2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案

电大高等数学基础期末考试试题及答案

一、单项选择题

1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A.

2

)

()(x x f =，x x g =)( B. 2

)(x

x f =，x x g =)(

C.3

ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1

1

)(2--=x x x g

1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．

A. 坐标原点

B. x 轴

C. y 轴

D. x y =

设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称．

A. x y =

B. x 轴

C. y 轴

D. 坐标原点 .函数2

e e x

x y -=

-的图形关于（ A ）对称．

(A) 坐标原点 (B)

x 轴 (C) y 轴 (D) x y =

1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A.

)1ln(2

x y += B. x x y cos = C.

2

x

x a a y -+=

D.

)1ln(x y +=

下列函数中为奇函数是（A ）． A.

x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin =

下列函数中为偶函数的是（ D ）．

A

x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y +=

2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．

A. 12lim 2

2

=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0

=+→x x C. 0sin lim

=∞→x x x D. 01

sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．

A. x x sin

B. x

1

C. x x 1sin

D. 2)ln(+x

当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x

D 2x

x

.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x

x sin C x

2 D )1ln(+x

下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A ()1

sin 0x → B

()()

ln 10x x +→ C

()1x

e

x →∞

D.()2

2

24

x x x -→-

3-1设

)(x f 在点x=1处可导，则=--→h

f h f h )

1()21(lim 0（ D ）．

A. )1(f '

B. )1(f '-

C. )1(2f '

D. )1(2f '-

设

)(x f 在0x 可导，则=--→h

x f h x f h )

()2(lim

000（ D ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '-

设

)(x f 在0x 可导，则=--→h

x f h x f h 2)

()2(lim

000（ D ）．

A.

)(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-

设

x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim

（ A ）

A e B. e 2 C. e 21 D. e 4

1

3-2. 下列等式不成立的是（D ）．

A.x x

de dx e

= B )(cos sin x d xdx =- C.

x d dx x

=21

D.)1

(ln x d xdx =

下列等式中正确的是（B ）．A.xdx x d arctan )11(2=+ B. 2

)1(x

dx

x d -= C.dx d x

x 2)2ln 2(= D.xdx x d cot )(tan =

4-1函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ D ）．

A. )2,(-∞

B. )1,1(-

C. ),2(∞+

D. ),2(∞+-

函数

542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）．

A. 先单调下降再单调上升

B. 单调下降

C. 先单调上升再单调下降

D. 单调上升 .函数

62--=x x y 在区间（－5，5）内满足（ A ）

A 先单调下降再单调上升

B 单调下降

C 先单调上升再单调下降

D 单调上升

. 函数

622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（D ）．

A. 先单调下降再单调上升

B. 单调下降

C. 先单调上升再单调下降

D. 单调上

升 5-1若

)(x f 的一个原函数是

x

1

，则=')(x f （D ）． A. x ln B.

2

1x -

C.

x

1 D.

3

2x

.若)(x F 是 )(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

A )()()(a F x F dx x f x

a

-=?

B

)()()(a f b f dx x F b

a

-=?

C )()(x F x f ='

D )()()(a F b F dx x f b

a

-='?

5-2若

x x f cos )(=，则='?x x f d )(（ B ）．

A. c x +sin

B. c x +cos

C. c x +-sin

D. c x +-cos

下列等式成立的是（D ）．

A.

)(d )(x f x x f ='? B. )()(d x f x f =?

C. )(d )(d x f x x f =?

D. )(d )(d d

x f x x f x

=? =?x x f x x d )(d d 3

2（ B ）． A. )(3x f B. )(32x f x C.

)(31x f D. )(31

3x f =?x x xf x d )(d d 2

（ D ） A )(2x xf B x x f d )(21 C )(21x f D x x xf d )(2 ⒌-3若?+=c x F x x f )(d )(，则?=x x f x

d )(1

（ B ）． A. c x F +)( B. c x F +)(2 C. c x F +)2( D.

c x F x +)(1

补充： ?=--x e f e x

x d )( c e F x +--)(, 无穷积分收敛的是 dx x

?+∞121 函数x

x x f -+=1010)(的图形关于 y 轴 对称。

二、填空题 ⒈函数)1ln(3

9

)(2x x x x f ++--=的定义域是 （3，+∞） ．

函数

x x x

y -+-=

4)

2ln(的定义域是 （2，3） ∪ （3，4 ]

函数x

x x f --+=21

)5ln()(的定义域是 （－5，2）

若函数?

