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行列式练习题1

第二章行列式练习题（1）

一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分） 1．排列217986354必定经过奇数次对换变为123456789．

2．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1．（×） 3．排列

121n n j j j j -与排列1

21n n j j j j -的奇偶性相反（）

4．

1122

12334434

a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+

++ （×）

5．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数．（√） 6．若矩阵

A 经过初等变换化为矩阵

B ，则A B

=．（×）

7．把三级行列式的第一行减去第二行的2倍，同时把第一行的3倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：11112

222212121

222333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---=+++ （）

8．设

A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A

=-；（×）

9．设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同；（√ ）

10．设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解；（×）

11．设D= 11

12121

2221

n n n nn

a a a a a a a a a ,D 1=121

111222n

k k k k k k nk nk nk a a a a a a a a a ,其中12n k k

k 是1、2、3、……、n 的一个排列，

则 ()

()

1n k k k D D τ=- （）

二、填空题（每小题2分，共20分） 1．排列(1)

321n n -的逆序数为

(1)

n n -，当n 是时为奇排列；当n 是时为偶排列． 2．12345i i i i i 的逆序数为6，则54321i i i 的逆序数是。

3．排列135…（2n-1）246…(2n)的逆序数为，排列 (2k)1(2k-1)2…(k+1)k 的逆序数为； 4．排列12435作三个对换、、变为排列25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数τ（12435）具有相同的奇偶性。

5．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为负．

6．① 3000003000______;003000007311194

=②0

_______;000

a e

f g c h d

=③123

123123a a a b b b c c c ++++++=+++ ；④2

11ωωωωωω

= ；

7．计算行列式12341

123

21123214

00_________;00

a a a a a

b b b a b

c c a b c

d a b c d

---=-------

8．D=0205

011341023857

----利用拉普拉斯定理按前两行展开D= ；求1112

1314________;A A A A +++=

9．多项式

x x x x x g 432143214324

32)(=

中3x 的系数是； 10．如果线性方程组123

12312

00ax x x x ax x

x x ax

++=??++=??++=?有非零解，那么a = ； 11．方程（1）1234

1234

12341234x x x x ++=++ 与方程（2）22

27120

538653815x x -=- 的全部根分别为

和（重根按重数计算）；

12．（1）11112345_______;49162582764125=（2）2222

3333

1111

586258625862= ；（3）23000

000________;

18079

12087

43034968508102

-= 三．选择题

1．多项式

111

1234()131143x x p x x x x

-中，x 4，x 3的系数项和常数项分别为（）（A ）-6，2，-6；（B ）-6，-2，6；（C ）-6，2，6；（D ）-6，-2，-6

2．一个n 阶方阵A 的行列式，其值不为零，A 经若干次初等变换后，其行列式值（）（Ａ）保持不变；（Ｂ）保持不为零；（Ｃ）可变为任何值；（Ｄ）保持相同符号。 3．设D 是一个n 阶行列式，那么（）（A ）列式与它的转置行列式相等；（Ｂ） D 中两行互换，则行列式不变符号；（Ｃ）若0=D

，则D 中必有一行全是零；（Ｄ）若0=D ，则D 中必有两行成比例。

4．行列式 1

22334

000

0000

a b a b b a b a 的值为（）

A ． 12341234a a a a b b b b -；

B ．12341234a a a a b b b b +；

C ．12123434()()a a bb a a b b --；

D ．14142323()()a a bb a a b b --

5．若齐次线性方程组?????=+-=-+=++0

200

321

21321x x x x kx x x x kx 仅有零解则（）

A ．4=k

或1-=k ； B ．4-=k 或1-=k ； C ．4≠k 且1-≠k ； D ．4≠k 且1≠k

6．用克莱姆法则得?????=-=+=-+201

423

32321x x x x x x 的解为（）

（A ）. 123(,,)(1,0,2)x x x =- （B ）. 123(,,)(7,2,2)x x x =-- （C ）. 123(,,)(11,2,2)x x x =-- （D ）. 123(,,)(11,2,2)x x x =---

