a 1
>时，方程无根. （10分）
共四页第 2 页
七、（本大题共3小题，每小题6分，总计18分）
（1）
1
.
1tan
dx
x
+
?
解
?
?
?
+
-
+
+
=
+
=
+
dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x cos
sin
sin
cos
sin
cos
2
1
cos
sin
cos
tan
1
1
（2分）
1cos sin11
1(sin cos)
2sin cos2sin cos
x x
dx x d x x
x x x x
-
????=+=++
???
++
????
??（4分）
1
(ln|cos sin|).
2
x x x C
=+++（6分）
（2）sin(ln).
x dx
?
解：?
??
?
-
=dx
x
x
x
x
x
dx
x
1
)
cos(ln
)
sin(ln
)
sin(ln（2分）
?
?
-
-
=
-
-
-
=
dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
)
sin(ln
)
cos(ln
)
sin(ln
]
1
)]
sin(ln
[
)
cos(ln
[
)
sin(ln
（4分）所以.
)]
cos(ln
)
[sin(ln
)
sin(ln
2C
x
x
x
dx
x+
-
=
?（5分）
故.
)]
cos(ln
)
[sin(ln
2
)
sin(ln C
x
x
x
dx
x+
-
=
?（6分）
（3）?--+4
4
2.1sin π
πdx e x
x
解 由于??
-+=-a
a
a
dx x f x f dx x f 0
)]()([)(，（2分）
而x e e e x e x e x x f x f x x x
x x 2
222sin 111sin 1sin 1sin )()(=???
? ??+++=+++=-+-（4分） 所以 ???-==+--4040244
2
22cos 1sin 1sin π
πππdx x xdx dx e x x
.82
2sin 412140
-=??????-=ππ
x x （6分）
八、（本题10分）设)(x f '在],[b a 上连续，且0)()(==b f a f ，证明：
),()()x f a f x =-
),()()
(x f x f b x
-=-（3分）
两式相减，得
??
'-'=b
x
x
a
dt t f dt t f x f )()()(2，（5分）
所以 ?
?
'+
'≤
b
x
x
a
dt t f dt t f x f )()(|)(|2（7分）
???'='+'≤b a
b x
x a
dt t f dt t f dt t f |)(||)(||)(|（9分）
即 .|)(|2
1|)(|?'≤
b
a dx x f x f （10分） 共 四
页 第 3页
九、（本题
8分）已知函数()f x 具有二阶导数，且
()
lim
0x f x x
→=，(1)0f =，证明：存在点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ''=.
证明：由1)
(lim
=∞
→x
x f x ，得0)0(=f ，0)0(='f ， （2分） 函数)(x f 在[0，1]连续，（0，1）可导，0)1()0(==f f ，由罗尔定理，至少存在)1,0(0∈x 使0)(0='x f 。 （6分）
函数)(x f '在[]0,0x 连续，),0(0x 可导，0)()0(0='='x f f ，由罗尔定理，至少存在)1,0(),0(0?∈x ξ使0)(=''ξf （10分）
十、（本题
10分）设)(x f 为连续函数，且满足
?--=x x
dt t f t x e x f 0
2)()()(，求)(x f .
解 将上式两边对x 求导，得?-='x
x dt t f e x f 0
2)(2)(，（2分）
再对上式求导，得)(4)(2x f e x f x -=''，即x e x f x f 24)()(=+''。（4分） 由已知条件，可知2)0(,1)0(='=f f 。（6分）
因此所求函数)(x f y =满足下列初值问题
??
?='==+''==2
|,1|,
4002x x x y y e y y ， 其通解为x e x C x C Y 2215
4
sin cos ++=（8分）。
根据初值条件，得52
,5121==C C 。
从而所求的函数为x e x x x f 25
4
sin 52cos 51)(++=（10分）
共四页第4页
(新)高数竞赛试题集
高等数学竞赛 一、 填空题 ⒈ 若 5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a = ，b = ． ⒉ 设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ． ⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 ． ⒋ 已知x x xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ． ⒌ 设函数 ()y x 由参数方程 33 31 31 x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设 1 ln arctan 22+-=x x x e e e y ，则==1 x dx dy ． ⒎若 0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . ⒏ 设?? ???≥-<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则=-?221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→n k n k n n 12 2 lim ． ⒑ 1+∞=? ． 二、 单项选择题 11．把+ →0 x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===0 3 2 sin ,tan ,cos 2 γβα，使排在后面的 是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】 (A) γ βα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少. （C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . 13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】 （A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. 14 . lim (1)n n →∞+等于 【 】 （A ） 2 21 ln xdx ?. （B ）21 2ln xdx ?. （C ）2 1 2ln(1)x dx +?. （D ）2 21 ln (1)x dx +? 15 . 函数 2 )2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】 (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).