??>≤+=0,20

,1)(2x x x x f x ，则=)0(f 1 ．

2若函数???

??≥+<+=0,0,)1()(1

x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e

．

.函数?????=≠=00

2sin )(x k

x x x x f 在0=x 处连续，则=k 2

函数?

??≤>+=0,sin 0

,1x x x x y 的间断点是 x=0 ．

函数33

22---=x x x y 的间断点是 x=3 。

函数x

e

y -=11

的间断点是 x=0 3-⒈曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ．

曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是 1/4 ．

曲线1)(+=x e x f 在（0，2）处的切线斜率是 1 ．

.曲线

1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ．

3-2 曲线x x f sin )(=在)1,2

π

(处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0

曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1

4.函数)1ln(2

x y +=的单调减少区间是 （－∞，0 ） ．

函数2

e )(x x

f =的单调增加区间是 （0，+∞） ．

.函数1)1(2

++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1 ） ．

.函数1)(2

+=x x f 的单调增加区间是 （0，+∞） ．

函数2

x e

y -=的单调减少区间是 （0，+∞） ． 5-1=?-x x d e

d

2

dx e x 2

-

． .

=?x x dx

d

d sin 2 2sin x ． ='?x x d )(tan tan x +C ．

若?+=c x x x f 3sin d )(，则=')(x f －9 sin 3x ．

5-2

?-=+3

3

5d )2

1

(sin x x 3 ． =+?-1

1231dx x x 0 ． =+?e

dx x dx

d 1)1ln( 0

下列积分计算正确的是（ B ）．

A

d )(1

1

=+?

--x e e x x B

d )(1

1

=-?

--x e e x x C

d 1

1

2=?

-x x D

0d ||1

1

=?

-x x

三、计算题

（一）、计算极限（1小题，11分）

（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。 （2）利用连续函数性质：)(0x f 有定义，则极限)()(lim 0x f x f x x =→

类型1： 利用重要极限

计算

1-1求x x x 5sin 6sin lim 0→． 解： 5

65sin lim 5sin 6sin lim 00=?=→→x

x x x x x x 1-2 求 0tan lim

3x x x → 解： =→x x x 3tan lim

031

131tan lim 310=?=→x x x 1-3 求x x x 3tan lim 0→ 解：x x 3tan lim 0→=3313.3tan lim

0=?=→x

x 类型2： 因式分解并利用重要极限化简计算。 2-1

求

)1sin(1

lim

2

1+--→x x x ． 解：

)1sin(1lim 21+--→x x x =2)11(1)1.()

1sin()1(lim 1-=--?=-++-→x x x x 2-2()21sin 1lim 1x x x →-- 解： 21

1111)1(1.)1()1sin(lim 1

)1sin(lim 121=+?=+--=--→→x x x x x x x 2-3)3sin(34lim 23-+-→x x x x 解： 2)1(lim )

3sin()

1)(3(lim )3sin(34lim

3323=-=---=-+-→→→x x x x x x x x x x 类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限

3-1

4586lim

224+-+-→x x x x x 解： 4586lim 22

4+-+-→x x x x x =

=----→)1)(4()

2)(4(lim 4x x x x x 3

212lim 4=--→x x x 3-2 2236lim 12x x x x x →-+--- ()()()()22333326

25lim lim

lim 123447

x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+-+--===--+-- 3-3 423lim 222-+-→x x x x 解 41

21lim )2)(2()1)(2(lim 4

23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 其他： 0sin 21lim sin 1

1lim 202

0==-+→→x x x x x x ， 22

1sin lim 11sin lim

00==-+→→x

x x x x =--++∞→5456lim 22x x x x x 1lim 22=∞→x x x ， =--+∞→54362lim 22x x x x x 3

