最新高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选
1
2 1.在直角坐标系xOy 中，点M
到点()1,0F
，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ．
5 ⑴求轨迹C 的方程；
6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．
7 【解析】 ⑴ 2214
x y +=．
8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ①
12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb
x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ②
13 且22
2
2
121212122
4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+，
14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．
17
将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．
18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65
b k =．经检验，都符合条件①
19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点．
21 即直线l 经过点A ，与题意不符．
22 当6
5b k =时，直线l 的方程为665
5y kx k k x ??=+=+ ??
?
．
23
显然，此时直线l 经过定点6
,05
??- ??
?
点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65
b k =，且直线l 经过定点6
,05??
- ???
25
26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半
27
轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程；
29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；
31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围．
33 【解析】 ⑴22
143
x y +=．
34
⑵ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
35 由22(4),1.4
3y k x x y =-??
?+=??得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①
36
设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 37 直线AE 的方程为21
2221
()y y y y x x x x +-=
--． 38 令0y =，得221221
()
y x x x x y y -=-
+． 39 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()
8
x x x x x x x -+=
+-．②
40
由①得21223243k x x k +=+，21226412
43
k x x k -=+代入②整理，得1x =．
41 所以直线AE 与x 轴相交于定点(10)Q ，．
42
⑶ 54,4?
?--???
?． 43
44
45 ３.设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，
46 12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率1
2
e =
，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭47 圆C 交于M N 、两点．
48 ⑴ 求椭圆C 的方程；
49 ⑵ 是否存在直线l ，使得2OM ON ?=-．若存在，求出直线l 的方程；
50
若不存在，说明理由．
51 【解析】 ⑴22
143
x y +=．
52 ⑵ 由题意知，直线l 与椭圆必有两个不同交点． 53 ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
54 ②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11()M x y ，，22()N x y ，．
55
由22
143(1)x y y k x ?+
=???=-?
，得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 56
2122834k x x k +=
+，2122
412
34k x x k -=+， 57
21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ?=+=+-++
58 2222
22
222
4128512(1)2343434k k k k k k k k k ---=+?-?+==-+++，
59
所以k =
60 故直线l
的方程为1)y x =-
或1)y x =-．
61 本题直线l 的方程也可设为1my x =-，此时m 一定存在，不能讨论，62 且计算时数据更简单．
63 64 65 ４.如图，椭圆()22122:10x y C a b a b
+=>>
x 轴被曲线22:C y x b
=-66 截得的线段长等于1C 的长半轴长．
67
⑴ 求12C C ，的方程；
68 ⑵ 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点
69 A B ，，直线MA MB ，分别与1C 相交与D E ，．
70 ①证明：MD ME ⊥；
71 ②记MAB MDE △，△的面积分别是12S S ，．问是否存在直线l ，使得
72 1217
32
S S =
?请说明理由． 73
【解析】 ⑴ 2
22114
x y y x +==-，．
74 ⑵ ①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，
75 则直线l 的方程为y kx =．
76 由2
1
y kx
y x =??
=-?得210x kx --=，
77 设()()1122A x y B x y ，，，，则12x x ，是上述方程的两个实根，于78 是12121x x k x x +==-，． 79 又点M 的坐标为()01-，， 80 所
以
81 ()()()2
12121212121212
111111MA MB
kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x +++++++?=?===-， 82 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．
83 ②设直线KM 的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，
84
由12
1
1y k x y x =-???
=-??
，解得0
1x y =??=-?
或1
2
1
1x k y k =???=-??，则点A 的坐标为85 ()211
1k k
-，．
86 又直线MB 的斜率为1
1
k -
，同理可得点B 的坐标为87 211111k k ??-- ???
，． 88
于是211111111||||||||22||
k S MA MB k k k +=?=-=．
89
由122
1440y k x x y =-???
+-=??
得()
22
111480k x k x +-=， 90
解得01x y =??=-?或12
1
2
12181441
14k x k k y k ?
=?+??-?=?+?
，则点D 的坐标为21122118411414k k k k ??- ?++??，； 91
又直线MB 的斜率为1
1
k -
，同理可得点E 的坐标92 21122118444k k k k ??
-- ?++??
，． 93
于是()()()
211222
11321||1
||||2144k k S MD ME k k +?=?=++． 94
因此2221111
22211(14)(4)14
4176464S k k k S k k ??++==++ ???
， 95
由题意知，
212114174176432
k k ??++=
???解得214k =或211
4k =． 96
又由点A B ，的坐标可知，21211111
111k k k k k k k -
==-+
，所以3
2k =±． 97
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32
y x =和
98 3
2
y x =-．
99 100 ５. 在直角坐标系xOy 中，点M
到点()1,0F
，)2,0F 的距离之和是4，101 点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 102 交于不同的两点P 和Q ．
103 ⑴ 求轨迹C 的方程；
104 ⑵ 当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．
105 【解析】 ⑴ 2
214
x y +=．
106 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 107 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 108 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 109 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ①
110 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122
814kb
x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 111 且22
2
2
121212122
4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+，
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