2018年全国2卷文科数学十年真题分类汇编9_圆锥曲线

9 圆锥曲线

一．基础题组

1. 【2013课标全国Ⅱ，文5】设椭圆C ：(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的

点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】：D

∴，∴

2. 【2012全国新课标，文4】设F 1，F 2是椭圆E ：(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】C 【解析】设直线与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，，故，解得，故离心率． 3. 【2010全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它

22

22=1x y a b

+6131

2

33

2a x =

=c e a ===

22221x y a b +=32

a x =

1223344

5

32

a

x =

232a F M c =-223

12cos6022a c

F M PF c -?===34c a =3

4

e =

的离心率为( ) 【答案】D

【解析】＝＝e ＝. 4. 【2006全国2，文5】已知的顶点B 、C 在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且

椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则的周长是( ) （A ） （B ）6 （C ） （D ）12 【答案】C

【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△

ABC 的周长为，所以选C.

5. 【2005全国2，文5】抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为（ ）

(A) 2 (B) 3

(C) 4

(D) 5

【答案】D

6. 【2005全国2，文6】双曲线的渐近线方程是（ ） (A)

(B)

(C)

(D)

【答案】C

【解析】由题意知：，∴双曲线的渐近线方程是.

7. 【2017新课标2，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

6565b a 2412222

c a a

－2

1e －52ABC ?2

213

x y +=ABC ?233443a =24x y =A A 22

149

x y -

=2

3

y x =±4

9

y x =±3

2

y x =±9

4

y x =±2,3a b ==22

149x y -=32

y x =±1a >2

221x y a

-=2,)+∞2,2)2)(1,2)

【解析】由题意，因为，所以，则

C. 【考点】双曲线离心率

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

8. 【2015新课标2文数】已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．

【答案】

【解析】

【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.

【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程

,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是在y 轴上.一般的结论是：

以为渐近线的双曲线的方程可设为.

二．能力题组

1. 【2014全国2，文10】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则 （ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

【答案】C

【解析】由题意，得．又因为

AB 的方程为，与抛物线222

222

11

1c a e a a a +===+

1a >21112a <+<1e <<,,a b c ,,a b c ,a c ,,a b c (1

2

y x =±2

214

x y -=()0,0b

y x a b a

=±>>()22220x y m m a b -=≠F 2

:=3C y x F 30?C A B AB =3

123(,0)4

F 0

k tan 30==

3

y )4

=

-

联立，得，设，由抛物线定义得，

，选C ． 2. 【2013课标全国Ⅱ，文10】设抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )． A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1 B ．y

或y ＝ C ．y ＝

或y

＝ D ．y ＝

或y ＝ 【答案】：C

设|AM |＝|AF |＝

3t (t ＞0)，|BN |＝|

BF |＝t ，|BK |＝x ，而|GF

|＝2， 在△AMK 中，由

，得

，

解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝

， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率k

y

．

当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为

y ＝，故选C.

2=3y x 21616890x x -+=1122(x ,y ),(x ,y )A B 12x x AB p =++=1683

12162

+=1)x -1)x -(1)3x -(1)3x --(1)2x -(1)2

x --||||||||NB BK AM AK =34t x

t x t

=+||1

||2

NB t BK x ==1)x －1)x －

3. 【2012全国新课标，文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2

＝16x 的准线交于A ，B 两点，

C 的实轴长为( ) A

B ．

C ．4 D

．8 【答案】

C

4. 【2006全国2，文9】已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )

（A ）

（B ） （C ） （D ） 【答案】A

【解析】双曲线的一条渐近线方程为，与相同，∴，

∴. 5. 【2005全国3，文9】已知双曲线的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且则点M 到x