2

32lim 22=∞→x x x

（0807考题）计算x x x 4sin 8tan lim 0→． 解： x x

x 4sin 8tan lim 0→=24

8.4sin 8tan lim

0==→x

x x x

x （0801考题. ）计算x x x 2sin lim

0→． 解 =→x x x 2sin lim

021

sin lim 210=→x x x （0707考题.）)1sin(32lim 21+---→x x x x =4)31(1)

1sin()

3).(1(lim

1-=--?=+-+-→x x x x （二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）

（1）利用导数的四则运算法则

v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')(

（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式

x

x 1)(ln =

' 1

)(-='a a ax x x

x e e =')( u e e u u '='.)( x

x x x x x 2

2

sec )(tan sin )(cos cos )(sin '='-='=' 类型11-1

解：

1-2 x x x y ln cot 2+=

解

：

x x x x x x x x x x x x y ++-='+'+-='+'='ln 2csc )(ln ln )(csc )ln ()(cot 2

2

2

2

2

1-3 设x x e y x

ln tan -=，求y '．

解

：

x

x e x e

x e x e x x e y x x x x x 1sec tan 1)(tan tan )()(ln )tan (2-+=-

'+'='-'=' 类型22-1 x x y ln sin 2

+=，求y ' 解：x

x x x x y 1

cos 2)(ln )(sin 2

2

+='+'='

2-2 2

sin e cos x y x -=，求

解：

2

2

2

2

cos 2e sin e ).(cos ).(sin )(sin )(cos x

x x x e e x e y x

x

x

x

x

--='-'-='-'='

2-3 x e x y

55ln -+=，求， 解：x x

x x

e

x y 5455e 5ln 5).()(ln ---='+'=' 类型3： x e y x cos =，求y ' 。 解：x e x xe x e x e y x

x x x sin cos 2)(cos cos )(2

2

-='+'=' 其他：x

x y x

cos 2-=，求y '。

解：='-'-='-'='2).(cos .)(cos 2ln 2)cos (

)2(x x x x x x x y x x 2cos sin 2ln 2x x x x x

++ 0807.设2sin sin x e y x +=，求y '

解：

2sin 2sin cos 2cos )(sin )(x x x e x e y x x +='+'=' 0801.设

2

x xe y =，求y ' 解：2

2

2

2

22)()(x x x x e x e e x e x y +='+'='

0707.设2sin x e

y x

-=，求 解：x xe x x e y x x 2cos )().(sin sin 2sin -='-'=' 0701.设x x y e cos ln +=，求 解：x

x x x x

e e x

y e sin e 1).(sin )(ln -='-'='

计算?x x x d cos 2

解：c x x d x x x x +-=-=??1sin )1(1cos d cos

2

0707.计算

?x x d x 1sin

2． 解：

c x x x x x +=-=??

1cos )1(d x 1sin d 1

sin

2

0701计算?x x x

d e 21． 解： =-=?

?)1

(d e d e 1

21

x x x x

c x +-1

e

凑微分类型2.计算

?

x x

x

d cos ． 解：

c x x

d x x x x

+==??

sin 2cos 2d cos

0807.计算

?x x

d x sin ． 解：c x x d x x x +-==??

cos 2sin 2d x

sin

0801.计算

?

e

x

x

凑微分类型3计算?x d xlnx 1 解：c x du

u

x x +===???|ln |ln ln d xlnx .计算?+e 1d ln 2x

x x

解：

??++=+e 1

e 1)ln 2()d ln 2(d ln 2x x x x x 25)ln 2(2

11

2

=+=e

x 计算?e 1

lnxd x x 解： 1=a ， c x x x xdx xdx x +-==??222

4

ln 2ln 2ln 411)4ln 2(ln 21lnxd 22212

e 1e e x x x xdx x x e +=-==?? 1)10()(1)ln (d ln e 1=---=-=?e e e

x x x x x

计算

?e

12d ln x x x 解：2-=a ， c x

x x x xd dx x x +--=-=??1

ln 1)1(ln ln 2 e

e x x x x x x x x 2

11)1ln ()1(d ln d ln e 1

e 12-=--=-=?? 计算dx x x e ?1ln 解：21-=a ，c x x x x xd dx x

x

+-==??4ln 2ln 2ln dx

x x e ?1ln =

421

)4ln 2(ln 21+-=-=?e e

x x x x xd e 0807

=?

