的图象零点和二次函数的零点，意在考查学生第这些知识的掌握水平和分类讨论数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是想到分类讨论，分成三种情况讨论，再数形结合分析推理.

9．C

【解析】

分析：由直线x+ky =0过原点，函数f （x ）是定义域R 上的奇函数；知直线x+ky =0与函数f （x ）图象的交点A ，B 关于原点对称，得出2DA DB DO +=，再由向量相等列方程组求出m 、n 的值，再求m+n ．

详解：直线x+ky=0，∴y=﹣1k

x ，直线过原点； 又函数f （x ）=()()()22112sin 21x x x

f x --=+=()212 21x x cos x -+，

且f （﹣x ）=(21)cos(2)(21)cos(2)(),2121

x x x x x x f x -----=-=-++ ∴f （x ）是定义域R 上的奇函数；

由直线x+ky=0（k≠0）与函数f （x ）的图象交于不同的两点A ，B ，

则A 、B 关于原点对称，∴2DA DB DO +=，

又点C （9，3），DA DB CD +=，

∴2CD DO =，

即（m ﹣9，n ﹣3）=（﹣2m ，﹣2n ），

∴9232m m n n

-=-??-=-?，解得31m n =??=?， ∴m+n=4．故答案为C

点睛：（1）本题主要考查了奇函数的性质与平面向量的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是先要研究函数f(x)的奇偶性，后面才能迎刃而解.研究函数的问题，要联想到利用函数的性质（奇偶性、单调性和周期性）来分析解答问题.

10．D

【解析】

设AC 与BD 交于点O ，由于AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以AC ⊥BD ，因此在折叠过程中，A’C 在平面ACD 内的射影是CO ，所以'A CO ∠是直线A’C 与平面BCD 所成的角，由已知可得

OA ＝OA’，OC ＝2，易知在'A OC ?中，当''OA A C ⊥时，'A CO ∠最大，且

'sin '2

A O A CO OC ∠=

= 故选D ．

11．A

【分析】 假设直线AB 方程，与抛物线联立后，利用韦达定理求解出12y y +和12y y ；再利用C 在圆上得到A C '与B C '垂直，构造方程解出m ，从而求解出圆心和半径，得到圆的方程.

【详解】

由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-

设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my --=

设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y

又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴?=

即()()()()1211330y y -?-+--= ()12121030y y y y ?-++=

即101240m -+= 12

m ?=

∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=

本题正确选项：A

【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系、圆的方程的求解，关键在于能够利用直线与抛物线的关系得到圆心坐标，再利用圆的性质求解出参数，从而顺利求解出方程.

12．B

【解析】

分析：由题意pf （x ）+qf （x+r ）=2018对任意的实数x ∈R 恒成立，说明与x 无关，只需令p=q ，r=π即可求解．

详解：由题意pf （x ）+qf （x+r ）=2018对任意的实数x ∈R 恒成立,与x 无关，

令p=q ，r=π．代入可得：pf （x ）+qf （x+π）=2018．

p （3sinx+4cosx+1）+q （﹣3sinx ﹣4cosx+1）=2018．

p+q =2018．即p=q=1009，

则pcosr+q=1009cosπ+q=0，

故答案为：B

点睛：（1）本题主要考查了三角恒等变换和恒成立问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题恒成立利用了赋值法，这是一种常用的技巧. 13．3

【解析】

分析：利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

详解：AB =（t ﹣3，﹣1﹣t ），BC =（﹣t ﹣3，0），

∵△ABC 为以B 为直角顶点的直角三角形，

∴AB BC ?=（t ﹣3）（﹣t ﹣3）+0=0，解得t=±3．

t=﹣3时，点B ，C 重合，因此舍去．

故答案为3

点睛：（1）本题主要考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力.(2)本题

是一道易错题，容易填t=±

3，解答出双答案后，一定要注意检验，看是否与已知的每一个条件都相符.

14．73

【解析】 由已知1111236a =-

-=，X 的均值为11111263

EX =-?+?=-，∴Y 的均值为172()333

?-+=， 故答案为73． 15．240

【解析】

222cos sin 22

a xdx x π

ππ

π-===-?，

6(x +

展开式通项为36621662r r r r r r r T C x C x --+==， 令3602

r -=，4r =，∴常数项为4262240C =． 故答案为240．

16．2

【解析】

由题意22n n n S a a =+，当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，∴

2211122n n n n n n S S a a a a ----=+--，

∴11()(1)0n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴11n n a a --=，即数列{}n a 是等差数列，又2111122a S a a ==+，11a =，∴n a n =．又(1,]x e ∈，∴0ln 1x <≤，∴