轴的距离为

（ ）

A ．

B ．

C

D

【答案】C

||AB =22

221x y a b

-=43y x =5343543

2

22221x y a b -=b y x a =4

3

y x =3,4a t b t ==5

3

c

e a

a ==

=12

2

2

=-y x 120,MF MF ?=u u u u r u u u u r 4

35

3

∴. 6.【2017新课标2，文12】过抛物线的焦点

于点（在的 轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为

A

B

．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】由题知，与抛物线联立得

，解得， 所以，因为，所以，因为，所以. 所以到直线

【考点】直线与抛物线位置关系

【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法. 7.【2016新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2

=4x 的焦点，曲线y =

（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =

（A ）

（B ）1 （C ） （D ）2 【答案】D 【解析】

试题分析：因为是抛物线的焦点，所以， 又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D. 1212||||23

||323

MF MF d F F =

==

2

:4C y x =F C M M C N MN l ⊥M NF :1)MF y x =

-24y x =231030x x -+=121

,33

x x =

=(3,M MN l ⊥(1,N -(1,0)F :1)NF y x =-M NF =k

x

123

2

F 2

4y x =(1,0)F (0)k y k x =

>C P PF x ⊥21

k

=2k =

【考点】 抛物线的性质，反比例函数的性质

【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对于函数y =

，当时，在，上是减函数，当时，在，上是增函数.

三．拔高题组

1. 【2010全国2，文12】已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)

F 且斜率为

k (k ＞0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若

＝3，则k 等于(

)

A ．．2 【答案】：B

又∵＝3，

∴＝3，

∴|AA 1|＝

， ∴|AM |＝|AA 1|－|MA 1|＝|AA 1|－|BB 1|＝

，而|AB |＝|AF

|＋|FB |＝4|FB |， 在Rt △BAM 中，cos ∠BAM ＝＝＝＝，

k

x

(0)k ≠0k >(,0)-∞(0,)+∞0k <(,0)-∞(0,)+∞22x a 22y b AF u u u r FB u u u r

AF u u u r FB u u u r AF u u u r FB u u u r 3FB

e

2FB

e

AM AB 24FB

e FB

1

2e 3

∴sin ∠BAM

k ＝tan ∠

BAM . 2. 【2007全国2，文11】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】：D

3. 【2007全国2，文12】设F 1,F 2分别是双曲线的左右焦点，若点P 在双曲线上,且，则( )

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】：B

【解析】∵，∴，∴， ∴.

4. 【2006全国2，文11】过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】D 【解析】

133

3

2

12

319

2

2

=-y x 120PF PF ?=u u u r u u u u r 12||PF PF +=u u u r u u u u r

1010255212

0PF PF ?=u u u r u u u u r 12PF PF ⊥22

1212||||4(19)40PF PF F F +==+=12||PF PF +=2

1y x x =++220x y ++=330x y -+=10x y ++=10x y -+=

5. 【2005全国3，文10】设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

（ ）

A

B

C ． D

【答案】

D

6. 【2010全国2，文15】已知抛物线C ：y 2

＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)

l

相交于点A ，与C

的一个交点为B ，若＝，则p

＝________.

【答案】：2 【解析】：l ：x ＝－

，过M (1,0)y (x －1)，联立得

解得∴A (－

(＋1))． 又∵＝，∴M 点为AB 的中点．∴B 点坐标为(

＋2

＋1))． 213AM u u u u r MB u u u r

2

p

21)

p x y x ?=-??

?=-?21)2

p x p y ?=-????=+??2p 2p AM u u u u r MB u u u r

2p 2

p

将B(＋2

＋1))代入y2＝2px(p＞0)，得3(＋1)2＝

2p(＋2)，

解得p＝2或p＝－6(舍)．

7. 【2010全国2，文22】已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a＞

0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．

(1)求C的离心率；

(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明过A

、B、D三点的圆与x轴相切．×＝1，即b2＝3

a2，②

故c＝2a，所以C的离心率e＝＝2.

(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，

A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0，

故不妨设x1≤－a，x2≥a.

|BF|＝a－2x1，

|FD|＝2x2－a.

2

p

2

p

2

p

2

p

2

2

x

a

2

2

y

b

1

2

2

22

4a

b a

-

c

a

2

43

2

a

+