广东海洋大学高数(1)-14-15-2(A)答案.doc
GDOU-B-11-302
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试
题
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5
页
加
白
纸
3
张
广东海洋大学2014—2015学年第二学期
《高等数学》课程试题
国考试QA卷Q闭卷
课程号:19221101x2
一?填空(3X8=24分)
1.设。={1,2,-1},5 = {尤,1,0}, a Vb y贝x = ~2
2.设刁={2,0,-1},￡ = {0,1,0},贝炊方=_{1,0,2}—
3.曲面z2 =]2 + y2在点(]]扼)处的切平血方程为_x+y-V^z = 0 —
4.将_wz平面上的曲线x2-^=l绕工轴旋转一周所得的旋转曲面的方程
4
5.函数z = ln(3 + x2 + r)的驻点为
6.设％为连接(-1,0)到点(0,1)的直线段，贝^(y-x)ds=— V2
L
7.慕级数寸U的收敛半径为3
/=! J
8.微分方程寸,=广的通解为y =_；广+时+仁 _________
y ~e9
二.计算题（7X2=14分）
1.设z- yln（x2 + y2）,求dz ?
ATJ dz 2xy dz t z 9入2y2
解：f = =血3 + 广）+ 十^
6冬
8x
6z
解：积分区域D可表示为
0<%<1 0 dz = , dx + [ln(x2 + y2) + ?)」dy x~ +广JT +广 2.设z = f(x, y)是由方程z3 -3yz + x = a3所确定的具有连续偏导数的函数, dz d2z ox dx2 解：令F(x, y. z) = z3- 3yz + x-a3求偏导,得 F,. = 1,F, =3z2-3y 则—=「 dx F z3z2 -3y d2z a? (3z?—3 力2 (3z2—3 力3 三.计算下列积分（7X4=28分） L其中。是由y=o,y=x2及尤=1所围成的闭区域。 D 原式-￡ dx^ (y-x2)dy |X2 | dx- f (-—x4)d/x = — Jlo Jo210 2.证明曲线积分(2xy- y2)dx + (x2 -2xy)dy在整个时平面内与路径无 关，并计算积分值。 解：设P = 2xy- y2,Q = x2 -2xy 9则^- = — = 2x-2y dx dy 故曲线积分与路径无关。 原式二J；(l-2y)dy = 0 3. 计算(1 -x)dydz + (2 - y^dzdx + (3- z)cbcdy,其中￡ 是球面 00 所以级数Z(-1)〃”=1 1 \]l + n2 收敛. ] 又lim^l"E = lim ns 1 n n i 丁 2 =i ,而级数￡上发散心〃 x2 + >,2 + z2 = 9 的外侧。 解：设V是由￡围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得项6xdydz + ydzdx + 3zdxdy = JJJ （。（厂）+ 以? >）+ 气-》）加 二泌，二一108勿 V 4.计算jj 一；-- -clxdx ,其中。是由%2 + y2 < 25围成的闭区域。 W 1 + r + y 解：积分区域D在极坐标下可表示为 [0 < r < 5 原式二doi-^rdr Jo Jo 1 + r 1 . 2 = 2）— ln（l + 厂）=7i In 26 2 o 四.计算题（7X4=28分） 1.判别级数Z（T）〃U>是否收敛?若收敛，是绝对收敛还是条件n=l。 2 + 〃~ 收敛? 解：令勾二/ 1，则勾> "〃+1，且lim u n = 0 <2 + n2e 所以级数旗口亍发散 n-\+ 〃~ 展开为 X 的慕级数。 因此级数Z(-条件收敛。 n=l 。2 + 〃2 2 .将函数/(]) = —L x-3 解：因为-L=y/\ 1 一 x ,1=0 则 > =次(眼[]0珈施％T+C] =。一""[J 6 J"弦 + c] = 3 + ce~2x 代入初始条件y ，=o = 2,得c = -1 所以特解为y = 3-e 4.求微分方程y" + y = "的通解。 解：特征方程为产+尸=0,得特征根为*=0,弓=-1 对应的齐次方程的通解为：y = 广 设严=打是原方程的特解，则。=上 2 所以原方程的通解为：y = 五.证明 dyj ； f(x)dx = j (：(勿- x)/(x)dx ( 6 分) 证明：设积分区域D 为[十〉服，则D 可表示为 [0 [x< y< 7i J ： dy J ； f(x)dx = J ： dx^ f(x)dy =匚(勿-x)f(x)dx 所以 f(x) = -^- x-3 00 8 X Q ------ 3(1--) 3 ?=° 3.求微分方程半+ 2)，= 6满足初始条件y|x0=2的特解。 dx 次=。 H =0 —J-3