22211111111231223

(1)n T n n n ≤++++<++++??-1111111(1)()()22223

1n n n

=+-+-++-=-<-，∴2r ≥，即r 的最小值为2． 故答案为2． 点睛：本题考查数列的综合应用，首先题意翻译为22n n n S a a =+，这是常见的已知数列前n

项和n S 与项n a 的关系式，宜采取常用方法，由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列的递推式，从而确定数列的通项公式，在不等式的证明中，由于牵涉到函数ln x ，因此证明的第一步利

用放缩法，去掉变量x ，即利用0ln 1x <≤

变形为222(ln )1n n n

x b a a =≤，放缩后可数列的和易求（本题利用裂项相消法），最终证明结论．

17．（1）83；（2

）3

【解析】

试题分析：

（I ）由已知求出cos B ，再得sin B ，在ABD ?中应用正弦定理可得AD ；

（II ）由BD ＝2DC ，利用三角形面积比得sin sin BAD CAD

∠=∠，从而可得AC ，再在ABC ?中利用余弦定理可得BC ，然后求得BD ，由面积公式得结论.

试题解析：

（I ）由23sin 2cos 20B B -

-=，可得23cos 2cos 10B B +-=，

所以1cos 3

B =或cos 1B =-（舍去）, 所以sin 3B =

, 因为34ADC π∠=

，所以4

ADB π∠=, 由正弦定理可得：sin sin AB AD ADB B =∠，所以83

AD =. （II ）由2BD DC =，得2BAD CAD S S =，所以1sin 221sin 2AB AD BAD AC AD CAD ??∠=??∠,

因为sin sin BAD CAD

∠=∠2AB =，所以AC =由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-??,

可得6BC =或143BC =-

（舍去）, 所以：4BD =，

所以1sin 2ABD S AB BD B ?=???= 124233

???=.

18．（1）见解析；（2 【解析】 分析：（1）先证明AC ⊥面BCE ，再证明平面ACE ⊥平面BCE .(2)直接利用几何法求二面角 C AE D --的余弦值.

详解：(1)证明：AF AD AF AF AB ⊥??⊥?⊥?

面ABCD ，故AF AC ⊥， 又BE AF ，所以BE AC ⊥①，

在直角梯形ABCD 中， 4,AB AC ==4BAC π∠=，可得BC =由222BC AC AB +=知AC BC ⊥②，

由①②知: AC ⊥面BCE ，进而面ACE ⊥面BCE . (2)设点C 到面ADE 的距离为d ，点C 到直线AE 的距离为h ，

记二面角C AE D --的平面角为θ，

由

E ADC C ADE V V --=，即111222323????= 122

d ???得d =.

在△ACE 中，AC =CE=AE h =∴=

解之得

h =，

则sin

d h θ==，进而cos 6

θ=，

即二面角C AE D --

. 点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力.(2) 二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式?cos m n

m n α=±（其中,m n 分别是两个

平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）

19．（1）35

；（2）38y x =-；（3）得到的线性回归方程是可靠的 【解析】

分析：（1）利用对立事件的概率公式求恰好是不相邻的2天数据的概率.(2)利用最小二乘法

求y 关于x 的线性回归方程为?38y

x =-.（3）检验即可得解. 详解：(1)恰好是不相邻的2天数据的概率是354315

C -

=. (2)由数据得1112613n i

i i x y ==?+∑ 3212261014?+?=；

()1111312123x =++=，()1263226283

y =++=，3312x y ?=? 281008?=；

1n i i i x y nx y =∴-?=∑ 1

3n

i i i x y x y =-?∑ 101410086=-=，

22211113n i

i x ==+∑ 212434,3x += 2312432=?=； 2

2

1n i i x n x =∴=?=∑ 2213n

i i x x =-?=∑ 4344322-=， 1221?n i i i n i i x y n x y

b x n x ==-??∴=-?∑∑ 122133n

i i i n i i x y x y x x ==-??=-?∑∑ 632==； ?28a

y bx =-= 3128-?=-，故y 关于x 的线性回归方程为?38y x =-.

(3)当10x =时，3?38y

x =-=? 10822-=，22231-≤； 当8x =时，8?33y

x =-= 8816?-=，16161-≤， 故得到的线性回归方程是可靠的.

点睛：本题主要考查概率的求法，考查回归方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力.

