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双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用

新课标高一数学在“基本不等式

ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x

x y 1

+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习

课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习

ax y +

=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x

ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）

的直线为渐近线的双曲线．

首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x

的值比较，当x 很大很大的时候，

的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b

ax y +=（ab ≠0）表示

的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇

函数，它的图象应该关于原点成中心对称．

由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．

例1．若函数x

x y 3

233+=

是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲

线的定义．

分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3

和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32,

由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a

=tan30o,

得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,

x 3233+）满足3421=-PF PF 即可；

34)323

2()323232()323

()2()32323

(

)2(222221=++--+

=++++--+

+-=-x x x x x x x x x x PF PF

所以，函数x

x y 3

233+=

表示的曲线是双曲线．（在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）

2．2五种表现形式

表现 1：函数x

ax y +

= （a>0,b>0）的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在

???-

-∞a b ,(和),+∞???a

上函数分别是单调递增的，在???????-0,a b 和???

??a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=a

处

有极小值；值域是(][)

+∞-∞-,22,ab ab ．

表现 2：函数x

ax y += （a<0,b<0）

的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在???--∞a b ,(和

),+∞???a b 上函数分别是单调递减的，在???????-0,a b 和??

??a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -

处有极小值，在x=a

处有极大值；值域是(][)

+∞-∞-,22,ab ab ．

表现1图

表现 3：函数x

ax y +

= （a>0,b<0）的双曲线大概图象如右：

此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x

a y -

='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．

表现 4：函数x

ax y +

= （a<0,b>0）的双曲线图象如右：

此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2

x b

a y -

='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R

特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．

表现 5：函数 x

y = (x ≠0) 是等轴双曲线，以x y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数

2、3应用举例与重点推广

这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．

例2．已知x>y>0 , xy=1 ,求y

x y x -+2

2的最小值及此时x 、y 的值

解：∵x>y>0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，

∴y x y x -+22=

222

)(2)(2≥-+-=-+-y

x y x y x xy y x ；解混合式????

?????

-=-=y x y x xy y x 210

得：???????-=+=226226y x

所以当：???

????-=+=22

6226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．

例3．求y=2

1122+---x x x (x ≥0)

解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342-+

-=t t y 由 x ≥0得t ≥2,而34

2-+-=t

t y 在[)+∞,2上是减函数的，所以y ≤-5,值域为(]5,-∞-

例11．已知2)(-?-=a a x x f （1）若a ＞0，求()f x 的单调区间

（2）若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围

解：()2f x x x a =--=???

????≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2

当a ＞0时，()f x 的单调递增区间为(,)(,)2

a -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ??????

．

（2）（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2

x x

-＜a ＜2+x x ，

令 (](]22

(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-

∈=+∈ 则1

22()1g x x =+＞0，∴()g x 在要求区间内是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==-

122

()1h x x

=-＜0，∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==

此时a 的范围是（—1，3）

综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）

从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或c

bx ax n

mx y +++=2

（m ≠0,a ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤

其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．

重点推广：到此我们来看看函数b

ax d

cx y ++= （ad ≠bc ，a ≠0）究竟是什么样的图象与性

质呢？

它可以通过变形化为)

()(a

b x a a b

c a

d a b x c y +-+

+=，继续

化为2

))((a

bc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2

a bc ad xy -=的图象通

过平移而来的，从而b

ax d

cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象

也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，a

y =的两条直线，

在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性，2

a bc

ad ->0时都是单调递减，

a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x b

ax y +

= （a>0,b>0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，

要熟练理解和应用，．

例4．已知正项数列{}n a 满足a 1=a (0

a a +1, 求证 a

n a

a n )1(1-+≤

分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i ）n=1时 a 1=a ，符合求证结论 ii 设n=k 时 a

k a

a k )1(1-+≤

结论成立

则n=k+1时候， a k+1≤

k k a a +1,而a

k a

a k )1(1-+≤，因此，考虑函数f(x)=

x x +1=1-x

+11

在区间)1,(--∞和区间),1(+∞-都是递增函数，（0，1）

?),1(+∞-，所以f(x)=x

+1在0，1）也是递增函数，从而，

a k+1≤k k a a +1a

k a a

k a

)11(1)1(11)1(1-++=-++

-+≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．

综上所述，a

n a

a n )1(1-+≤

对任意n 是正的自然数都成立．

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；

一次函数的图象与性质

一次函数图象和性质【知识梳理】 1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（k b -，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质【思想方法】数形结合【例题精讲】例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上；（3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时：（1）y 随x 的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点；（4）图象平行于直线y=－4x+3；（5）图象与y 轴交点在x 轴下方. 例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题：（1）求出直线l 2表示的一次函数表达式；（2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？ k 、b 的符号 k ＞0，b ＞0 k ＞0，b ＜0 k ＜0，b ＞0 k ＜0，b ＜0 图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限性质 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而而 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而

x y O 3 2y x a =+ 1y kx b =+ y x O B A 【当堂检测】 1.直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______； 2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（） A ．1m >- B ． 1m <- C ．1m =- D ．1m < 4.一次函数23y x =-的图象不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（） 6.已知整数x 满足-5≤x≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（） A.1 B.2 C.24 D.-9 7.如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（ 22，2 2-） C.（－21，－2 1 ） D.（－22，－22） 8．一次函数y =2x －2的图象不经过．．．的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上两点，则下列判断正确的是（） A ．y 1>y 2 B ．y 1y 2 D ．当x 1

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。二、例题举例：例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。证明：∵与成正比例，设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx，其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例。例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。解：依题意，得解得 n=-1， ∴=-3x-1,

三角函数正切、余切图象及其性质

正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的.

3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])

正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数； y x 2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。（2）正切函数图像：（3）与切函数的图像：归纳填表格：

例1.求下列函数的周期：（1）tan(3)3 y x π =-+；（2）221tgx y tg x =+ ；（3）cot tan y x x =-；（4）2 2tan 21tan 2 x y x =-；（5）sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间：（1）tan(2)24 y x π =++；（2）tan()123 x y π=-+-；（3）12log cot y x ?= ?? 例3.求下列函数的定义域：（1）tan 4y x π??=- ??? ；（2）y = （3）y =

例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域；（2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044 x x ππ+-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34 x a π∈∈时，函数max y =a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π∈≠。求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。

一次函数的图像与性质

一次函数的性质和图像

目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。（常数项）b决定图象与y轴交点位置。五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式

六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

(完整word版)六大基本初等函数图像与性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(