导数高考真题1及答案

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2018年09月03日一中的高中数学组卷

试卷副标题

考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号一二三总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

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评卷人得分

一．选择题（共9小题）

1．函数f（x）=的图象大致为（）

A．B．

C．D．

2．若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（）

A．﹣1 B．0 C．D．1

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3．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x

4．若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）

A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1

5．在数列{a

n }中，a

n

=（﹣）n，n∈N*，则a

n

（）

A．等于B．等于0 C．等于D．不存在

6．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）

A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2

7．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值围是（）

A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]

8．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3

9．设直线l

1，l

2

分别是函数f（x）=图象上点P

1

，P

2

处的切

线，l

1与l

2

垂直相交于点P，且l

1

，l

2

分别与y轴相交于点A，B，则△PAB

的面积的取值围是（）

A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）

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第Ⅱ卷（非选择题）

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评卷人得分

二．填空题（共14小题）

10．曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ．11．曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为．

12．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．

13．已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．

14．已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．

15．若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．

16．若曲线的切线l与直线平行，则l的方程为．

17．已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．

18．曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为．

19．已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值围是．

20．已知函数f（x）=（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．

21．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．

22．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．

23．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ．

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评卷人得分

三．解答题（共26小题）

24．已知函数f（x）=ae x﹣lnx﹣1．

（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．

25．已知函数f（x）=．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；

（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．

26．已知函数f（x）=e x﹣ax2．

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

27．已知函数f（x）=﹣lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=x

1，x

2

（x

1

≠x

2

）处导数相等，证明：f（x

1

）+f（x

2

）

＞8﹣8ln2；

（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

28．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值围．

29．已知函数f （x）=x3﹣a（x2+x+1）．

（1）若a=3，求f（x）的单调区间；

（2）证明：f（x）只有一个零点．

30．设函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值围．

31．已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x

1，x

2

，证明：＜a﹣2．

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32．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

33．已知函数f（x）=a x，g（x）=log

a

x，其中a＞1．

（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x

1，f（x

1

））处的切线与曲线y=g（x）在点（x

2

，

g（x

2））处的切线平行，证明x

1

+g（x

2

）=﹣；

（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．

34．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．

（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）证明：b2＞3a；

（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，数a的取值围．

35．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥0，求a的取值围．

36．已知函数f（x）=e x cosx﹣x．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

37．已知函数f（x）=ax3﹣3（a+1）x2+12x．

（1）当a＞0时，求f（x）的极小值；

（Ⅱ）当a≤0时，讨论方程f（x）=0实根的个数．

38．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x

0，且e﹣2＜f（x

）＜2﹣2．

39．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；

（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值围．

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40．已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．

41．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值围．

42．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．

43．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）有一个零点x

，g（x）为f（x）的导函数．

（Ⅰ）求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m∈[1，x

0）∪（x

，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x

）﹣f（m），求

证：h（m）h（x

）＜0；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，

x 0）∪（x

，2]，满足|﹣x

|≥．

44．设函数f（x）=（1﹣x2）e x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值围．

45．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

46．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x

0，y

）处有相同的切线，

（i）求证：f（x）在x=x

处的导数等于0；

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