期末高等数学(上)试题及答案
1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx
（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x
江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分） 设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使 得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
江苏高等数学竞赛历年试题(本一)
2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关
浙江省高数竞赛积分习题集
例1（1）ln ln ln (1ln )(1ln )(ln )x x x x x x x x x x dx e x dx e d x x e C x C +=+==+=+??? （2） dx x x x dx x x x ?? +++=+++22221)1ln(1) 1ln( )1ln()1ln(22? ++++= x x d x x () C x x +++=2 32 ) 1ln(3 2 （3） 2 ln tan ln tan 11ln tan ln tan (ln tan )sin 22sin cos 24 x x dx dx xd x x C x x x ===+??? （4）???+=+=+=+C x x x d dx x x x dx x x )arctan(cos ) (cos 1cos )(cos 1cos sin 2cos 12sin 2 2 22224 （5） C e x d e dx e x x x x x +=+=++++?? 2 2 2 12 112 11 例2、（1）（06年真题） dx x x x x ?-++) 1(188 4 解：（法一）48 8 1(1) x x dx x x ++=-?dx x x x dx x x x ??-+-+)1()1(188 84 7447 4848 11(1)1(1)1x x x x dx dx dx dx x x x x x x -+=+=+----? ??? 37 48 111x x dx dx dx x x x =++--?? ? 4811 ln ln 1ln 148 x x x C =- ---+ （法二） dx x x x x x dx x x x x ??-++-=-++) 1(21)1(188 4888437881211x x dx dx dx x x x =++--?? ? 而 dx x x dx x x dx x x x dx x x ????++-=+-=-4 3 4344383121121) 1)(1(1 444 444 1(1)1(1)11ln ||818181d x d x x C x x x -++=-+=+-+-??
全国大学生数学竞赛试题及答案
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则2 1t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t
? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =，故 y y y f x '=''+)(1 ，即))(1(1y f x y '-= '，因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
大一高数知识竞赛试题
电气与电子工程学院高等数学试卷 姓名： 班级： 得分： 一．填空题（2′×10） 1 .已知f(x)=()[]?? ? ??=≠+0,0,12sin x a x x x a ,在()+∞∞-,上连续，则a = . 2.X= 是函数f （x ）=???≤>0 ,0 ,2x x x mx 的间断点，是第 类间断点. 3.有一数列{}Xn ，且Xn= n n 3 12-则此数列收敛还是发散. 4.求曲线y=e x 在点(0,1)处的切线方程为. 5.设函数f(x)=???>+≤1 ,1 ,x 2x b ax x 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，则 a = ，b=. 6.设y=f(x)是由e 02xy =-+x y 所确定的函数，则dy= . 7.设f ′(2)=1,则 ()=--→s s f s f s 2) (2lim 0 . 8.求函数2cos y x x =+在[0, 2 π ]上的大值 . 9.椭圆44x 2 2 =+y 在（0,2）处的曲率半径. 10.设常数k>0,函数f(x)=lnx-k e +x 在其定义域内零点个数为 个. 二．选择题(每题仅有一个正确选项，2′×10). 1．数列{x n}收敛是数列{x n}有界的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分必要条件 2．设f(x)=,0,cos 0 ,? ? ?>≤-x x x e x 则f （-x ）=（ ）
A ???>-≤-0,cos 0,x x x e x B ???>≤0,cos 0,x x x e x C ???<-≥-0,cos 0,x x x e x D. ???<≥0,cos 0,x x x e x 3.设f(x)是可导函数，且 ，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线斜率为（ ）. A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 4.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f ′(0)=( ). A. 0 B. 99! C. 100！ D. (-1)100！ 5.若f(-x)=f(x),(-∞0,且f ″(x)<0,则在(0,+∞)内有（ ） A. f ′(x)<0, f ″(x)<0 B. f ′(x)>0, f ″(x)<0 C. f ′(x)<0, f ″(x)>0 D. f ′(x)>0, f ″(x ）>0 6.设y(x)由方程e y x ++sin(xy)=0所确定，则dy=( ) A.dx xy x e xy y e y x y x ) cos()cos ++- ++（ B dx xy y e xy x e y x y x )cos()cos ++- ++（ C. dx xy x e xy y e y x y x ) cos()cos ++++（ D.dx xy y e xy x e y x y x ) cos()cos ++++（ 7.设f(x)=,1 ,21 ,1 12? ????=≠--x x x x 则f(x)在x=1处（ ） A.不连续 B.连续但不可导 C.可导但导数不连续 D.可导且导数连续 8.若f （x ）在开区间（a,b ）内可导，且x1,x2是（a,b ）内任意两点，则至少存在一点ξ使下式成立（ ） A.f(x2)-f(x1)=(x1-x2)f ′(ξ),ξ),b a （∈ B.f （x1）-f(x2)=(x1-x2)f ′(ξ),ξ在x1,x2之间 C.f(x1)-f(x2)=(x2-x1)f ′(ξ),x1<ξ高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
高等数学竞赛试题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：
大连市高等数学竞赛试题B答案完整版
大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案（B）
一、填空题（本大题共5小题，每小题2分， 计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分） 当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分）
解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分） 当0x =时， 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分） 当1x =时， 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分） 当1x =-时， 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分） 考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页
高等数学上模拟试卷和答案
高等数学上模拟试卷和 答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
北京语言大学网络教育学院 《高等数学（上）》模拟试卷 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共100小题，每小题4分，共400分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、函数)1lg(2++=x x y 是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 2、极限=--→9 3 lim 23x x x （ ）。 [A] 0 [B] 6 1 [C] 1 [D] ∞ 3、设c x x x x f +=?ln d )(，则=)(x f （ ）。 [A] 1ln +x [B] x ln [C] x [D] x x ln 4、 ?-=+01 d 13x x （ ）。 [A] 6 5 [B] 6 5- [C] 2 3- [D] 2 3 5、由曲线22,y x x y ==所围成平面图形的面积=S （ ）。 [A] 1 [B] 2 1 [C] 3 1 [D] 4 1 6、函数x x y cos sin +=是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 7、设函数?????=≠=00 3sin )(x a x x x x f ，在0=x 处连续，则a 等于（ ）。 [A] 1- [B] 1 [C] 2 [D] 3
(完整版)高等数学试题及答案
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)