7．行列式00

4100

>-a a 的充要条件是（） A ．2a C ．2 a

（A ）1；（B ）-1；（C ）3；（D ）0

= 说明：奇偶排列各半 2、用行列式的性质

c a c a b b c c a a b +++ （2）()()()()()()()()()()()()2

222

2222

2222222

321321321321++++++++++++d d d d

c c c c b b b b a a a a （3）证明：

111222

211111

12c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c

b =+++++++++

（4）n

n n n n

b a b a b a b a b a b a b a b a b a --------- 21

2221

21211

3、利用性质化上三角或按行（列）展开（降级）

n n αααααααα--------11

100000011000011000011

n n n a x a a a a x a a a a x

n D n n n -=--（循环行列式，后列减前列） 4、各行（列）元素之和相等

a a a a a a a a 1021210

n a a a a a a a a a 1211

x x x x x x x x x x x x x x x +++

cos 100012cos 100012cos 00cos 0

x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=

1111a b c d a b c d a b c d 增加一行一列，设f(x)=2

2222333334

1111

b c d x

a b c d x a b c d x a b c d x ,可以看出D 正好是f(x)中3

x 的余子式454545(1)M A +=-，f(x)按最后一列展开，45A 的值就是f(x)的3x 的系数的相反数

（3）（4

）计算 D a a a n a a a n a a a n n n n

n n n +---=------1111

1111

()()()()

解（4）: 此式不是范德蒙行列式. 将第n +1行，第n 行，…，第2行分别向上与相邻行交换n 次，n -1次，…，1次，共交换了

)

1(+n n 次；将列也作同样的变换。这样一共交换了)1(+n n 次，即偶数次，得 D a n a n a a a n a n a a a n a n a a a n a n a a n n n n n n

n n n n D n n n ?-???=???-???????=--+2211)1(3212)1(2121

n d c d c d c b a b a b a D 1

n n n n n n n n n n n

练习1．计算n 级行列式x a a a x a D a

，a i ≠0，i ＝1,2，...，n. 3．

a a a a a a a a n n n ------

解：设多项式为则有

于是，所求的多项式为

例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根．

证设

()2012n n f x a a x a x a x =+++

+有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有

()20120n i i i n i f x a a x a x a x =+++

n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++?++++=?

++++=??

?++++=? 这个关于01,,

,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式

n n n x x x x x x x x x x x <++++=

-≠∏≤≤，

4. (), (1)0,(2)3,(3)28.

f x f f f ==-=求一二次多式使

2(),

f x a bx c x =++(1)0,(2)423,(3)9328,

f a b c f a b c f a b c =++==++=-=-+=123200,40,60,

20.

D D D D =-≠=-==-1232,3, 1.

==．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根．例2 设12,,

,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,

,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式

x a L x b a a =≠-=-∑∏

，

使得()i i L

a b =，1 i n ≤≤．

证从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可．

设

()210121n n f x c c x c x c x --=+++

+满足

()i i f a b =，1 i n ≤≤，

即 21011121112

10212221221012

, .

n n n n n n n n n n c a c a c a c b c a c a c a c b c a c a c a c b ------?++++=?+++

+=??

??++++=

这个关于0121,,,

,n c c c c -的线性方程组的系数行列式

a a a a a a a a a a a --<-=

-≠∏≤≤，

故0121,,,

,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．

这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练复数与行列式一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）

第1章行列式例题习题

1.计算下列各行列式：（1）????????????7110 025******** 1 4；（2）?????? ? ?? ? ??-2605 23 211 2 131412；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）? ? ??? ? ???? ??---d c b a 100 11 00 11001 解 (1) 7 1 1 025102 0214214 343 27c c c c --0 1 1423102021 10214--- =3 4) 1(14310221 1014 +-?--- =14 3 10 221 1014 --3 2 1132c c c c + +14 17 17 2001099-=0 (2) 2605 232112131 412 -24c c -2605 032122130412- 24r r -0 4 1 2 03212213 0412 - 1 4r r -0 032122130412 -=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---

=1 1 1 111 1 11---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 1 110011001---2 1ar r +d c b a ab 1 110011010 ---+ =1 2) 1)(1(+--d c a ab 1 110 1--+ 2 3dc c +0 1 111-+-+cd c ad a ab =2 3) 1)(1(+--cd ad ab +-+11 1=1++++ad cd ab abcd 2.证明: (1)1 1 1 222 2 b b a a b ab a +=3 )(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3 +; (3) 0) 3() 2() 1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2 2 2 222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4) 4 4 4 4 22221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

行列式经典例题及计算方法

行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =

行列式的计算（四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算（二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑

第一章行列式练习题目及答案

第一章行列式一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0

8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .

