苏教版数学高二-《新学案》 选修1-1教学案 1.3.2含有一个量词的命题的否定
1.3.2含有一个量词的命题的否定
教学过程
一、问题情境
对于下列命题:
(1)所有的人都喝水;
(2)存在有理数x,使x2-2=0;
(3)对所有实数a,都有|a|≥0.
问题1上述命题属于什么命题?
解都是含有量词的命题,(1)(3)是全称命题,(2)是存在性命题.
问题2试对上述命题进行否定,你发现有何规律?
解命题(1)的否定为“并非所有的人都喝水”,换言之为“有的人不喝水”.命题否定后,全称量词变为存在量词,“肯定”变为“否定”.
命题(2)的否定为“并非存在有理数x,使x2-2=0”,即“对所有的有理数x,x2-2≠0”.命题否定后,存在量词变为全称量词,“肯定”变为“否定”.
命题(3)的否定为“并非对所有的实数a,都有|a|≥0”,即“存在实数a,使|a|<0”.
二、数学建构
一般地,“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M, p(x)”,
“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M, p(x)”.
三、数学运用
【例1】(教材第15页例1)写出下列命题的否定:
(1)所有人都晨练;
(2)?x∈R,x2+x+1>0;
(3)平行四边形的对边相等;
(4)?x∈R,x2-x+1=0.(见学生用书P11)
允许学生写出不同的否定形式,但最后要求学生统一到常见的格式.
解(1)“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”;
(2)“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是“?x∈R,x2+x+1≤0”;
(3)“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等,它的否定是“存在平行四边形,
它的对边不相等”;
(4)“?x∈R,x2-x+1=0”的否定是“?x∈R,x2-x+1≠0”.
含有量词的命题的否定应该有统一的形式.
【例2】写出下列命题的否定:
(1)实数的绝对值是正数;
(2)矩形的对角线互相垂直. (见学生用书P12)
引导学生首先将命题写成含有量词的形式.
解(1) 命题“实数的绝对值是正数”可改写成“所有实数的绝对值都是正数”,此命题是全称命题,所以此命题的否定为“存在一个实数的绝对值不是正数”.
(2)命题“矩形的对角线互相垂直”可改写成“所有矩形的对角线都互相垂直”,此命题是全称命题,所以此命题的否定为“存在一个矩形,它的对角线不互相垂直”.
对表面上不含有量词的命题的否定,首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定它是全称命题还是存在性命题.
【例3】写出下列命题的否定:
(1)若xy=0,则x=0或y=0;
(2)若x2+y2=0,则x=0,y=0. (见学生用书P12)
由学生列出所有可能情况,理解命题的否定的写法.
解(1) 命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否定为“若xy=0,则x≠0且y≠0”;
(2)命题“若x2+y2=0,则x=0,y=0” 的否定为“若x2+y2=0,则x≠0或y≠0”.
“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.
【例4】(1) 写出命题p“偶数能被4整除”的否定形式“ p”,并判断“ p”的真假;
(2)将命题“偶数能被4整除”改写成“如果……那么……”的形式,然后再写出它的否命题,并判断否命题的真假.
注意“命题的否定”和“否命题”是两个不同的概念.
解(1) 命题p“偶数能被4整除”可写成“所有的偶数都能被4整除”,此命题是全称命题,所以此命题的否定“ p”为“存在一个偶数不能被4整除”,它是真命题.
(2)命题“偶数能被4整除” 可写成“如果一个数是偶数,那么它能被4整除”,所以此命题的否命题为“如果一个数不是偶数,那么它不能被4整除”,它是真命题.
“命题的否定”是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假;而否命题和原命题可能同真同假,也可能一真一假.
四、课堂练习
1.写出下列命题的否定:
(1) ?x∈R,使得2x2-1<0;
(2) 有的三角形的外心在三角形外部;
(3) 有一个素数是偶数;
(4) 在实数范围内,有些一元二次方程无解.
解(1) ?x∈R,都有2x2-1≥0;
(2) 任意一个三角形的外心都在三角形内部;
(3) 每一个素数都不是偶数;
(4) 在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.
2.写出下列命题的否定:
(1) ?x∈Z,x2的个位数字不等于3;
(2) 三角形的两边之和大于第三边;
(3) 存在实数x,使lgx<1;
(4) 和为0的两个实数互为相反数.
解(1) ?x∈Z,x2的个位数字等于3;
(2) 存在这样的三角形,它的两边之和不大于第三边;
(3) 对任意的实数x,都有lgx≥1;
(4) 存在和为0的两个实数不互为相反数.
五、课堂小结
1.全称命题的否定:全称量词变存在量词,肯定变否定.
2.存在性命题否定:存在量词变全称量词,肯定变否定.