2013年数学中考试题汇编-几何综合

2013中考全国100份试卷分类汇编

几何综合

1、（2013四川南充，6，3分）下列图形中，∠2＞∠1 （）

答案：C

解析：由对顶角相等，知A中∠1＝∠2，由平行四边形的对角相等，知B中∠1＝∠2，

由对顶角相等，两直线平行同位角相等，知D中∠1＝∠2，由三角形的外角和定理，知C 符合∠2＞∠1

2、（2013?攀枝花）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD

其中正确结论的为①③④（请将所有正确的序号都填上）．

解答：

AB

为平行四边

AF

AB

AG

3、（2013?泸州）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP?OC．

其中正确的结论有（）

∴

4、（2013?绍兴）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P 关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为 2.8．

AP=EF=2.5

AC=2.5

AB AC

ON==

2+=与互为倒数，故此选项正确，

6、（2013年潍坊市）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别于BC 、AD 相交于点E 、F . （1）求证四边形BEDF 为矩形. （2）若BC BE BD ?=2试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由. 答案： .

.90,,.

2.90,90.

//90)1(2相切与，即理由如下：的位置关系为相切与）直线（为矩形四边形是平行四边形，四边形又的直径，为证明：O CD CD BD BED BDC BDC BED CBD DBC BD

BC

BE BD BC BE BD O CD BEDF BED EDA DFB FBC BC AD ABCD DFB DEB O BD Θ∴⊥?=∠=∠∴??∴∠=∠=

∴?=Θ∴?=∠=∠?=∠=∠∴∴?=∠=∠∴Θ

考点：平行四边形的性质，矩形的判定，，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角，圆的切线的判定等知识的综合运用.

点评：关键是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圆的切线的判定方法. 7、（2013?温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ 与圆洞的切点K 到点B 的距离及相关数据（单位：cm ），从点N 沿折线NF ﹣FM （NF ∥BC ，FM ∥AB ）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗）

，则

CN ，AM 的长分别是 18cm 、31cm ．

+r=CB=65cm

AB=42cm+r=

8、（2013?滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．

其中正确的个数是（）

9、（2013陕西压轴题）问题探究

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决

（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点，如果AB=a ，CD=b ，且a b ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.

考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。

解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。

（1）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。

（2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有

图①

图②

B

图③

A

C

D

P

（第25题图）

这些知识的积累足够解决。

（3）问中可以考虑构造（1）（2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应用。 解：（1）如图①所示．

（2）如图②，连接AC 、BD 相交于点O ，作直线OM 分别交AD 、BC 于P 、Q 两点，过点O 作用OM 的垂线分别交AB 、CD 于E 、F 两点，则直线OM 、EF 将正方形ABCD 的面积四等分. 理由如下：

∵点O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴点O 是正方形ABCD 的对称中心 ∴AP=CQ ，EB=DF ， D 在△AOP 和△EOB 中，

∵∠AOP=90°-∠AOE ，∠BOE=90°-∠AOE ∴∠AOP=∠BOE

∵OA=OB ，∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP ≌△EOB ∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD 设点O 到正方形ABCD 一边的距离为d . ∴d DF PD d CF CQ d BQ BE d AE AP )(21

)(21)(21)(21+=+=+=+ ∴POFD CQOF BEOQ APOE S S S S 四边形四边形四边形四边形===

∴直线EF 、PQ 将正方形ABCD 面积四等分 另解：∵点O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴点O 是正方形ABCD 的中心

∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45° ∵PQ ⊥EF ，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=90° ∴∠POA=∠DOF 同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ ∴△AOP ≌△BOE ≌△COQ ≌△DOF

∴ABCD POFD CQOF BEOQ APOE S S S S S 正方形四边形四边形四边形四边形4

1

====

∴直线EF 、PQ 将正方形ABCD 面积四等分 （3）

存在.当BQ=CD=b 时，PQ 将四边形ABCD

面积二等分. 理由如下：如图③，延长BA 至点E ，使AE=b ，

（第25题答案图）

B

A C

D

P

M

E

延长CD 至点F ，使DF=a ，连接EF.

∴BE ∥CF ，BE=CF ∴四边形BCFE 为平行四边形， ∵BC=BE=a +b ，∴平行四边形DBFE 为菱形 连接BF 交AD 于点M ，则△MAB ≌△MDF ∴AM=DM.即点P 、M 重合.

∴点P 是菱形EBCF 对角线的交点， 在BC 上截取BQ=CD=b ，则CQ=AB=a . 设点P 到菱形EBCF 一边的距离为d ∴CDP CQP QBP

ABP S S d CD CQ d BQ AB S S ????+=+=+=+)(2

1

)(21 所以当BQ=b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分.

另解：存在.当BQ=CD=b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分.