行列式练习题及答案资料

一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 0000010 020 001000Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛ -= （）. （A ）!n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 232 3 21 01)(= 中，3x 的系数是（）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1．各项以行标为标准顺序排列； 2．各项以列标为标准顺序排列； 3．各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.

一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2 913 2 5 1 3 232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 817116045153016 9144 3 1 2 ----- 2．d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

行列式检验测试题(有规范标准答案)

第九讲行列式单元测试题点评一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L

10.当 k=22 ±时，542k k k =。二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若（∨）的符号的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是（×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。（×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。（×）三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章行列式一.概念复习 1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn

行列式习题答案

2 线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节 n 阶行列式一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13， 5 -）（D ）（5,13--） 3 ．方程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s

行列式练习题1

第二章行列式练习题（1）一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分） 1．排列217986354必定经过奇数次对换变为123456789． 2．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1．（×） 3．排列 121n n j j j j -与排列1 21n n j j j j -的奇偶性相反（） 4． 1122 1 2 12334434 34 a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+ ++ （×） 5．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数．（√） 6．若矩阵 A 经过初等变换化为矩阵 B ，则A B =．（×） 7．把三级行列式的第一行减去第二行的2倍，同时把第一行的3倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：11112 12 12 222212121 3 33 3 3 3 222333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---=+++ （） 8．设 A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A =-；（×） 9．设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同；（√ ） 10．设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解；（×） 11．设D= 11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a a a a ,D 1=121 21 2 111222n n n k k k k k k nk nk nk a a a a a a a a a ,其中12n k k k 是1、2、3、……、n 的一个排列，则 () () 12 1 1n k k k D D τ=- （）二、填空题（每小题2分，共20分） 1．排列(1) 321n n -的逆序数为 (1) 2 n n -，当n 是时为奇排列；当n 是时为偶排列． 2．12345i i i i i 的逆序数为6，则54321i i i 的逆序数是。 3．排列135…（2n-1）246…(2n)的逆序数为，排列 (2k)1(2k-1)2…(k+1)k 的逆序数为； 4．排列12435作三个对换、、变为排列25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数τ（12435）具有相同的奇偶性。 5．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为负． 6．① 3000003000______;003000007311194 =②0 00 _______;000 a e b f g c h d =③123 123123a a a b b b c c c ++++++=+++ ；④2 22 1 11ωωωωωω = ；

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

行列式试题库1

一．判断题（易）1、n 阶行列式 11121212221 2n n n n nn a a a a a a a a a ??????????????是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（）．答案：× （较容易）2、6216 210 0000000λλλ=λλλΛΛ M M M M M ΛΛ．（）．答案：× （较容易）3、8218 210 0000000k k k k k k ΛΛ M M M M M ΛΛ=．（）．答案： √ （较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √ 二．填空题（中等）1.设12345 77733 324523332246523 =A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________ 答案：0，0 （中等）2.1234 243141321432 = D , 求11213141+++A A A A =________ 答案：0 （较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________.

答案：3 （较容易）4.d b a c d b c a b d c a b d a c = ．答案：0 （较容易）5. y x y x x y x y x y x x y x 323222 +++++= ．答案：)(2y x xy +- （较容易）6. 621 7213424435431014327 427246-= 答案：510294?- （中等）7．已知三阶行列式 9 876543 21 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 9 873 21 c b a （中等）8．设行列式3 0402222,07 5 3 22 D = -- 则第四行各元素余子式之和的值为 . 答案：–28 （较容易）9． 1111001 1110 y y y x x x --= ．答案：22 x y

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：

线性代数习题-[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义 1．计算三阶行列式123 4 56789 。 2．写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3．利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D

⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4．利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质 1．计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2．在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=，证明：当n 是奇数时，D=0. 3．计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

行列式的概念一、选择题 1．下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行列式的值（）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号．答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.

阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i

(完整版)行列式习题1附答案.doc

? ? _ ?_ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ? ：? 号?学?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ?_ _ ?_ _ ?_ ?：?名?姓? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ：? ? ?班? ?? 《线性代数》第一章练习题 ? ? 一、填空 ? ? ?1、(631254) _____________ 8 ? ? ?2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____ ? ?x 1 1 3 , x 2 的系数分是 ?3、关于x的多式x x x中含 x -2,4 ? 1 2 2x ? ? 4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108 ? ? ?5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+ ? ? 1 2 1 线1234 234 6、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封 2469 469 密 10 14 13 ? ? 1 2000 2001 2002 ? 0 1 0 2003 ? ?(3) 0 1 =___2005____; ?0 2004 0 0 0 2005 ? ? 1 2 3 ? 中元素 0 的代数余子式的___2____ ?(4) 行列式2 1 0 ? 3 4 2 ? ? 1 1 1 1 ? 1 5 25 ? 4 2 3 5 7、 1 7 49 = 6 ；= 1680 ? 16 4 9 25 ? 1 8 64 ? 64 8 27 125 ? ? 矩方，且，，， A 1 1 。 ? A 4 ? 8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |= 5 0 1 1 0 1 2 2 2 2 2 0 9、 1 0 1 = 2 。； 3 0 12 1 1 0 1 0 1 0 0 0 bx ay0 10、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a 11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式 12、行列式 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42 , a 34 a 12 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。 x1x2x30 13、当 a1或2，方程x12x2ax30 有非零解。 x14x2a2 x30 3 1 2 14、D2 3 1 , 则2A11A214A310 01 4 15、若 n 行列式中非零元素少于 n 个，行列式的0。 16、 A，B 均 3 方，且A 1 ,B 2, 2(B T A1)32 2 二、

综合练习一-矩阵、行列式-习题+答案

第一、二章阶段练习答案 1、设三阶行列式1)det(==ij a D ，则=++231322122111A a A a A a 0 。 2、设三阶行列式3 88 838 1 43-=D ，则元素13a 的代数余子式=13A 40 。 3、如果11 2101 3=c b a ，则 =---1 1 1 4253 33c b a 1 。 4、行列式=-1 11 1 021********* 7 。 5、行列式 =2300120000340 023 1 。 6、行列式 =3 3 3 3 22225432543254321111 12 。 7、方程组?? ? ??=-+=-+=-+434212633352z y x z y x z y x 的解)2,1,1(),,(--=z y x 。 8、设多项式x x x x x x x x f 123011 3215)(=，则多项式的次数为 4 。 9、四阶行列式 2 23 5 7 022220403 --的第四行各元素代数余子式之和的值为 0 。 10、设方程?? ? ??=+-=-+=++0200z y x z y x z y x λλ有非零解，则=λ 4或 1 。

11、若??? ? ??-=???? ??-0921209612y x ，则=x 2 ，=y 6 。 12、设A 为三阶方阵，且2 1 =A ，则=--*12)3(A A 16/27 。 13、设???? ??--=7865A ，???? ??--=8616B ，则=-B A 32???? ??--1034158。 14、设???? ??-=???? ??12643152X ，则=X ???? ? ?-80232。 15、已知????? ??--=121011322A ，则=-1A ???? ? ??-----461351341。 16、解矩阵方程 X B AX =+，其中????? ??---=101111010A ，????? ??--=350211B ，=X ??? ?? ??--110213。 17、已知方阵A 、B 满足E AB A =-2 ，其中????? ??--=100110111A ，则=B ????? ??000000120。 18、设B A 、均为三阶方阵，已知B A AB +=2，其中???? ? ??=202040202B ，证明E A -可逆，且1)(--E A =????? ??001010100。 19、设????? ??=????? ??????? ??987654321100010101100001010A ，则=A ??? ? ? ??287221254。 20、设B A 、为n 阶对称矩阵，且A 和AB E +均可逆，证明A AB E 1)(-+为对称矩阵。