20．（1）22

1129

x y +=；（2）272 【解析】

试题分析：

（I ）由内切圆面积得半径，即为原点到直线PQ

=，又四边形

PQRS 的面积为1222

a b ??，从而可得2ab =,a b 得椭圆方程； （II ）可先求特殊情形下的三角形面积，即AB 斜率不存在时，C 为椭圆的左（右）顶点，求得面积为272

；当AB 斜率存在时，设方程为y kx m =+，代入椭圆方程，并设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，利用O 是ABC ?的重心，得

()OC OA OB =-+表示出C 点坐标，把C 点坐标代入椭圆方程求得,m k 的关系式为224129m k =+，由圆锥曲线中的弦长公式求得弦长AB ，求出C 点到直线AB 的距离，从而得三角形ABC 的面积，代入刚才的关系式可得272S =

，因此结论为存在． 试题解析：

（Ⅰ）∵菱形PQRS 的面积与其内切圆面积分别为367

π

= 1

222

S a b =??=， 联立解得212a =，29b =，

故所求椭圆M 的方程为22

1129

x y +=.

（Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时，

∵O 为ABC ?的重心，∴C

为椭圆的左、右顶点，不妨设()C -，

则直线AB

的方程为x =

AB =C 到直线AB

的距离d = ∴12722

ABC S AB d ?==． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立221129

y kx m x y =+???+=??，得()2223484360k x kmx m +++-=， 则()()222264434436k m k

m ?=-+- ()

22481290k m =+->． 即22129k m =>， 122834km x x k -+=+，212243634m x x k

-=+， ∴()12122

6234m y y k x x m k +=++=+． ∵O 为ABC ?的重心，∴()2286,3434km m OC OA OB k k -??=-+=

?++??， ∵C 点在椭圆1C 上，故有22228634341129

km m k k -???? ? ?++????+=

，

化简得224129m k =+．

∴AB =

=

又点C 到直线AB

的距离d =d 是原点到AB 距离的3倍得到）．

∴12ABC S AB d ?=?=

22723

m ==． 综上可得，ABC ?的面积为定值272

． 点睛：圆锥曲线中平面图形面积问题，如果平面图形不是三角形，常常须将其分割为几个三角形，然后利用弦长公式求出三角形的一边长，再由点到直线距离公式求得三角形的高，其边的长和高常常利用直线的斜率表示，从而确定平面图形的面积是否为定值．

21．（1）12a e e

>+

-；（2）见解析 【解析】

分析：（1）先求导()f x '()211a x x =-- ()()22211x a x x x --+=-，再转化为()()221h x x a x =-++有两 个不同的实根12,x x ，而且一根在区间(),e +∞上，再分析得a 的取值范围.(2)先求()f x 在()1,+∞上最小值()2f x ，()f x 在()0,1上有最大值()1f x ，得到()()()()21f t f s f x f x ，-≥-再构造函数证明.

详解：（1）由定义域为()()0,11,?+∞.()21 1a x x =-- ()()

22211x a x x x --+=- 设()()2

21h x x a x =-++，要使()y f x =在(),e +∞上有极值. 则()()2

21h x x a x =-++有两个不同的实根12,x x ， ()2

240a ∴?=+-> 0a ∴>或4a <-①

而且一根在区间(),e +∞上，不妨设1x e >，又因为121x x ?=，1210x e x e

∴<<<<， 又()01h =，

∴只需10h e ??< ???，即()211210a e e -++<，112a e e e ∴>>+-②

联立①②可得: 12a e e

>+-. (2)证明:由(I)知，当()21,x x ∈ ，()0f x '<，()f x ∴单调递减，

()2x x ∈+∞时， ()0f x '>，()f x 单调递增，

()f x ∴在()1,+∞上有最小值()2f x ，

即()1,t ?∈+∞，都有()()2f t f x ≥.

又当()10,x x ∈，()0f x '>，()f x ∴单调递增，当()()

1,,10x x f x '∈<， ()f x ∴单调递减，

()f x ∴在()0,1上有最大值()1f x 即对()0,1s ?∈，都有()()1f s f x ≤.

又122x x a +=+，121x x =，110,x e ??∈ ???

，()2,x e ∈+∞. ()()()()21f t f s f x f x ∴-≥- 2121n 1n 1a x x x =+

--- 2111n 1x a x x =+- 2111

a a x x --- 22222

11n ()x x x e x =+> 设()211n k x x x x =+- 121n (0)x x x x

=+->， ()22110k x x x

∴=++>'， ()k x ∴在(),e +∞上单调递增， ()()12k x k e e e

∴>=++. ()()12f t f s e e

∴->+-. 点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值最值和利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是求出

()()()()21f t f s f x f x -≥- 2222211n ()x x x e x =+>，其二是设()211n k x x x x

=+- 121n (0)x x x x =+->，证明()()12k x k e e e

>=++.