理由如下：如图④，连接BP 并延长BP 交CD 延长线于点F ，连接CP ∵点P 是AD 的中点，∴PA=PD

∵AB ∥CD ，∴∠ABP=∠DFP ，∵∠APB=∠DPF ∴△APB ≌△DPF ∴AB=DF ，PB=PF ，所以CP 是△CBF 的中线，∴CPF CPB S S ??=

∵AB+CD=BC ，DF+CD=BC ，即：CB=CF ，∴∠CBF=∠CFB ∵∠ABP=∠DFP ∴∠ABP=∠CBP 即PB 是角平分线. ∴点P 到AB 与CB 的距离相等， ∵BQ=b ，所以CQ=AB=a ∴CQP ABP

S S ??=

∴QCDP ABQP S S 四边形四边形=

所以当BQ=b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分.

10、（2013?温州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A （6，0），B （0.8），点C 的坐标为（0，m ），过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点D 为x 轴上的一动点，连接CD ，DE ，以CD ，DE 为边作?CDEF ．

（1）当0＜m ＜8时，求CE 的长（用含m 的代数式表示）；

（2）当m=3时，是否存在点D ，使?CDEF 的顶点F 恰好落在y 轴上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m 的值．

B

答图④

A C

D

P

（第25题答案图）

Q

∴=，即=

CE=﹣

CE=﹣m=3

∴=即．

，

，

CP=CE=﹣

BAO=，

（﹣m﹣OG=OC+OG=m+m=m+

∴=﹣m

；

∴=，即=

﹣

﹣m

m

m﹣m

．

的值是或﹣．

11、（2013年佛山市压轴题）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平

行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，

黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识． 已知平行四边形ABCD ，∠A =60°，AB =2a ，AD =a ． (1) 把所给的平行四边形ABCD 用两种方式分割并作说明 (见题答卡表格里的示例)；

要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个． (2) 图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．

要求：计算对角线BD 长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC 的长． 解：在表格中作答

（2）

分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；

方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；

（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可． 第25题图

第25题图

第25题图

①分割成两两个等腰梯形．②两个等腰梯形的腰长都为上底长都为，下底长都为上底角都为 ①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形．②等边三角形的边长为等腰三角形的腰长为、∵AB=2a ，E 为AB 中点， ∴AE=BE=a ，

∵AD=AE=a ，∠A=60°，

∴△ADE 为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a ， 又∵∠BED+∠DEA=180°，

∴∠BED=180°﹣∠DEA=180°﹣60°=120°， 又∵DE=BE=a ，∠BED=120°，

∴∠BDE=∠DBE=（180°﹣120

°）

=30°， ∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90° ∴Rt △ADB 中，∠ADB=90°，

由勾股定理得：BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+a 2=（2a ）2

， 解得BD=a ．

如右图②所示，AC=2OC=2=2

=2?

a=

a ．

∴BD=

a ，AC=

a ．

点评：本题是几何综合题，考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质．第（1）问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力；第（2）问侧重考查了几何计算能力．本题考查知识点全面，对学生的几何综合能力要求较高，是一道好题 12、（2013?常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ）

B

解：

BOM=

OM=OB=1BM=

；

AO=AB=1

BD=2BO=2；

BD==2

BD=，

∵2＞，

13、（2013年河北压轴题）一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α

（∠CBE = α，如图17-1所示）．

探究如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于

点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如

图17-2所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；

（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S BCQ×高AB）

（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝3

4，tan37°＝

3

4

)

拓展在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

[温馨提示：下页还有题！]

延伸在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.

解析：

探究 （1）CQ ∥BE 3 ························································································ 2分

（2）1

=

344=242

V ???液（dm 3） ·

····································· 4分 （3）在Rt △BCQ 中，tan ∠BCQ=3

4

∴α=∠BCQ=37o ················ 6分 拓展 当容器向左旋转时，如图3,0o≤α≤37o ···· 7分

∵液体体积不变，∴1

x+y)44=242

??（

∴-+3y x =··········································································· 9分 当容器向右旋转时，如图4， 同理得12

4y x

=

-，··························································10分 当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B ’重合时，如图5.

由BB ’=4，且

1

'4242

PB BB ???=，得PB =3 ∴由tan ∠'PB B =3

4

，得∠'PB B =37o，∴α=∠'B PB =53o

此时37o≤α≤53o ·············· 12分 【注：本问的范围中，“≤”为“<”不影响得分】 延伸 当α=60o时，如图6所示，设FN ∥EB ，'GB ∥EB

过点G 作GH ⊥'BB 于点H

在Rt △'B GH 中，GH=MB=2，∠'GB B =30o，∴'HB =

∴MG=BH= 4-

此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △NFM 和直角梯形'MBB G 为底面的直棱柱

∵S △NFM +'MBB G S =

111(44)222+-+?= 8

∴V 溢出= 244(8--

= 8>4（dm 3） ∴溢出液体可以达到4dm 3. ··············································································14分

14、（2013?玉林）如图，△ABC 是⊙O 内接正三角形，将△ABC 绕点O 顺时针旋转30°得到△DEF ，DE 分别交AB ，AC 于点M ，N ，DF 交AC 于点Q ，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ ≌△ANM ；③△DNQ 的周长等于AC 的长；④NQ=QC ．其中正确的结论是 ①②③ ．（把所有正确的结论的序号都填上）

，如图，ACD=∠

，

15、（2013?玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．

（1）求证：四边形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．