e

1lnxd x x 9

492

1)94ln 32( x lnxd 3223

2323e 123+=-=?e e x x x

0707

?e

1

2x 9

13+ 类型2 x dx xe 102?=x x de x dx xe --??-=1

10120

1)(1+-=--=---e e xe x x x x de x dx xe 21010221--??-=4

14301)4121(222+-=--=---e e xe x x （0801

类型3： ?

20

sin πx =

?20

cos πxdx x 120

2)cos sin (sin 20

-=+=?π

π

π

x x x x xd

??++-=+-=c x x x xdx x x x x x 2sin 41

2cos 212cos 212cos 21d 2sin =?

20

2sin πxdx x 4

040

2)2sin 4

12cos 21(2cos 2

120

ππππ

=-=+-=-?x x x x xd

2222

00001111cos 2sin 2|sin 2cos 2|2242

x xdx x x xdx x π

πππ

=-==-?? 四、应用题（1题，16分）

类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足

222l r h =+

圆柱体的体积公式为 h h l h r V )(π2

22-==π

求导并令 0)3(π2

2=-='h l V

得l h

33=

，并由此解出l r 3

6=． 即当底半径l r 36=

，高l h 3

3=时，圆柱体的体积最大．

类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。

2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？

解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其容积2

2.,..r V h h r V

ππ=

=

表面积为r

V

r rh r S

2π2π2π222+

=+= 22π4r

V r S -='， 由0='S 得3π2V r =，此时3

π42V

r h ==。

由实际问题可知，当底半径3

π

2V

r

=与高r h 2= 时可使用料最省。

解： 本题的解法和结果与2-1生产一种体积为V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为

r

，高为

h

，则无盖圆柱形容器表面积为

r

V

r rh r S 2ππ2π2

2

+

=+=，令

2π22=-='r

V

r S ， 得

r h V

r ==,π

3，

由实际问题可知，当底半径3

π

V r =与高r h

= 时可使用料最省。

2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题）

解： 设底边的边长为x ，高为h ，用材料为

y ，由已知322==V h x ，2

x V h =

，

表面积 x

V

x xh x y 4422+

=+=，

令

0422=-

='x V x y ，得6423

==V x ， 此时,4=x 2x

V h ==2 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。

类型3 求求曲线

kx y =2上的点，使其到点)0,(a A 的距离最短． 曲

线

kx

y =上

的

点

到

点

)

0,(a A 的距离平方为

kx a x y a x L +-=+-=222)()(

0)(2=+-='k a x L ， k a x -=22

3-1在抛物线

x y 42=上求一点，使其与x 轴上的点)0,3(A 的距离最短．

解：设所求点P （x ，y ），则满足

x y 42=，点P 到点A 的距离之平方为

x x y x L 4)3()3(222+-=+-=

令04)3(2=+-='x L ，解得1=x 是唯一驻点，易知1=x 是函数的极小值点， 当1=x 时，2=y 或2-=y ，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2）

3-2求曲线

x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．

解：曲线

x

y 2=上的点到点

A （2，0） 的距离之平方为

x x y x L 2)2()2(222+-=+-=

令02)2(2=+-='x L ，得1=x ， 由此222==x y ， 2±=y 即曲线

x y 22=上的点（1，2）和（1，2-）到点A （2，0）的距离最短。

08074 求曲线2x y =上的点，使其到点A （0，2）的距离最短。

解： 曲线

2

x y =上的点到点

A （0，2）的距离公式为

2

22)2()2(-+=-+=y y y x d

d 与2d 在同一点取到最大值，为计算方便求2d 的最大值点， 22)2(-+=y y d 32)2(21)(2

-=-+='y y d

令

0)(2='d 得2

3

=

y ，并由此解出26±=x ，

即曲线2

x y =上的点（

23,26）和点（2

3,26-）到点A （0，2）的距离最短